微积分中值定理

ba
拉格朗日中值定理的证明分析
分析：要证结论等价于 f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
F ( x) x


f
(x)

f (b) f (a) b a x
0
即
d dx

f
(x)

f (b) f (a) ba
x
x
0
函数提供了理论基础. 拉格朗日中值公式又称微分中值公式，它有以下
几种等价形式：
f (b) f (a) f ( )(b a),
在a,b之间.
f (b) f (a) f (a (b a))(b a), 0 1
若令a x,b x x,则有
设f (x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f (0)
例4
f (1) 0，f ( 1 ) 1，又g(x) f (x) x
2
证明：至少存在一点 (0,1)使g( ) 0
分析：g(0) f (0) 0 0, g(1) f (1) 1 1,
两个实根，又f (x)为二次多项式，f (x) 0至多有两个
实根. 所以f (x) 0有且仅有两个实根,分别位于 (1,2), (2,3)内.
例3 设 Pn (x)为n次多项式，Pn(x) 0没有实根，试证明Pn (x) 0 最多 只有一个实根. 证 设 Pn (x) 0 至少有两个不等的实根，设为 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 , 因 Pn (x)在 [x1, x2 ]上连续，在 (x1, x2 )内可导，且 Pn (x1) Pn (x2 ) 0, 由罗尔定理知，至少存在一点 (x1, x2 ), 使得 Pn( ) 0. 即 x 是 方程 Pn(x) 0的根，与题设矛盾. 所以，Pn (x) 0 最多只有一个实根.
？
y
y
A
B
0 a b
证明
A
B
关键
x
0 a 1 2 b
x
点
函数 f(x) 在最大值点或最小值点处一阶导数为零。
证明关键点：f(x) 在最大值点或最小值点处一阶导数为零。 证 由条件(1)知, f (x)在[a,b]上一定取得最大值 M和最小值m.
(1) M m, 则 f (x) c (c为常数 )，x[a,b].故 f (x) 0,
特殊情况.
(2)几何意义
在连续且光滑的曲线弧AB上，至少有一条切线
平行于割线AB.
y
B
(3)在拉格朗日中值公式中，
若b a公式仍成立，故应 A 用公式时，不必讨论两个 a
x b
端点的大小。例如：f (x)在以a,b为端点的区
间上应用拉格朗日中值定理
注： (4)拉格朗日中值定理又称 微分中值定理，它将 函数改变量同函数导数联系起来，为用导数研究
f (x) 0 至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号， 后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个 结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时 罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁 肯使用繁难的代数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托. 伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,
x
a x0 b
图三 不可导
x
ab
图四 f (a) f (b)
(2) 罗尔定理是定性的结果 , 即它肯定了至少存在
一个 值，而不能肯定 的个数，也没有指出 值为
多少，但对于简单的情形，可以从 f ( ) 0中解出．
例1 验证函数 y sin x 在 [0,2 ] 上满足罗尔定理的
f (x x) f (x） f (x x)x, 0 1
该公式也称为有限增量公式.
例1 验证函数 f (x) ln x在区间[1,e] 上满足拉格朗日定理条件，并 求出定理中的 .
解 因为函数 f (x) ln x为基本初等函数，故f (x)在[1,e] 上连续，
又因为 f (x)为初等函数，易知f (x)在 [1,2]，[2,3] 连续，在(1,2), (2,3)内可导，且f (1) f (2) f (3) 0.
在[1,2]上应用罗尔定理，则至少1 (1,2)使f (1 ) 0. 同理，至少2 (2，3)使f (2 ) 0. 故f (x) 0至少有
本章我们将学习： ● 中值定理 ● 洛必达法则 ● 函数单调性、极值与最值的计算 ● 曲线凹凸的判定 ● 函数图形的作法 ● 经济应用
§3.1 中值定理
罗尔定理
中
值 定
拉格朗日中值定理
理
柯西中值定理
泰勒定理
3.1.1 罗尔(Rolle)定理
我们先通过几何图形直观理解罗尔定理:
y
y
A
B
0 a b
g(1) f (1) 1 1.
证：g
(1
)

