一类二阶迭代泛函微分方程的局部可逆解析解

一类二阶迭代泛函微分方程的局部可逆解析解
朱先军
【摘要】在复域C内研究了一类含有未知函数迭代的二阶微分方程的局部可逆解析解的存在性.通过Schr der变换,把这类方程化为一种不含未知函数迭代的泛函微分方程,并给出了它的局部可逆解析解.讨论了双曲型情形和共振的情形,还在Brjuno条件下讨论了在共振点附近的情形.%The second-order differential equation involving iterates of the unknown function is studied in the complex field C for the existence of local invertible analytic solutions.By using the Schr der transformation,we transform this equation into another functional differential equation without iteration of the unknown function,and give its local invertible analytic solutions.We discuss not only those given in the Schr der transformation in the hyperbolic case and resonance,but also those near resonance under Brjuno condition.
【期刊名称】《滨州学院学报》
【年(卷),期】2011(027)003
【总页数】6页(P15-20)
【关键词】迭代泛函微分方程;解析解;共振;幂级数
【作者】朱先军
【作者单位】济宁学院数学系,山东曲阜273155
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
0 引言及预备知识
迭代泛函微分方程在许多领域中都有广泛的应用.由于这类方程中出现了未知函数的迭代,它们与通常的常微分方程和泛函微分方程有较大的差异,标准的存在性与唯一性定理不能直接引用,因此讨论这类方程的各种解的存在性很有意义.在文献[1]中,Petahov讨论了方程x″(t)=ax(x(t))的解的存在性,而在文献[2-4]中分别研究了如下二阶迭代泛函微分方程
的解析解的存在性.
最近在文献[5]中讨论了方程
的解析解的存在性.本文将讨论如下的二阶迭代泛函微分方程的局部可逆解析解的存在性:
其中r,m为非负整数在|z|＜δ(δ＞0)上解析.显然文献[2,5]中的方程是方程(1)当
f(z)=z,G(z)=0时的特例.
类似于文献[2-5],仍利用Schröder变换,即x(z)=y(αy-1(z)),将(1)转化为辅助方程
通过构造辅助方程(2)的一个收敛的幂级数解,得到了方程(1)的具有形如y(αy-1(z))的可逆的解析解,这些解的存在性与线性化的特征值α在复平面上的位置有关.本文将对下列3种情形下的α加以研究:
(H2)α=e2πiθ,θ∈R\Q是一个Brjuno数,+∞,其中表示θ在连分式展开中的部分
分式数列,此时称α满足Brjuno条件;
(H3)α=e2πiq/p,P∈N+,q∈Z-{0}且α≠e2πil/k,1≤k≤p-1,l∈Z-{0}.
为了研究方程(2)在Brjuno条件下解析解的存在性,需要Brjuno数[6]的定义和Davie引理[7],关于这些预备知识也可参见文献[4-5].
1 在条件(H1)或(H2)下的辅助方程
下面考虑在条件(H1)或(H2)下辅助方程(2)局部可逆解析解的存在性.
定理1 在条件(H1)或(H2)下,方程(2)在原点的邻域内有一个形如
的解析解.
证明设
将方程(2)化为如下形式:
由于y′(0)=a1≠0,故可得
将(3)、(4)都代入(5)得
这里
比较两边同次幂的系数有
由式(6),可任取a1=μ≠0,则数列{an}∞2可由(7)和(8)式唯一确定.
下证级数(3)在原点的某一邻域内收敛.
注意到幂级数(4)在|z|＜δ(δ＞0)上是收敛的,故存在常数M ＞0,使得对∀q∈(0,δ),有
在条件(H1)下,由式(8)有
由于,故存在L＞0,使得
由式(10)得
为了构造级数(3)的优级数,考虑隐函数方程
在条件(H1)下取L=L,在条件(H2)下取L=1.定义函数
注意到R(0,0;|μ|,L,M,q)=0,R′h(0,0;|μ|,L,M,q)=-1≠0,由隐函数存在定理可知在原点的邻域内存在唯一的解析函数 H(z),使得H(0)=0,H′(0)=|μ|和
R(z,H(z);|μ|,L,M,q)=0.
令
是 H(z)的收敛的幂级数展开式.将(14)代入(12),有
比较两边的系数得
由于|a1|=|μ|=B1,由式(11)、(15),利用数学归纳法易证
由(14)的收敛性和不等式(16)可知幂级数(3)在原点的邻域内是收敛的.
在条件(H2)下,应用归纳法可证|an|≤BneK(n-1),n≥1,其中K:N →R在Davie引理中定义.
因为(14)有正的收敛半径,故存在 T＞0,使得Bn≤Tn,n≥1.由Davie引理,存在常数γ＞0,使得K(n)≤n(B(θ)+γ),则
所以
这表明在条件(H2)下,级数(3)的收敛半径不小于(TeB(θ)+γ)-1.
2 在条件(H3)下的辅助方程
在条件(H3)下,α不仅在单位圆 S1上,而且它还是一个单位根.在这种情况下,α既不满足Diophantine条件,也不满足Brjuno条件.
定义序列{Bn}如下:
其中
p在(H3)中定义,M由定理1的证明中给出.
定理2 在条件(H3)下,定义数列{an}满足
和
其中
则当Φ(pl,α)=0,l=1,2,…时,方程(2)在原点的邻域内存在形如(3)的解析解,且满足apl+1=μpl+1, μpl+1是满足|μpl+1|≤Bpl+1的任意常数,数列{Bn}∞1在(17)中定义;当Φ(pl,α)≠0,l=1,2,…时,方程(2)在原点的任意邻域内都不存在解析解.
证明类似于定理1的证明,仍有式(8)或(19)成立.
当Φ(pl,α)≠0,l=1,2,…时,则当n=pl时αn+1-α=αpl+1-α=0,等式(19)不成立,因此方程(2)没有形式解;
当Φ(pl,α)=0,l=1,2,…时,对所有的正整数p,类似于定理1的证明,(19)式仍成立.对应于(19)式中的apl+1有无数多种选择,其形式解中含有无数多个参数,可选取
apl+1=μpl+1使得|μpl+1|≤Bpl+1,l= 1,2,….下证级数(3)在原点的邻域内收敛.
首先,对n≠pl,l=1,2,…,有|αn-1|-1≤Γ,由式(10),对∀n≠pl,l=1,2,…,有
利用数学归纳法可以证明
令
则有
这里的 R如同(13),类似于定理1的证明,方程(23)在原点的邻域内存在唯一的解析解 H(z),使H(0)=0,H′(0)=|μ|≠0,因此(22)在原点的邻域内收敛,再由(21)可知级数(3)在原点的邻域内收敛,从而定理2得证.
3 方程(1)的解析解的存在性
定理3 假设定理1或定理2成立,则方程(1)在原点的邻域内存在形如x(z)=y(αy-
1(z))满足初始条件x(0)=0,x′(0)=α的局部解析解,其中y(z)是方程(2)在原点邻域内的一个可逆的局部解析解,其中y(z)是方程(2)在原点邻域内的一个可逆的局部解析解.
证明由定理1和定理2的证明可知,满足y(0)=0,y′(0)=a1≠0的幂级数 y(z)是方程(2)的在原点某一邻域内的解析解.显然其反函数 y-1(z)存在且在原点的邻域内解析. 设
则 x(z)在原点的某一邻域内也是解析的.由式(24),易得
而
故
由方程(2),可得
由式(25),得
因此有
这表明由(24)所定义的函数 x(z)是方程(1)在原点某一邻域内的局部可逆的解析解. 参考文献:
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