浙江专用高中数学第三章直线与方程章末复习课课件新人教A版必修

d＝
|C2－C1| A2＋B2
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它 的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观 分析相结合.
5.直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它 把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程， 然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而 求出直线方程.直线系方程的常见类型有： (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是 参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的 直线的点斜式方程；
(2)运用直线系4】 过点 P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线， 使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线的方 程. 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为 x＝－1，x＝0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，满足 题意； (2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k，则两条直线的方程 分别为 y＝k(x＋1)，
【训练 3】 已知在△ABC 中，A(1，1)，B(m， m)，C(4，
2)，其中 1＜m＜4，求 m 为何值时，△ABC 的面积 S 最大？
解 ∵A(1，1)，C(4，2)，∴|AC|＝ （4－1）2＋（2－1）2
＝ 10.又直线 AC 的方程为 x－3y＋2＝0，
∴点 B(m，
m)到直线
AC
的距离
B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 kAB＝yx22－－yx11. (3)当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0).
2.直线的五种方程及比较
名称
方程
常数的几何意义 适用条件
点斜式
(x0，y0)是直线上 直线不垂直于 y－y0＝k(x－x0) 的一个定点，k x轴
是斜率
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直 直线不垂直于
线在y轴上的截 x轴
距
两点式 截距式
(x1，y1)，(x2， 直线不垂直 yy2－－yy11＝xx2－－xx11 y2)是直线上 于 x 轴和 y
的两个定点 轴
为最小，此时有 tan α1＝0－（ 3－－03）＝1，∴α1＝π4 .
直线 l 过点 B(－4，1)时，就是直线 MB，倾斜角 α2 为最大，
此时有 tan α2＝1－－（4－ －30）＝－1，∴α2＝3π 4 .
故直线 l 过点 M，并绕 M 转动时，倾斜角 α 的取值范围是 π4 ，3π 4 .
方法二 数形结合思想
“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结 合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一 种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方 面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”.
数形结合思想是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和 点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公 式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题 转化为代数问题来解决.用数形结合思想解题，主要通过三种途 径：①坐标系；②转化；③构造图形，构造函数.
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是： Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是： Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 是参数，当λ＝0时，方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线 l1；当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l2).
1.直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾 斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直 接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间 接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.
(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不 存在；当 α≠90°时，斜率 k＝tan α，且经过两点 A(x1，y1)，
平行的等价条件 l1∥l2⇔ k1＝k2且 b1≠b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0
l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0， 且B1C2－B2C1≠0(或A1C2 －A2C1≠0)
垂直的等价条件 l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 l1⊥l2⇔ A1A2＋B2B1＝0
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要 注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的 方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出 合理的直线方程.
y＝kx＋2.令 y＝0，分别得 x＝－1，x＝－2k. 由题意得－1＋2k＝1，即 k＝1. 则直线的方程为 y＝x＋1，y＝x＋2， 即 x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 综上可知，所求的直线方程为 x＝－1，x＝0，或 x－y＋1 ＝0，x－y＋2＝0.
【训练 4】 求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋ 2＝0 的交点且过坐标原点的直线 l 的方程. 解 ∵l2 不过原点， ∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ＝R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0，0)代入上式，得 λ＝1， ∴直线 l 的方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.
4.距离问题 类型
已知条件
公式
两点间的 距离 A(x1，y1)，B(x2，y2)
点到直线
P(x0，y0)
的距离 l：Ax＋By＋C＝0
d＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
两条平行 l1：Ax＋By＋C1＝0， 直线间的 l2：Ax＋By＋C2＝0 距离 (A，B 不同时为 0)
π 当 α＝ 2 时，直线 l 无斜率；
当 α∈π4 ，π2 时，直线 l 的斜率 k＝tan α∈[1，＋∞)； 当 α∈π2 ，3π 4 时，直线 l 的斜率 k＝tan α∈(－∞，－1].
∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
方法三 转化与化归思想
把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较繁问题直 观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决.
【训练1】 直线l经过点P(2，3)，且在x，y轴上的截距互为相 反数，试求该直线的方程. 解 ①当截距都为 0 时，直线过原点，此时 k＝32，所以直线方 程为 y＝32x. ②当截距都不为 0 时，根据题意，设所求直线的方程为ax＋－ya＝ 1.∵直线过点 P(2，3)，∴2a＋－3a＝1，得 a＝－1.∴直线方程 x －y＋1＝0.综上，所求直线方程为 x－y＋1＝0 或 y＝32x.
