高级数理逻辑课件CH04--一阶谓词逻辑
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阶谓词逻辑课件
阶谓词逻辑
5
函数和函数符号 函数是一种映射或指派关系。
设A是前面列出的所有城市的集合，B是所有这些城市的现有的城墙的集合。 那么f可以是这样一个函数，它把A中的每一个城市映射到B中该城市的城墙。 于是，f(西安）＝西安的城墙…….
在我们的讨论中，也可以有函数符号，用f, g, h……来表示。函数符号的定 义域和值域都是论域。
• 但实际上(1)和(2)的推理都是有效的。命题逻辑和词 项逻辑有局限性。
阶谓词逻辑
2
• 命题逻辑和词项逻辑的局限性：
• 1. 都不能处理关系命题及其推理； • 2. 都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
• 需要用另外的逻辑理论——谓词逻辑。
阶谓词逻辑
3
• 一阶谓词逻辑语言 • 一阶谓词逻辑公式 • 公式赋值/语义 • 普遍有效式 • 逻辑推论 • 形式推演 • 前束范式
阶谓词逻辑
6
•项
• 项类似于自然语言中的名词或名词词组，包括所有的个 体常项和个体变项，并且包括用函数符号加上适当的常 项或变项序列组成的符号串。
• 例如：fx: x的父亲
•
a: 张山
•
fa: 张三的父亲
• 这里的函数符号可以叠加，例如
• gx: x的母亲
• 张三的祖母？gfa
阶谓词逻辑
7
第一节 一阶谓词逻辑语言
第四章 一阶谓词逻辑
阶谓词逻辑
1
• 有些推理的有效性不能用命题逻辑和词项逻辑所讲的 方法判定：
(1)白马是马（p） 所以，骑白马是骑马（q）
• pq （不是重言式，在p=1，q=0, 的赋值值为假） (2) 2是小于3的 3是小于4的 所以，2是小于4的
• 没有相同的中项（小于3的；3），前提和结论之间建立不 起任何的关系
高级数理逻辑04
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
交大数理逻辑课件4-1 谓词逻辑的基本概念
是重要的符号逻辑系统 它是程序设计理论、语义形式化及程序逻辑
研究的重要基础，是程序验证、程序分析、 综合及自动生成、定理证明和知识表示的有 力工具。
4.1 谓词和个体词
在谓词演算中，将原子命题分解为谓词 和个体两部分。 如： 张三是人。
个体 谓词
个体—— 可以独立存在的东西，它可以是一个具体的事 物，也可以是一个抽象的概念。 谓词—— 用于刻划个体的性质和个体之间的关系
作业讲评1
第1章习题
P12：2(2)用自然语言叙述：¬(P ∧Q)
设P：今天很冷，Q：正在下雪 ¬(P∧Q)：今天不是既很冷又下雪
P13：5(7)形式自然语言：
如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者 他是个近视眼 不可兼或 设P：水是清的， Q：张三能见到池底， R：张本是个近视眼
PQR)QR))
(2) 2是素数且是偶数。
在命题逻辑中, 设 p: 2是素数, q: 2是偶数 命题符号化为： p q, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设F(x)：x是素数。 G(x)：x是偶数。 a：2，
命题符号化为：
F(a) G(a)
将下列命题用谓词符号化
(3)如果张明比李民高，李民比李民高，则张明比赵 亮高。 解：在命题逻辑中， 设：p：张明比李民高，q：李民比李民高 r：张明比赵亮高 则命题符号为： p q r 在一阶逻辑中，
设 H(x, y)：x比y高。 a：张明； b：李民；c：赵亮， 则命题符号化为：
H(a, b) H(b, c) H(a, c)
4.2.2 量词
（1） 每个人都有一双手。
（2） 有的人很聪明。
引入量词表示个体域中所有个体或部分个 体具有某种性质。
全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等
研究的重要基础，是程序验证、程序分析、 综合及自动生成、定理证明和知识表示的有 力工具。
4.1 谓词和个体词
在谓词演算中，将原子命题分解为谓词 和个体两部分。 如： 张三是人。
个体 谓词
个体—— 可以独立存在的东西，它可以是一个具体的事 物，也可以是一个抽象的概念。 谓词—— 用于刻划个体的性质和个体之间的关系
作业讲评1
第1章习题
P12：2(2)用自然语言叙述：¬(P ∧Q)
设P：今天很冷，Q：正在下雪 ¬(P∧Q)：今天不是既很冷又下雪
P13：5(7)形式自然语言：
如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者 他是个近视眼 不可兼或 设P：水是清的， Q：张三能见到池底， R：张本是个近视眼
PQR)QR))
(2) 2是素数且是偶数。
在命题逻辑中, 设 p: 2是素数, q: 2是偶数 命题符号化为： p q, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设F(x)：x是素数。 G(x)：x是偶数。 a：2，
命题符号化为：
F(a) G(a)
将下列命题用谓词符号化
(3)如果张明比李民高，李民比李民高，则张明比赵 亮高。 解：在命题逻辑中， 设：p：张明比李民高，q：李民比李民高 r：张明比赵亮高 则命题符号为： p q r 在一阶逻辑中，
设 H(x, y)：x比y高。 a：张明； b：李民；c：赵亮， 则命题符号化为：
H(a, b) H(b, c) H(a, c)
4.2.2 量词
（1） 每个人都有一双手。
