11.3.1 平行直线与异面直线 (教学课件)-高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册

同理， GH
/ /BD
2
且 GH
1
BD
2
因此 EF //GH ，所以四边形EFGH是平行四边形.
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练一练
如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证: 四边形ACNM是梯形.
证明：如图,连接A′C′, 因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点, 所以MN∥A′C′,且MN=12A′C′. 由正方体性质可知A′C′∥AC,且A′C′=AC. 所以MN∥AC,且MN=12AC, 所以四边形ACNM是梯形.
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任务2：结合图象，利用空间平行线的传递性，猜想并证明等角定理. 问题1：棱柱的上下底边有什么位置关系？上下底面构成的角有什么 关系？由此你能得到关于两个角关系的什么猜想？
猜想：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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AA1 / / BB1 / /CC1 / / DD1 / / EE1
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如图所示，在三棱锥SMNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、
MP的中点，则EF与HG的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
解析： ∵E，F分别是SN和SP的中点， ∴EF∥PN.同理可证HG∥PN， ∴EF∥HG.
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目标一：掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，
理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题.
任务：利用生活中的实物进行演示或观察几何体，思考下列问题，探索空间 中平行线的判定与性质.
(1)“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”在空间中是否仍成立？ (2)“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
A'C'上取一点F'，使得AF=A'F'；
∵ AE //A ' E ' ，∴AEE'A'是一个平行四边形，∴ AA' //EE ' ，
E'
同理 AA ' //FF '.
由空间平行线的传递性可知 EE ' //FF '，
F'
∴EFF'E'是一个平行四边形，∴EF=E'F'；
E
于是有 EAF E ' A' F ' ，从而∠EAF=∠E'A'F'.
学习总结
问题2：如图所示，等角定理是说，在空间中，如果AC//A'C'，AB//A'B'，则有 ∠BAC=∠B'A'C'.如果∠BAC与∠B'A'C'都在同一平面内，你能证明这个结论吗？ 如果这两个角不在同一个平面内呢？
解：在AB上取一点E，在A'B'上取一点E'，使得AE=A'E'；在AC上取一点F，在
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学习总结
新知讲解 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表述：ba∥∥cb a∥c .
图形表述：
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注：由空间平行线的传递性可以得到几何体中的一些线线平行关系. 例如，如图所示的棱柱中，因为侧面都是平行四边形，所以有：
空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形．
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问题：如图所示的空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,AD,BC,CD的中 点，求证：四边形EFHG是平行四边形.
证明：在△ABC中，因为E,F分别是的AB,AD的中点，
所以由三角形的中位线定理可知
EF / /BD 且 EF 1 BD ，
b β
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如图（1）中，AB B, A,l , B l ，此时，直线l与直线AB是 异面的，这是因为同时通过直线l与点B的平面只能是α，如果l与直线AB是 共面的，则A∈α，这与A∉α矛盾.
由此可总结出异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直 线与这个平面内不经过交点的直线异面．
判断下列说法是否正确：（1）没有公共点的两条直线是异面直线 （2）直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线.
解：（1）错误，没有公共点的两条直线也可能是平行直线．（2） 错误，异面直线是不同在任何一个平面内的直线．
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目标三：了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解 决判断空间中四边形的形状问题.
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判定两条直线是异面直线的方法：(1)定义法：既不相交也不平行的直 线是异面直线．(2)定理法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面 内不经过交点的直线异面.(3)反证法：假设两条直不是异面直线，则可 得到两条直线共面，应用共面推出矛盾.
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异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的 特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如 图所示.
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思考：结合图形，能否认为分别在两个平面内的直线就是异面直线？由 此总结判定两条直线是异面直线的方法. 不能，分别在两个平行内的直线也可能相交或平行，如图所示.
aα
A bβ
a α
F
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归纳总结 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且 方向相同，那么这两个角相等.
符号表述：
AC//A'C' AB//A'B' AC与A′C′方向相同 AB与A′B′方向相同
⟹ ∠BAC=∠B′A′C′.
图形表述：
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已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( C ) A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定
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归纳总结
证明空间中两条直线平行的方法：1.利用平面几何的知识(三角形 与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等) 来证明．2.利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都 与这条直线平行．
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学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “空间平行线的传递性”、“等角定理”、“异面直线”
解析： 当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°； 当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝150°.
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学习总结
目标二：理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面.
任务：思考下列问题，探索两条直线是异面直线的方法.
问题：我们已经知道异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，结 合图形思考，在立体几何中怎样做出异面直线的直观图？
新授课 课时11 平行直线与异面直线
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学习总结
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质， 理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间 中四边形的形状问题.
任务：认识空间四边形，利用空间平行线的传递性判断空间中四边形形状.
新知讲解
空间四边形1.定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形， 其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形 的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线．
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2.表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个 空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD.