2021年高考数学二轮复习 解析几何综合题

1．(xx·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，
过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.
(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3
5，求椭圆E 的离心率．
【解】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.
因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.
(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得， |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得，
|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－6
5(2a －3k )·(2a －k )．
化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝
2
2
a，所以椭圆E的离心率e＝
c
a
＝
2
2
.
2．(xx·全国大纲高考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4
与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝5
4
|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【解】(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝8 p .
所以|PQ|＝8
p
，|QF|＝
p
2
＋x0＝
p
2
＋
8
p
.
由题设得p
2
＋
8
p
＝
5
4
×
8
p
，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，x1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1
m
y＋2m2＋3.
将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4
m
y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4
m
，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故MN 的中点为E (
2
m
2
＋2m 2
＋3，－2m
)，|MN |＝1＋1
m
2|y 3－y 4|＝
4
m 2＋1 2m 2＋1
m 2
.
由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2
|MN |，
从而14|AB |2＋|DE |2
＝14
|MN |2，即
4(m 2＋1)2＋(2m ＋2
m )2＋(2
m 2＋2)2
＝
4
m 2＋1
2
2m 2＋1
m 4
，
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.
所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 3．(xx·浙江温州适应性测试)
如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y 在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与
椭圆C 2：x 24＋y 2
2
＝1相交于C ，D 两点．
(1)求抛物线C 1的焦点F 与椭圆C 2的左焦点F 1的距离；
(2)设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得|AB |，d ，|CD |成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)抛物线C 1的焦点F (0,1)， 椭圆C 2的左焦点F 1(－2，0)， 则|FF 1|＝ 3.
(2)设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
＝4y ，
得x 2－4kx －4m ＝0，
故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m .
由x 2＝4y ，得y ′＝x
2
，
故切线PA ，PB 的斜率分别为k PA ＝x 12，k PB ＝x 2
2，
再由PA ⊥PB ，得k PA k PB ＝－1，
即x 12·x 22＝x 1x 24＝－4m
4
＝－m ＝－1，
故m ＝1，这说明直线AB 过抛物线C 1的焦点F .
由⎩
⎪⎨
⎪
⎧
y ＝x 12
x －x 214
，y ＝x 22x －x 2
24
，
得x ＝
x 1＋x 2
2
＝2k ，
y ＝x 12
·2k －x 214
＝kx 1－x 21
4
＝
x 1＋x 24
·x 1－x 21
4＝x 1x 24
＝－1，
即P (2k ，－1)．
于是点P (2k ，－1)到直线AB ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝2k 2
＋2
1＋k
2
＝21＋k 2. 由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，x 2
4＋y
2
2＝1，
得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0，
从而|CD |＝1＋k 2
4k
2
－4
1＋2k 2·－2
1＋2k 2
＝1＋k 2
8
1＋4k 21＋2k 2
，
同理，|AB |＝4(1＋k 2)
若|AB |，d ，|CD |成等比数列，则d 2＝|AB |·|CD |，
即(21＋k 2)2＝4(1＋k 2)·1＋k 2
81＋4k 21＋2k 2
，
化简整理，得28k 4＋36k 2＋7＝0，此方程无实根， 所以不存在直线AB ，使得|AB |，d ，|CD |成等比数列．
4．(xx·江西南昌一模)已知点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，过
椭圆C 的右焦点F 2(1,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN ∥AB ，W ＝|AB |2
|MN |.试判断W 是否为定
值？若W 为定值，请求出这个定值；若W 不是定值，请说明理由．
【解】 (1)椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，∴c ＝1，椭圆C 的左焦点坐标为(－
1,0)，
可得2a ＝1＋1
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－322＋1－1
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－322 ＝52＋3
2
＝4，解得a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)①当直线斜率不存在时，|AB |2＝(2b )2＝4b 2， |MN |＝2b 2
a ，∴W ＝|AB |2|MN |＝4
b 2
2b 2
a
＝2a ＝4.
②当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，
N (x 2，y 2)．
由⎩⎨
⎧
x 24＋y 2
3＝1
y ＝k x －1
，得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k
23＋4k 2
，
x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2
，
|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋k 2
[
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝
错误!＝错误!.
设直线AB 的方程为y ＝kx (k ≠0)，
由⎩⎨⎧
x 24＋y 2
3＝1y ＝kx
，消去y ，并整理得：x 2＝
12
3＋4k 2
，
设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则
|AB |＝1＋k 2
|x 3－x 4|＝4
3
1＋k 23＋4k 2
，∴W ＝|AB |2
|MN |＝
48
1＋k 23＋4k 2121＋k 2
3＋4k 2
＝4.综上所述，
W 为定值4.
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