（2） 有的人很聪明。
引入量词表示个体域中所有个体或部分个 体具有某种性质。
全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等
第四部分一阶逻辑基本概念教学课件
存在量词： x表示个体域里有一个个体x
对应日常语言中的“存在”、“有一个”等
一元谓词F(x)个体域为D， xF(x)真值
• xF(x)为真：F(a)为真，存在某个aD • xF(x)为假：F(a)为假，对任意aD
xyG(x,y)：个体域里存在个体x,y有关系G 全称量词与存在量词联合
命题之间的联系无法刻画
命题逻辑的表示能力缺陷
命题演算的基本单元为简单命题 不能研究命题的结构、成分和内部逻辑的特征 不能表达二个原子命题所具有的共同特征，无法
处理一些简单又常见的推理3源自4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑
对命题做进一步分解 揭示命题的内部结构以及命题间的内在联系
命题分解
• 全称量化中，特性谓词常作为蕴涵式的前件 • x（M(x)F(x)) • 存在量化中，特性谓词常作为合取项之一 • x (M(x)G(x))
14
4.1 一阶逻辑命题符号化
例：将下列命题符号化并判断真假值
凡是学生都需要学习和考试 在北京工作的人未必是北京人 没有人登上过木星
15
4.1 一阶逻辑命题符号化
P(x1,…,xn): Dn{F,T}，D为个体域 不带个体变项的谓词为0元谓词，当为谓词常项时
，即命题
6
4.1 一阶逻辑命题符号化
例:将下列命题用0元谓词符号化
2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
例:将下列命题用0元谓词符号化
• xF(x)为真：F(a)为真，对所有aD • xF(x)为假：F(a)为假，对某个aD
xyG(x,y)：个体域里所有个体x,y有关系G
• xyG(x,y)为真：G(a,b)为真，对所有a,bD • xyG(x,y)为假：G(a,b)为假，对某对a,bD
对应日常语言中的“存在”、“有一个”等
一元谓词F(x)个体域为D， xF(x)真值
• xF(x)为真：F(a)为真，存在某个aD • xF(x)为假：F(a)为假，对任意aD
xyG(x,y)：个体域里存在个体x,y有关系G 全称量词与存在量词联合
命题之间的联系无法刻画
命题逻辑的表示能力缺陷
命题演算的基本单元为简单命题 不能研究命题的结构、成分和内部逻辑的特征 不能表达二个原子命题所具有的共同特征，无法
处理一些简单又常见的推理3源自4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑
对命题做进一步分解 揭示命题的内部结构以及命题间的内在联系
命题分解
• 全称量化中，特性谓词常作为蕴涵式的前件 • x（M(x)F(x)) • 存在量化中，特性谓词常作为合取项之一 • x (M(x)G(x))
14
4.1 一阶逻辑命题符号化
例：将下列命题符号化并判断真假值
凡是学生都需要学习和考试 在北京工作的人未必是北京人 没有人登上过木星
15
4.1 一阶逻辑命题符号化
P(x1,…,xn): Dn{F,T}，D为个体域 不带个体变项的谓词为0元谓词，当为谓词常项时
，即命题
6
4.1 一阶逻辑命题符号化
例:将下列命题用0元谓词符号化
2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
例:将下列命题用0元谓词符号化
• xF(x)为真：F(a)为真，对所有aD • xF(x)为假：F(a)为假，对某个aD
xyG(x,y)：个体域里所有个体x,y有关系G
• xyG(x,y)为真：G(a,b)为真，对所有a,bD • xyG(x,y)为假：G(a,b)为假，对某对a,bD
《高级数理逻辑》课件
介绍基于高级数理逻辑研究的智 能推理算法，让计算机更高效地 进行推理和判断。
多值逻辑及其应用
多值逻辑概述
介绍多值逻辑的概念、基本原理以及与二值逻 辑的区别。
多值逻辑在人工智能中的应用
深入研究多值逻辑在自然语言处理、机器学习 和智能系统中的应用，以提高其智能水平。
多值逻辑在计算机科学中的应用
探索多值逻辑在计算机编程、信息理论和密码 学等方面的应用。
模型检验方法
介绍基于多值逻辑的模型检验方法及其应用， 以确保系统或软件的正确性。
模态逻辑理论及扩展
1
经典模态逻辑
2
探讨经典模态逻辑的语法、语义、推理
规则及其应用。
3
非经典模态逻辑
4
介绍非经典模态逻辑，如增长逻辑、其 他模态逻辑和拓扑逻辑等，并探讨其应
用。
模态逻辑概述
介绍模态逻辑的基本概念、语言和语义。
二阶逻辑理论及应用
1 二阶逻辑概述
介绍二阶逻辑中的语法、 语义和推理规则。
Hale Waihona Puke 2 二阶逻辑的应用探讨二阶逻辑在模型论、 计算机科学和数学中的应 用。
3 高维逻辑
介绍高维逻辑的概念、语 言和语义，以及它在数学、 物理学和哲学中的应用。
可计算论概述及相关定理
可计算性理论
介绍可计算性理论和计算模型， 如图灵机、λ演算和递归函数等。
动态模态逻辑
研究模态逻辑中时间、知识和行动等概 念的语义和推理规则。
一阶逻辑及其扩展
概述
介绍一阶逻辑中的语法、语义和 推理规则。
一阶逻辑扩展
研究一阶逻辑的拓展，如高阶逻 辑、无限值逻辑和时态逻辑等， 并探讨其应用。
程序语言理论
介绍一阶逻辑在程序语言理论中 的应用，包括程序设计、程序分 析和验证等。
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
ch4一阶逻辑基本概念
8
