高二数学必修5-第二章-数列测试题2

高二数学必修5 第二章 数列测试题
一、选择题 1、设
{}
n a 是等差数列，若
273,13
a a ==,则数列
{}
n a 前8项的和为( )
A.128
B.80 C 2、记等差数列的前n 项和为
n
S ，若
244,20
S S ==，则该数列的公差d =（ ）
A 、2
B 、3
C 、6
D 、7
3、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则4
2S a =
（ ）
A ．2
B ．4
C ．215
D ．217 4、设等差数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，若
39
S =，
636
S =，则
789a a a ++=
（ ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
5、在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =（ ）
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++ 6、若等差数列
{}
n a 的前5项和
525
S =，且
23
a =，则
7a =
（ ）
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15
7、已知
{}n a 是等比数列，
41
252=
=a a ，，则12231
n n a a a a a a +++
+=( )
（A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332
（n
--21）
8、非常数数列
}
{n a 是等差数列，且
}
{n a 的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为 （ ）
A ．51
B ．5
C ．2
D ．21
9、已知数列
}
{n a 满足
)
(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则
20
a =（ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．23
10、在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,黑、白两只蚂蚁均从点A 出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA1⇒A1D1⇒D1C1⇒…；黑蚂蚁的爬行路线是AB ⇒BB1⇒B1C1⇒…,它们
都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i 段所在的直线必为异面直线(其中i 为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0 二、填空题 11．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________
12．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________。

13．设
n
S 是等差数列
{}
n a 的前n 项和，
128
a =-,
99
S =-,则
16S =
14．已知函数()2x
f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则
212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=
.
15、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
三、解答题
16、已知数列{}n x 的首项13x =，通项()2*,,n n x p np n N p q =+∈为常数，且1
45,
x x x 成等差
数列。

求：（Ⅰ）p,q 的值； (Ⅱ) 数列
{}n x 前n 项和n S 的公式。

17．已知数列{}n a 的首项123a =，121n
n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）数列{}
n n
a 的前n 项和n S ．
18．数列｛an ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
（1）求数列的公差；（2）求前n 项和Sn 的最大值；（3）当Sn ＞0时，求n 的最大值．
19．设等比数列{}n a 的首项
21
1=
a ，前n 项和为n S ，且0)12(2102010
3010=++-S S S ，
且数列
{}n a 各项均正。

（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求
{}n nS 的前n 项和n T 。

20、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少1
5,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进
作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1
4;①设n 年内(本年度为第一年)总投入为an 万元,旅游业总收
入为bn 万元,写出an 、bn 的表达式;② 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入
21．已知等差数列{}n a 满足818163a a 34
a a 31a a >-=-=+且,
（1）求数列
{}n a 的通项公式； （2）、把数列{}n a 的第1项、第4项、第7项、……、第3n －2项、……
分别作为数列{}n b 的第1项、第2项、第3项、……、第n 项、……，求数列
{}2n
b
的所有项之和；
第二章 数列测试题 （2）
一、选择题1、下列命题中正确的( ) (A)若a ，b ，c 是等差数列，则log2a ，log2b ，log2c 是等比数列 (B)若a ，b ，c 是等比数列，则log2a ，log2b ，log2c 是等差数列 (C)若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列 (D)若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列
2、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=
+n c m a ( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3、等比数列{an}中，已知对任意自然数n ，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n －1，则a12＋a22＋a32＋…+an2等于( )
(A)2
)12(-n
(B))12(31-n (C)14-n (D) )14(31-n
4、已知数列｛an ｝是等差数列，首项a1<０，a2005＋a2006<０，a2005·a2006<０，则使前n 项之和Sn<
０成立的最大自然数n 是（ ）Ａ 4008 Ｂ 4009 Ｃ 4010 Ｄ 4011 5、已知数列｛an ｝满足a1=4, an+1 +an =4n+6(n ∈N*),则a20 =( ) A 40 B 42 C 44 D 46
6、在等比数列｛an ｝中，a1=2,前n 项之和为Sn ，若数列｛an+1｝也是等比数列，则Sn=( ) A 2n+1-2 B 3n C 2n D 3n-1
7、已知数列｛an ｝满足:a1=1, an+1 =2an +3(n ∈N*)，则a10 =（ ） A 、210-3 B 、 211-3 C 、212-3 D 、213-3 8、已知数列{
n
a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）
A ．9
B ．8 C. 7 D ．6
9、各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若Sn=2,S30=14,则S40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16
10、设等差数列
{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（
）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
二、填空题 11、已知等比数列｛an ｝中，a1＋a2=9,a1a2a3=27,则｛an ｝的前n 项和 Sn= __________
12、 数列｛an ｝满足：a1=31
,且 n an =2an-1 +n-1
an-1
(n ∈N*,n ≥2),则数列｛an ｝的通项公式是an =______
13、已知数列｛an ｝满足:a1=2, an+1 =2（1+1
n )2·an (n ∈N*),则数列｛an ｝的通项公式an =____
14、已知数列｛an ｝满足:a1=1, an+1 - an =4n-2(n ∈N*)，则使an ≥163的正整数n 的最小值是____ 15、已知数列｛an ｝的通项公式an =log2(n+1
n+2) (n ∈N*),其前n 项之和为Sn ，则使Sn<-5成立的正整数n 的最
小值是_____ 三、解答题: ★16．等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
★17、设关于x 的一元二次方程n
a x 2
-1
n a +x+1=0 (n ∈N*)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试
用n
a 表示a 1n +； (2)求证:数列{
n a -2
3
}是等比数列.(3)当 1a =7
6
时,求数列{n
a }的通项公式.
★18．设数列{}n a 满足*01,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数，且0c ≠ （Ⅰ）求数列{}n a 的
通项公式 （Ⅱ）设11
,22a c ==，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ；
★19．已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．
（Ⅰ）求
{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和Sn 的最大值．
★20题、沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造，乙企业的经
营状况是，每月收入45万元，但因设备老化，从下个月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元。

甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业；据测算，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后各月收入都稳定在第五个月的水平上，若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？
★21、 已知正数数列｛n a ｝满足：1
a =1，ｎ∈*
N 时，有1n n
a
a
-=
1
1
1n n
a
a -+-
(1)、求证：数列｛
1
n
a
｝为等差数列；并求｛
n
a
｝的通项公式；（2）、试问
3
a ·6a
是否为数列｛
n
a
｝
中的项，如果是，是第几项，如果不是，说明理由；（3）、设n
c=n a·1n a+（ｎ∈*N），若｛n c｝的前ｎ项之和为n
S，求n S
附（备选例题）：
★1．在数列
}
{n a
中，1
1
a=
，1
22n
n n
a a
+
=+
. (Ⅰ)设1
2
n
n n
a
b
-
=
.证明：数列
}
{n b
是等差数列；(Ⅱ)求数列
}
{n a
的前n项和n
S
★2、已知数列
)
)}
1
(
{log*
2
N
n
a
n
∈
-
为等差数列，且
.9
,3
3
1
=
=a
a
（Ⅰ）求数列
}
{
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）证明
.1
1
1
1
1
2
3
1
2
<
-
+
+
-
+
-
+n
n
a
a
a
a
a
a
★3、甲乙两物体分别从相距70米的两处相向运动，甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米，①甲、乙开始运动几分钟后相遇？②如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟之后第二次相遇?
★4、某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元。

