2007年高考数学天津理科全解全析(包括选择填空都有详细解析)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理 科）全解全析
一.选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. i 是虚数单位3
2,1i i
=-
( )
A.1i +
B.1i -+
C.1i -
D.1i --
【答案】C
【分析】
33
2(1)2(1)211(1)(1)2
i i i i i i i i i +-+===-+--+，故选C 2. 设变量,x y 满足约束条件1,
1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
则目标函数4z x y =+的最大值为 ( )
A.4
B.11
C.12
D.14
【答案】B
【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为(0,1)、(2,3)、(1,0)，将(2,3)代入得到最大值为14.故选B
3. 2""3πθ=是"tan 2cos "2π
θθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】22tan tan 2cos 2sin()2sin 323πθπθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当0θ=︒时tan 0,2cos 02πθθ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
可知不必要.故选A
4. 设双曲线2
2221(0,0)y x a b a b
-=>>
且它的一条准线与抛物线24y x =的准
线重合，则此双曲线的方程为
( )
A.2
211224y x -= B.2214896y x -= C.222133y x -=
D.2
2136
y x -=
【答案】D
【分析】由3,c a
=2
1a c =可得3,6, 3.a b c ===故选D
5. 函数(
)
2log 42(0)y x x =++>的反函数是
( )
A.142(2)x x y x +=->
B.142(1)x x y x +=->
C.242(2)x x y x +=->
D.242(1)x x y x +=->
【答案】C
【分析】原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ，故选C 6. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( )
A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥
B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥
C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥
D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥
【答案】D
【分析】对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定；对于B 只需找个γαβ∥∥，且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D
7. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
【答案】B
【分析】由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右
()f x 草图.故选B
8. 设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】B
【分析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得
121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B
9. 设,,a b c 均为正数，且11222
112log ,log ,log ,22b c
a
a b c ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则
( )
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c <<
【答案】A
【分析】由122log a
a =可知0a >21a
⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由12
1log 2b
b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭可知
0b >⇒12
0log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2c
c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，
从而a b c <<.故选A
10. 设两个向量22
(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2
m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,
a b =r r 则m
λ
的取值范围是 ( )
A.[6,1]-
B.[4,8]
C.(,1]-∞
D.[1,6]-
【答案】A
【分析】由22
(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2
m b m α=+r 2,a b =r r 可得
2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ
=代入方程组可得222
22cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2
2
22cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪
--⎝⎭
，再化简得2
2
422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+
-= ⎪--⎝⎭
再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1
[1,]8
t ∈--因而
11128
k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.
11. 若6
21x ax ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
的二项展开式中3
x 的系数为5,2则a =__________.(用数字作答) 【答案】2
B A
C
D
【分析】()
62
1123166()r
r
r
r r r
r T C x ax C x
a ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数33
65
22
C a a -=
⇒= 12. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球
的表面积为__________. 【答案】14π
【分析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R =2414S R ππ==
13. 设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22
lim
n n n
a n S →∞-=__________. 【答案】3
【分析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得
22
112134(2)(2)lim 3(1)
n n a n a n n a →∞+-+-=+- 14. 已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是
__________.
【答案】30x y +=
【分析】两圆方程作差得30x y +=
15. 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则
AD BC =u u u r u u u r
g __________.
【答案】83
-
【分析】由余弦定理得222222
cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD
+-+-==
⨯⨯⨯⨯
可得BC
=,3
AD =，
又,AD BC u u u r u u u r 夹角大小为ADB ∠
，
22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠==-⨯=⨯⨯
所以AD BC =u u u r u u u r g 8cos 3AD BC ADB ⨯⨯∠=-
.
16. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用
3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答). 【标准答案】390
【分析】 用2色涂格子有26230C ⨯=种方法，用3色涂格子有()
32
63382360C C ⨯-⨯=种
方法，故总共有390种方法.
三.解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈R . (I)求函数()f x 的最小正周期；
(II)求函数()f x 在区间3,
84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值.
【分析】()2cos (sin cos )1f x x x x =-+sin 2cos2x x =-24x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
. 因此，函数()f x 的最小正周期为π.
(II)解法一：因为()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，
又
3330,1,884244f f f ππππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故函数()f x 在区间3,
88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
最小值为1-.
解法二：作函数()24f x x π⎛⎫-
⎪⎝
⎭在长度为一个周期的区间9,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图象如下：
由图象得函数()f x 在区间3,
84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦2,最小值为314
f π
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、
函数sin()y A x ωφ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力. 18. (本小题满分12分)
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑
球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球. (I)求取出的4个球均为黑色球的概率； (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.
【分析】(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑
球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且22
34224612
(),()25
C C P A P B C C ====.
故取出的4个球均为黑球的概率为121
()()()255
P A B P A P B ==
⨯=g g . (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1
个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且
21112
33244222
24646.41
().,().155
C C C C C P C P
D C C C C ====.
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417
()()()15515
P C D P C P D +=+=
+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17
(0),(1),515
P P ξξ====
又13224611
(3).,30C P C C ξ===
从而3(2)1(0)(1)(3)10
P P P P ξξξξ==-=-=-==
.
ξ的分布列为
ξ的数学期望17317
012351510306
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
【考点】本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等
基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面
,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点.
(I)证明：CD AE ⊥； (II)证明：PD ⊥平面ABE ；
(III)求二面角A PD C --的大小.
【分析】(I)证明：在四棱锥P ABCD -中， 因PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD 故PA CD ⊥.
,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥Q I 平面PAC .
而AE ⊂平面,PAC AE PC ∴⊥.
(II)证明：由,60,PA AB BC ABC ==∠=︒可得AC PA =.E Q 是PC 的中点，AE PC ∴⊥.
由(I)知，,AE CD ⊥且,PC CD C =I 所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面
,PCD AE PD ∴⊥.
PA ⊥Q 底面,ABCD PD 在底面ABCD 内射影是,,AD AB AD AB PD ⊥∴⊥.
又,AB AE A =I 综上得PD ⊥平面ABE .
(III)解法一：过点A 作,AM PD ⊥垂足为,M 连结EM .由(II)知，AE ⊥平面,PCD AM 在平面PCD 内的射影是,EM 则EM PD ⊥.因此AM E ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知，得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得
,,,.32
PA a AD PD a AE ==
== A
P
E
B
C
D
在Rt ADP ∆中，,..AM PD AM PD PA AD ⊥∴=Q .则
.
..a PA AD AM PD == 在Rt AEM ∆
中，sin 4
AE AME AM ==
所以二面角A PD C --
的大小是acr 解法二：由题设PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面,PAD 则平面PAD ⊥平面,ACD 交线为.AD
过点C 作,CF AD ⊥垂足为,F 故CF ⊥平面.PAD 过点F 作,FM PD ⊥垂足为,M 连结
,CM 故.CM PD ⊥因此CMF ∠是二面角A PD C --的平面角.
由已知，可得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得
1,,,,.3
326PA a AD a PD a CF a FD a =====
FM D ∆Q ∽,.FM
FD PAD PA PD
∆∴=
于是，...a
FD PA FM PD =
==
在Rt CMF ∆
中，1tan a
CF
CMF FM ==
所以二面角A PD C --
的大小是
【考点】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象
能力、运算能力和推理论证能力. 20. (本小题满分12分) 已知函数2221
()(1
ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .
(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
(II)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.
【分析】(I)解：当1a =时，224
(),(2).51
x f x f x =
=+又
222222
2(1)2.2226
'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++
A
P
E
B
C
D M F
所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46
(2),525
y x -=--即
625320.x y +-=
(II)解：2222
2(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=
+222()(1)
.(1)x a ax x --+=+ 由于0,a ≠以下分两种情况讨论.
(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121
,.x x a a
=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况
如下表：
所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内为增函数.
函数()f x 在11
x a =-
处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.
(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121
,x a x a
==-
.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭内为增函数.
函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.
函数()f x 在21
x a =-
处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
.
【考点】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函
数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 21. (本小题满分14分) 在数列{}n a 中,1112,(2)2(n n n n a a a n λλλ++==++-∈N *),其中0λ>. (I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)求数列{}n a 的前n 项和n S ；
(III)证明存在k ∈N *,使得
11
n k n k
a a a a ++≤对任意n ∈N *均成立. 【分析】(I)解法一：22222(2)22a λλλλ=++-⨯=+， 2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-⨯=+，
3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-⨯=+.
由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+. 以下用数学归纳法证明. (1)当1n =时1,2,a =等式成立.
(2)假设当n k =时等式成立，即(1)2,k k k a k λ=-+
那么，
11(2)2k k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2.k k k λ++=+-+ 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n ∈N *都成立.