实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
例如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 的辖域，x的两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现 又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中的x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中的y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x的3次出现都是约束出现, y的第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z的2次出现都是自由出现
第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容 一阶逻辑命题符号化 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域(论域)——个体变项的取值范围 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如 N, Z, R, … 全总个体域——由宇宙间一切事物组成
19
实例
例7 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 重言式 p(qp) 的代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y) 矛盾式 (pq)q 的代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x)) 解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 结论: 非永真式的可满足式 公式为真 公式为假
实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
例如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 的辖域，x的两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现 又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中的x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中的y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x的3次出现都是约束出现, y的第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z的2次出现都是自由出现
第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容 一阶逻辑命题符号化 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
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4.1 一阶逻辑命题符号化
个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域(论域)——个体变项的取值范围 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如 N, Z, R, … 全总个体域——由宇宙间一切事物组成
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实例
例7 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 重言式 p(qp) 的代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y) 矛盾式 (pq)q 的代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x)) 解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 结论: 非永真式的可满足式 公式为真 公式为假
第4章一阶逻辑基本概念
8/5/2021
15
合式公式
CHAPTER FOUR
定义4.4 一阶语言L 中的合式公式 (也称为谓词公式或公式) 定义如下：
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若A是合式公式，则 (┐A)也是合式公式；
(3) 若A, B 是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合 式公式；
F(x,y)：表示个体变项 x, y具有关系F (同上) 。
一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项x1,x2,…,xn 的n元谓词。 它可看成以个体域为定义域,以{0,1}为值域的n元函数关系.
当P取常项,且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命题.
一阶逻辑中命题符号化问题
例4.2-1 在个体域为人类集合将下面两个命题符号化：
CHAPTER FOUR
(1) 凡是人都要呼吸； (2) 有的人用左手写字。
解：令 F(x): x 呼吸; G(x): x 用左手写字。则
(1) x F(x); (2) x G(x)。
例4.2-2 上例中，将个体域改为全总个体域后，两命题的符号化形式如何？
则可符号化为（1） xF(x)，（2） xG(x) 。
8/5/2021
10
一阶逻辑中命题符号化问题 CHAPTER
FOUR
例4.4 将下列命题符号化，并讨论其真值。
(1) 所有的人都长着黑头发；(2)有的人登上过月球；
(3) 没有人登上过木星； 解：令 M(x)：x 为人。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
chenchen241一阶谓词逻辑符号化42一阶谓词逻辑公式及解释chapterchapterfourfour在命题逻辑中命题是最基本的单位对简单命题不再进行分解不关心命题中个体与总体的内在联系和数量关系
第三章一阶谓词逻辑PPT课件
；公式只有经过指派才与现实联系起来，才有意义。
；解释I称为公式G在论域D上的一个解释。
；对应每个解释，公式G都有.一个真值{T，F}。
17
；一阶谓词的公式解释数目：
一阶谓词的公式解释数通常是相当可观的，是一种排列 组合。
设个体域有m个元素，则：
每个常量有m个取值，n个常量有 mn 种取值的可能性，
解释I：三个赋值规定：
（1）对公式G，为每个常量指派D中的一个元素；
.
16
解释I：三个赋值规定：
（2）对公式G，为每个n元函数指派一个Dn →D的映射， 其中
Dn ={（x1, x2, … xn）/ x1, x2, … xn∈D}
（3）对公式G，为每个n元谓词指派一个Dn →{T，F}的 映射；
则称这些指派为公式G在D上的一个解释。
• 永假性（或不者可不满能确足保性在、有限不的相时容间内性判）定
– 若谓词公式P对非空个体域D上的任一解释都有真值 F，则称P在D上是永假的
即：P在任何非空个体域上均永假，则称P永假
.
23
3.3谓词公式的等价性与永真蕴含
3.3.1等价性含义
定义：设Ｐ与Ｑ是两个谓词公式，Ｄ是它们共同的个 体域，若对于Ｄ上的任何解释，Ｐ和Ｑ都有相同的真值， 则称Ｐ与Ｑ在个体域D上是等价的，如果D是任意个体域， 则称P和Q是等价的，记作：P Q
定义 具有确定真值的陈述句，称为命题。
例：(1)2是素数。 (2)雪是黑的。 (3)今年的十二月一号是个晴天。 (4)X+Y>5
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称
这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q，
R，…或是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题
《逻辑学、应用逻辑学授课PPT》之5一阶谓词逻辑
摩根、皮尔士等逻辑学家才真正系统地研究了关系逻辑理论。 • 一，关系命题 • 二，关系命题的推理
一，关系命题及其形式结构
• 关系命题是反映思维对象之间的关系的命题。 • 客观对象与它的属性是不可以分割开来的，我们把这种不可分割但可
以区别描述的对象整体叫事实（事件或事态），事实可以是具有某种 性质的对象，这是直言命题或性质命题的反映内容。也可以是具有某 种关系的对象，这是关系命题反映的内容。 • 例子： • ①，木星比地球质量大； • ②，济南在上海与北京之间 • ③，甲的年龄大于乙，乙的年龄大于丙，所以，甲的年龄大于丙。 • ④ ，有些液体能够腐蚀所有的金属。 • ⑤，能量等于质量和光的平方的积。
（一）关系命题的形式结构
• 关系命题的形式结构由关系者项、关系项和量项三个要 素构成。
• 关系者项是关系的承担者。它们在初等逻辑中都是个体 项，一般用小写字母表示，如x、y、z，等等。上面命题 中的“木星”、“地球”、“上海”、“济南”、“北 京”等都是具体的关系者项即个体项。关系者项也有周 延性问题。
• R在集合A中是非自反的，当且仅当，R即不是自反的， 又不是反自反的。例如集合{x.x，x.y}就是非自反 的。例如喜爱这个关系可能就是非自反的，因为并不 是所有的人都喜爱自己的，也不是所有的人都不喜爱 自己的。
对称性
２， 对称性
令R是二元关系，R在集合A中是对称的，当且仅当，对 于A的每个x，y，如果有xRy，则有yRx。 • 显然，等于、相似、全同，朋友、同胞、邻居，对立、 同盟都是对称的。 • 令R是二元关系，R在集合A中是反对称的，当且仅当， 对于A的每个x，y，如果有xRy，则没有yRx。 • 另一种定义是：R在集合A中是反对称的，当且仅当，对 于A的每个x，y，如果有xRy并且yRx，则x=y。例如≤， ≥就是反对称的，又称逆对称。
一，关系命题及其形式结构
• 关系命题是反映思维对象之间的关系的命题。 • 客观对象与它的属性是不可以分割开来的，我们把这种不可分割但可
以区别描述的对象整体叫事实（事件或事态），事实可以是具有某种 性质的对象，这是直言命题或性质命题的反映内容。也可以是具有某 种关系的对象，这是关系命题反映的内容。 • 例子： • ①，木星比地球质量大； • ②，济南在上海与北京之间 • ③，甲的年龄大于乙，乙的年龄大于丙，所以，甲的年龄大于丙。 • ④ ，有些液体能够腐蚀所有的金属。 • ⑤，能量等于质量和光的平方的积。
（一）关系命题的形式结构
• 关系命题的形式结构由关系者项、关系项和量项三个要 素构成。
• 关系者项是关系的承担者。它们在初等逻辑中都是个体 项，一般用小写字母表示，如x、y、z，等等。上面命题 中的“木星”、“地球”、“上海”、“济南”、“北 京”等都是具体的关系者项即个体项。关系者项也有周 延性问题。
• R在集合A中是非自反的，当且仅当，R即不是自反的， 又不是反自反的。例如集合{x.x，x.y}就是非自反 的。例如喜爱这个关系可能就是非自反的，因为并不 是所有的人都喜爱自己的，也不是所有的人都不喜爱 自己的。
对称性
２， 对称性
令R是二元关系，R在集合A中是对称的，当且仅当，对 于A的每个x，y，如果有xRy，则有yRx。 • 显然，等于、相似、全同，朋友、同胞、邻居，对立、 同盟都是对称的。 • 令R是二元关系，R在集合A中是反对称的，当且仅当， 对于A的每个x，y，如果有xRy，则没有yRx。 • 另一种定义是：R在集合A中是反对称的，当且仅当，对 于A的每个x，y，如果有xRy并且yRx，则x=y。例如≤， ≥就是反对称的，又称逆对称。
一阶谓词逻辑
06
总结与展望
一阶谓词逻辑重要性总结
基础性
一阶谓词逻辑是数学逻辑和计算机科学逻辑的基础，为形式化推理 提供了基本框架。
表达能力
一阶谓词逻辑能够表达丰富的概念和关系，包括量词、函数、谓词 等，使得逻辑推理更加精确和全面。
可判定性
一阶谓词逻辑具有可判定性，即对于给定的公式和解释，可以判断 其是否有效或可满足，这为自动推理和验证提供了可能。
逻辑符号表示
03
个体变元
谓词符号
量词符号
表示任意个体的符号，常用小写字母表示 ，如 x, y, z 等。
表示谓词的符号，常用大写字母表示，如 P, Q, R 等。谓词符号后通常跟有参数， 表示具体的性质或关系。
表示量词的符号，常用的有全称量词符号 ∀ 和存在量词符号 ∃。全称量词表示“对 所有个体都成立”，存在量词表示“存在 至少一个个体使得成立”。
存在量词引入规则（EI）
如果从某个公式可以推导出含有特定谓词的公式， 则可以引入存在量词。
存在量词消去规则（EG）
如果公式中含有存在量词，则可以消去该量词，得 到特定实例的公式。
存在量词实例化规则（EI*）
在推理过程中，可以将存在量词实例化为特定的个 体或常量。
等式推理规则
等式引入规则（EqI）
如果两个项相等，则可以引入等式。
随着应用领域的拓展和问题的 复杂化，一阶谓词逻辑可能会 面临表达力不足、推理效率低 下等问题。同时，如何处理不 确定性、模糊性等也是未来需 要解决的问题。
THANKS
前提推导出结论。
02
优点
直观、易于理解，符合人类思 维习惯。
03
缺点
需要熟练掌握推理规则，且对 于复杂问题可能效率较低。
数理逻辑-谓词逻辑
2.2 谓词公式
字母表的意义
个体常项：a,b,c,…a0,a1,a2,… 个体变项：x,y,z,…x0,x1,x2 ,… x,y,z,…x 函数符号：f,g,h,…f0,f1,f2 ,… 谓词符号：P,Q,R,…S0 ,S1,S2,… 量词符号：， 逻辑符号： ，∧，∨，→，，∨ 括号与逗号：(,)
体事物或抽象的概念 ；个体域 个体域是个体（客体）的取 个体域 值范围；谓词 谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间 谓词 的关系的词
大写字母表示谓词，小写字母表示个体（客体） 注意：单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体
词和谓词分开不是命题.