12
2 0，又g
2 (1)
2 1

0，
故由零点定理知
22
c (1 ,1)使g(c) 0．又由题设知g(x)在[0, c]上连续
2
在(0, c)内可导，g(0) g(c) 0，故由罗尔定理，至少
(0, c) (0,1)，使g( ) 0.
条件及结论．
解：(1) y sin x 为初等函数，故在[0，2 ]上连续； (2) f (x) cos x 在 (0,2 )上存在，故 y sin x 在
（0，2）内可导；
（3） sin 0 sin 2 0
故 y sin x 在 [0，2 ] 上满足罗尔定理的条件 ，
分母0
由条件（2）知 f ( ) 存在，
则
f ( )
f ( )
f ( )
0.
证毕
注：(1) 罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件
满足，就保证结论成立，若定理中的三个条件缺少其
中任何一个，定理结论不一定成立.如下图:
y
y
y
y
a x0
x
b
a
x
b
图一 不连续 图二 在b点不连续
罗尔(1652-1719)是法国数学家.1652年4月21日生于昂贝尔 特,1719年11月8日卒于巴黎.
罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的研 究.
罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文 中指出了：在多项式方程 f (x) 0 的两个相邻的实根之间，方程
故由罗尔定理知，至少 (a,b)使F ( ) 0
即 f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即 f ( ) f (b) f (a)
ba
证毕．
注：(1)在拉格朗日中值定理中 ，令f (a) f (b),即得
罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中值定理的
因此我们对函数F (x) f (x) f (b) f (a) x在[a,b] ba
上应用罗尔定理.
根据待证结论构
造辅助函数
拉格朗日中值定理的证明:
证 设F (x) f (x) f (b) f (a) x ba
可验证F (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且
F (a) F (b) bf (a) af (b) ba
于是有 sin x x cos 0 (0,2 )
故 或 3 均属于(0,2 )．
2
2
二、几何意义
在两个端点的纵坐标相 等的连续且光滑的曲线 弧上，至少有一点的切 线平行于 x 轴． 三、应用 （1）由f (x)的条件判断导数方程f (x) 0的根的存 在性及范围． 注意与零点定理应用的区别
用零点定理判断方程f (x) 0的根的存在性及范围．
(2) 推导拉格朗日中值定理 及柯西定理．
例2 设 f (x) (x 1)(x 2)(x 3) ，不求 f (x) ， 说明 f (x) 0 有几个实根,并指出各根所在区间．
解： 令f (x) 0，易知此方程有三个实根 x1 1， x2 2 ，x3 3.
图1
A
B
x
0 a 1 2 b
x
图2
（1）连续；（2）可导；（3）端点处函数值相等。
点处一阶导数为零。
一、定理3.3.1(罗尔定理) 设y f (x)满足:
(1) 在闭区间[a,b]上连续;
如
(2) 在开区间(a,b)内可导;
何 证
(3) f (a) f (b).
明
则至少存在一点 (a,b), 使f ( ) 0.
因为f ( ) M是f (x)在[a,b]上的最大值 , 所以对x [a,b], 都有f (x) f ( ) 0,
由极限的不等式性质知:
分子0
f


(
)

lim
x

f (x) f () x

0
分式0
0 f


(
)

lim
x
f (x) f () x
尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.
y
y
B
B
A
x
a b
A x
a b
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
一、定理3.1.2 （拉格朗日中值定理） 设f (x)满足：
（1） 在闭区间[a,b]上连续 （2） 在开区间(a,b)内可导
则至少存在一点 (a,b)使 f (b) f (a) f ( )
f (x)= 1 在(1, e)上有定义，故f (x)在(1, e)内可导. x
故f (x)在[1,e] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
则存在一点 (1,e)，使得 f ( ) f (e) f (1) ,
e 1
即
1


1, e 1
e 1.
x (a ,b) . 此时(a,b)内任意一点均可作为,
使 f ( ) 0.
(2) M m, 因为f (a) f (b), 故M和m不可能同时 在区间端点a,b处取到，即M 与m至少有一个
在(a,b)内取到，不妨设 M 在 (a,b) 内的 处 取到. 即f ( ) M , 下证 f ( ) 0, (a,b).
第三章 中值定理与导数的应用
本章导数的应用包括：
1、利用导数求函数的极限 (3.2节) 2、利用导数讨论函数的性态（3.3—3.5节） 3、导数在经济中的应用（3.6节）
导数f (x) 中值定理 函数f (x)
第三章 中值定理与导数的应用
中值定理是微分学的理论基础,它把函数的改变量同 函数的导数联系起来,使得我们能够利用导数来研究函 数及其图形的性态。