解法二：由1
1(2)2(n n
n n a a n λλ
λ++=++-∈N *),0,λ>可得
1
1
1
221,n n
n n
n n a a λλλλ+++⎛⎫
⎛⎫
-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以2n
n n a λλ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
为等数列，其公差为1，首项为0.故21,
n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)2.n n n a n λ=-+
(II)解：设234123...(2)(1),n n n T n n λλλλλ-=++++-+-
①
345123...(2)(1).n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-
②
当1λ≠时，①式减去②式，得
231
(1)...(1)n n n T n λλλλλ
+-=+++--211(1),1n n n λλλλ
++-=---
1212
2122
(1)(1).1(1)(1)
n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++---+-=-=---
这时数列{}n a 的前n 项和212
12
(1)2 2.(1)
n n n n n n S λλλλ+++--+=+--
当1λ= 时，(1).2n n n T -=
这时数列{}n a 的前n 项和1(1)
2 2.2
n n n n S +-=+- (III)证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a
a 最大.下面证明：
21214
, 2.2
n n a a n a a λ++<=≥ ③
由0λ>知0.n a >要使③式成立，只要212(4)(2).n n a a n λ+<+≥因为
222(4)(4)(1)(4)2n n n a n λλλλ+=+-++124.(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+
121222, 2.n n n n a n λ+++≥+=>
所以③式成立. 因此，存在1,k =使得
112
1
n k n k a a a a a a ++≤=
对任意n ∈N *均成立. 【考点】本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、
不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 22. (本小题满分14分)
设椭圆2
2221(0)y x a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F A 是椭圆上的一点
,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为11
||3
OF .
(I)
证明：a ；
(II)设12,Q Q 为椭圆上的两个动点,12OQ OQ ⊥,过原点O 作直线12Q Q 的垂线,OD 垂
足为,D 求点D 的轨迹方程.
【分析】(I)证法一：由题设212AF F F ⊥及12(,0),(,0),F c F c -不妨设点(,),A c y 其中0.y >由
于点A 在椭圆上，有22221,y c a b +=即 2
2222 1.y a b a b -+= 解得2,b y a =从而得到2,
.b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
直线1AF 的方程为2
(),2b y x c ac
=+整理得2220.b x acy b c -+=
由题设，原点O 到直线1AF 的距离为11
||,3OF 即242234c b a c
=
+
将222c a b =-代入上式并化简得222,a b =即2.a b =
证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2
,
.b c a
⎛⎫ ⎪⎝⎭
过点O 作1,OB AF ⊥垂足为,b 易知1F BO ∆～12,F F A ∆故
211||
||.||||
F A BO OF F A =
由椭圆定义得12||||2,AF AF a +=又11||||,3
BO OF =所以2212||
||1,3||2||F A F A F A a F A ==-
解得2||,2a F A =而2||,2
a F A =而22||,
b F A a =得2,2b a
a =即2.a
b =
（II ）解法一：设点D 的坐标为00(,).x y 当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为
0,x y -
所以直线12Q Q 的方程为0
000(),x y x x y y =--+或,y kx m =+其中2
00000
,.x x k m y y y =-=+
点111222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组222,
22.
y kx m x y b =+⎧⎪⎨
+=⎪⎩①②
将①式代入②式，得2222()2.x kx m b ++= 整理得2222(12)4220.k x kmx m b +++-=于是
1224,12km x x k +=-+
22
12222..12m b x x k -=+ ③
由①式得 1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x km x x m =+++
222
2
22
224..1212m b km k km m k k
--=++++32222.12m b k k -=+ ④
由12OQ OQ ⊥知12120.x x y y +=将③式和④式代入得2222
2
3220,12m b b k k --=+
2
2
2
32(1).m b k =+ 将2
00000,x x k m y y y =-=+代入上式，整理得22
2002.3x y b +=
当00y =时，直线12Q Q 的方程为0.x x =点110222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组
0222
,
22.x x x y b =⎧⎪⎨+=⎪⎩
所以1201,2,x x x y === 由12OQ OQ ⊥知12120,x x y y +=即22
200
20,2b x x --=解得2
20
23x b = 这时，点D 的坐标仍满足22
2002.3x y b +=
综上，点D 的轨迹方程为2222
.3
x y b +=
解法二：设点D 的坐标为00(,).x y 直线OD 的方程为000,y x x y -=由12,OD Q Q ⊥垂足为,
D 可知直线12Q Q 的方程为220000.x x y y x y +=+记22
00
m x y =+（显然0).m ≠点110222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组
00222,22.
x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②
由①式得00y y m x x =-
③
由②式得222222
00022.y x y y y b += ④
将③式代入④式得
22222
0002()2,y x m x x y b +-=
整理得2
22
2
2
20
00
(2)4220.x y x mx x m b y +-+-=于是222
1222
00
22.2m b y x x x y -=+ ⑤ 由①式得 00.x x m y y =- ⑥
由②式得
22222200022.x x x y x b += ⑦
将⑥式代入⑦式得22222
000()22,m y y x y x b -+=
整理得222
2
2
20
00
(2)220.x y y my y m b x +-+-=于是222
1222
00
2.2m b x y y x y -=+ ⑧
由12OQ OQ ⊥知12120.x x y y +=将⑤式和⑧式代入得222222
00
2222
0000
2220,22m b y m b x x y x y --+=++ 22220032()0.m b x y -+= 将22
00m x y =+代入上式，得222
002.3
x y b +=
所以，点D 的轨迹方程为2222.3
x y b +=
【考点】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，
考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.。