今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，
预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+1
2n）万元（n为正整数）；
设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn 万元（需扣除技术改造资金）,（1）、求An、Bn的表达式;（2）、依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润
★5、如图所示，一个计算装置示意图,J1、J2是数据入口，C 是计算结果的出口；计
算过程由J1、J2 分别输入自然数m和n,经过计算所得结果由出口C输出，此种计算
装置完成的计算满足以下三个性质：①若J1、J2 分别输入1，则输出结果为1；②若
J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若
J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍
试问：①若J1输入1，J2输入自然数n, 则输出结果为多少?
②若J2输入1，J1输入自然数m, 则输出结果为多少?
③若J1输入m，J2输入自然数n, 则输出结果为多少?
参考答案：数列测试题（1）：
1、 C ；
2、B ；
3、C；
4、B；
5、A ；
6、B ；
7、C ；
8、C；
9、B；10、B
11．15；12．
()1
1
2
n n+
+
；13．-72 ；14．-6 ；15、
26
2
n n
-+
；
16、（Ⅰ）解：由
得
,3
1
=
x23,
p q
+=45
45154
24,25,2,
x p q x p q x x x
=+=++=
又且
55
32528,
p q p q
⇒++=+1,1
p q
⇒==
(Ⅱ)解：
21(1)
(222)(12)22.2n n n n n S n ++=++
+++++=-+
17．解：（Ⅰ）
121n n n a a a +=
+，∴ 111111222n n n n a a a a ++==+⋅， ∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又
123a =
，∴11112a -=， ∴数列1{1}
n
a -是以为12首项，12为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n n n a =+．设23123222n T =+++…2n
n +，
① 则
23112222
n T =++…
1122
n n n n
+-+
+，② 由①
-
②得
211111
(1)
111
112211222
2222212n n n n n n n n n n T +++-=+++-=-=---
， ∴
11222n n n n T -=--．又123+++…(1)2n n n ++=
． ∴数列{}n n a 的前n 项和
22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==． 18 、(1)由已知a6=a1＋5d=23＋5d ＞0，a7=a1＋6d=23＋6d ＜0，解得:－523＜d ＜－623
，又d ∈Z ，∴d=－4 (2)∵d ＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0 ∴当n=6时，Sn 取得最大值，S6=6×23＋25
6⨯ (－4)=78 (3)Sn=23n ＋2)1(-n n (－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0 ∴0＜n ＜225，又n ∈N*，所求n 的最大值为12.
19．（Ⅰ）由
)12(21020103010=++-S S S 得
,
)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得
.
)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++⋅ 因
为
>n a ，所以 ,1210
10=q
解得
21=
q ，因而 .,2,1,21
11 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项
211=a 、公比21=q 的等比数列，故.2,211211)
211(21n n n n n n n nS S -=-=--=则数列}{n nS 的前n 项和
),22221()21(2n n n n T +++-+++= ).
2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T
前两式相减，得 1
22)212121()21(212
+++++-+++=n n n n
n T 1
2211)
21
1(214)1(++-
--
+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T
20、●解、①总投入：a1=800万元， ② 总收入：b1=800万元， an = 800× 1-（45）n 1-45 bn = 400× 1-(5
4
)n
1-54
=4000[1-(45)n] = -1600[1-(5
4
)n]
考查 bn- an >0 则5×(45)n+2×(54)n -7>0；设 (45)n=x,则5x2-7x+2> 0从而有x<25即 (45)n<2
5
, 则有n ≥5
21．解：（1）{an}为等差数列，
31a a a a 8163-
=+=+，又34
a a 81-=⋅且81a a >
求得1a 1=，
34
a 8-
= 公差317a a d 18-=-= ∴*
)(N n 3
4
n 3
11n 311a n ∈+
-
=--=
（2）1a b 11==，0a b 42== ∴
2n 342n 331a b 2
n 3n +-=+--==-)( ∴2122222
n 2
)1n (b b n
1
n ==+-++-+ ∴
{n b 2}是首项为2，公比为21的等比数列 ∴{n b 2}的所有项的和为
4
2112
=-
数列测试题（2）：
1、C ；
2、C ；
3、D ；
4、Ｃ；
5、B ；
6、C ；
7、B ；
8、B ；
9、C ；10、B
11、
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 21112 ；12、an =n 2n+1
；13、n2·2n ；14、n ≥10；15、n ≥63 16． 解：设数列
{}
n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d
=+=+，
1046106a a d d
=+=+．由
3610
a a a ，，成等比数列得
2
3106
a a a =，即2
(10)(106)(102)d d d -+=+，整
理得210100d d -=， 解得0d =或1d =．当0d =时，20420200
S a ==．当1d =时，
14310317
a a d =-=-⨯=，于是
2012019
202
S a d
⨯=+
207190330=⨯+=． 17、解：（1）根据韦达定理，得α+β=1n n a a +，α•β=1n a ,由6α-2αβ+6β=3得
1121163,23n n n n n a a a a a ++⋅-==+故（2）证明：因为112
2111213(),,23232323n n n n n a a a a a ++-
-=-=-=-所以
18．解： (1) 11(1)
n n a c a +-=-∵ ∴当1a ≠时，
{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

11(1)n n a a c --=-∴，即
1(1)1
n n a a c -=-+。

当1a =时，
1
n a =仍满足上式。

∴数列
}{n
a 的通
项公式为
1
(1)1n n a a c
-=-+*
()n N ∈。

(2) 由（1）得1
1(1)()2n n n b n a c n -=-=
2121112()()222n n n S b b b n =+++=
+++2311111
()2()()2222n n S n +=+++21111
11()()()222
22n n n S n +=+++-∴211111111()()()2[1()]()22
2222n n n n
n S n n -=++++-=--∴
1
2(2)()2n
n S n =-+∴
19．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，111
45a d a d +=⎧⎨
+=-⎩，解出13a =，2d =-．所以
1(1)25
n a a n d n =+-=-+．（Ⅱ）
21(1)
42
n n n S na d n n
-=+
=-+24(2)n =--．所以2n =时，n S 取到最大值4．
20、解、设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为An 万元，进行技术改造后生产至第n 个月所
带来的总收益为Bn ①An ＝45n-[3+5+…+（2n +1）]=45n-（n2+2n ）=43n-n2
②当n ≥5 时，Bn= 16[(32)5-1] 32 -1 +16·（3
2）4·（n-5）-400=81n-594 当n ≤4时，Bn= 16[(32)n-1]
32 -1 -400=16[2
（3
2）n-27]<0 显然，在前4个月里，对乙企业的技改投资未能收回，当n ≥5 时，Bn - An=n2+38n-594>0，则n ≥12， 所以，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益
21、解、① n a ＋２·n a ·1n a -－1n a -=0，则1n a －11
n a -=2 则n a =121n - ②3a ·6a = 1
55，是第28项；③n c =n a ·1n a +=121n -·121n +=12·（121n -－121n +） 则n S =12·（1－1
21n +）
附（备选例题）：
1、解：(Ⅰ) 122n
n n a a +=+11122n n n n a a +⇒=+－n+1n
n n 1a a =122⇒－－即n+1n b b =1－，所以数列}{n b 是等差数
列 (Ⅱ)由(Ⅰ)
10
1
(1)122
n n a n n =+⨯=－－，所以
1
2n n a n -=所以
0121222322n n S n =+⨯+⨯+⋯+－12n 1n
n 2S = 2+22++(n 1)2+n 2⇒⨯⋅－…－0121
122222
2212112n
n n
n n n S n n n ⇒=+++⋯+⋅=⋅=⋅－－－－－（－）－－n n S =(n 1)2+1
∴⋅－
2
、
解
：
设
等
差
数
列
)}
1({log 2-n a 的公差为 d. 由
,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即
.
12+=n n a （II ）证明
因为n n n n n a a a 2121111=-=-++，所以n
n n a a a a a a 21
21212111132112312++++=-++-+-+
.121121121212
1<-=-⨯
-=n n
3、解、①设n 分钟后第一次相遇，则2n+n(n-1)
2 +5n=70;∴n=7
②设n 分钟后第二 次相遇 ，则有2n+n(n-1)
2
+5n=70×3;∴n =15
4、解、①依题意，有An ＝（５００－２０）＋（５００－４０）＋（５００－６０）＋…＋（５００－２n ）=490n-10n2 Bn=500[（1+12）+（1+122）+…+（1+12n ）]-600=500n-500
2n
-100
考查Bn - An =10[n （n+1）-502n -10]而函数y=x （x+1）-50
2x -10在（0，+∞） 上为增函数，当n=1或2或3时，
n （n+1）-502n -10 <0 当n ≥4时，n （n+1）-502n -10≥20-50
16-10>0;∴仅当n ≥4时，Bn>An
∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润
5、解、①转化条件：ƒ（1，1）=1；ƒ（m,n+1）=ƒ（m,n）+2；ƒ（m+1,1）=2ƒ（m,1）；②所求：ƒ（1,n+1）=ƒ（1,n）+2 ⇒等差数列；ƒ（1,n）=ƒ（1,1）+2(n-1)=2n-1；ƒ（m+1,1）=2ƒ（m,1）⇒等比数列；ƒ（m,1）=ƒ（1,1）×2m-1=2m-1；ƒ（m,n+1）=ƒ（m,n）+2；则ƒ（m,n）=ƒ（m,1）+2（n-1）=2m-1+2n-2。