1.(2013·安徽高考)函数 y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上
可找到 n(n≥2)个不同的数 x1，x2，…，xn，使得f（xx11）＝f（xx22）
＝…＝f（xxnn），则 n 的取值范围为(
)
A.{3，4} C.{3，4，5}
B.{2，3，4} D.{2，3}
解析 由题意，函数 y＝f(x)上的任一点坐标为(x，f(x))，故f（xx） 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若 f（xx11）＝f（xx22） ＝…＝f（xxnn），则曲线上存在 n 个点与原点连线的斜率相等， 即过原点的直线与曲线 y＝f(x)有 n 个交点.如图，数形结合可得 n 的取值可为 2，3，4.
a，b 分别是直 直线不垂直
ax＋by＝1
线在 x 轴，y 于 x 轴和 y 轴上的非零 轴，且不过
截距
原点
Ax＋By＋C＝0(A，B
一般式
A，B，C为系数 任何情况
不同时为0)
特殊直线
垂直于x轴且过
x＝a(y轴：x＝0)
斜率不存在
点(a，0)
垂直于y轴且过 y＝b (x轴：y＝0)
点(0，b)
斜率k＝0
d＝|m－3
m＋2| 10 .
∴S＝12|AC|·d＝12|m－3 m＋2|＝12 m－322－14.
∵1＜m＜4，∴1＜ m＜2，∴－12＜ m－32＜12，∴0≤ m－32
2＜14.∴0＜S≤18，当 m－32＝0，即 m＝94时 S 取得最大值.
方法四 待定系数法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方 程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程， 当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.
6.“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称. (1)中心对称 ①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于 P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点. 特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y). ②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一 条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2， P到l1，l2的距离相等.
当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
方法一 分类讨论思想
分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解 决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个 能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.
在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是 否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引 起的分类讨论问题.
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴 垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线， 一般式虽然可以表示任何直线，但要注意 A2＋B2≠0，必要时 要对特殊情况进行讨论.
3.两直线的平行与垂直
直线方程
l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2
【例 3】 在直线 2x＋3y＝6 上求一点 P(x，y)，使 S＝xy 的值 最大. 解 ∵点 P(x，y)在 2x＋3y－6＝0 上，∴y＝6－32x. ∴S＝xy＝x（6－3 2x）＝13(－2x2＋6x)＝－23x－322＋32.
∴当 x＝32时，S 取最大值，此时 y＝1，即点 P 为32，1.
∴f(x)＝||PA|－|PB||≤|AB|，当 P，A，B 三点共线时，等号成立，
此时1－2x＝
6－ 2－1
2，∴x＝
6－2 6－
22＝1－2
3.故当
x＝1－2
3时，
f(x)max＝ 9－4 3.
【训练2】 过点M(0，－3)的直线l与以点A(3，0)、B(－4，1) 为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. 解 如图，直线 l 过点 A(3，0)时，就是直线 MA，倾斜角 α1
【例1】 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标 轴上的截距相等，求直线l的方程. 解 ①当 2－a＝0，即 a＝2 时，直线经过原点，满足条件， 此时直线的方程为：3x＋y＝0. ②当 a＝－1 时，直线在 x 轴上无截距，不符合题意，故当 a≠ －1 且 a≠2 时， 由题意得：aa－＋21＝a－2，解得：a＝0. 此时直线的方程为：x＋y＋2＝0. 综上，所求直线方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.
【例 2】 已知 f(x)＝| x2－2x＋3－ x2－4x＋10|，求 f(x)的最大
值及相应的 x 值. 解 由题意，得 f(x)＝| x2－2x＋3－ x2－4x＋10|
＝| （x－1）2＋（0－ 2）2－ （x－2）2＋（0－ 6）2|.
如图所示，在直角坐标平面内，设点 P(x，0)，A(1， 2)，B(2， 6).
(2)轴对称 ①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与 l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直” 和“平分”列方程. ②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称. 当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等， 并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直 线上；