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词与谓词
谓词也称为命题函数 命题函数或简单命题函数 命题函数 相关概念：零元谓词，n元谓词，全总个体域，复合命题
2.3 谓词的等值演算
解释(赋值 ： 解释 赋值)： 赋值
谓词公式的个体域D是非空集合
(1) 每一个常项指定D中一个元素； (2) 每一个n元函数指定Dn到D的一个函数； (3) 每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词.
解释就是对各个变项指定特殊的常项去代替， 有四部分组成：
(1) (2) (3) (4) 非空个体域D； D中有一部分特定元素，用来解释个体常项； D上一些特定函数，用来解释出现的函数变项； D上一些特定谓词，用来解释谓词变项。
2.2 谓词公式
相关概念：
字母表 项：递归定义 P43 原子公式
2.2 谓词公式
合式公式
递归定义：P43
命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题 0 1 函数P(x1,x2, ,xn) P(x ,…,x )，统称原子公式 由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定 义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式。
【精品】4第四章-一阶谓词逻辑PPT课件
b: 张三
Lxy: x帮助 y
Rxy: x与y住同一个宿舍
————————————————————
1.与张三同宿舍的学生都帮助张三。
2. 与张三同宿舍的学生中没人帮助张三。
3. 与张三同宿舍的某些学生帮助张三。
4. 与张三同宿舍的某些学生没帮助张三。
5. 张三帮助他同宿舍的每一个学生。
闭公式意义确定，有确定的真值 开公式的意义不确定，没有确定的真值
Fx[F(x) yH(y)]
此公式是不是一阶谓词中的公式？
不是，一阶谓词逻辑的变元指论域中的对象， 而不是谓词变元。只有在高阶逻辑中才允许 使用谓词变元。
高阶逻辑的引入是为了解决一阶逻辑不能表 达/处理的命题。
模型和赋值
—————————————— 论域：所有生物 Lxy: x帮助y Px: x是人 b:张三 —————————————— 所有人都帮助张三。 没有人帮助张三。 有些人帮助张三。 有些人没有帮助张三。 张三帮助每一个人。 张三没帮助任何人。
————————————————
论域：所有的人 Px: x是学生
论域一般是全域。
谓词：F、G、H、R…
1. 一元谓词（表示性质）
F(x)：自然数是整数 F(a) ：3是整数 G(b) 《春江花月夜》是中国古代名曲
2. n元谓词（表示n元关系）
H(c,d)：牛郎爱织女 F(y,e)：张三比李四跑的快。 谓词：F、G、H、R…
词典
我们可以用下面方式直观表明：形式语言中的个体 常项、函数符号和谓词等表示个体、函数、性质 及关系
b: 张三
Lxy: x帮助yBiblioteka Rxy:ｘ与y住同一个宿舍
————————————————
04一阶逻辑基本概念(调整)55页PPT
（3）n(n1)元谓词：
–n=1时，一元谓词——表示事物的性质。 –n≥2时，多元谓词——表示事物之间的。
L(x，y)：x和y具有性质L
（4）0元谓词：不含个体变项的谓词。
如F(a)、G(a,b)、P(a1,a2,…,an)。
思考
n元谓词是命题吗？ 0元谓词是命题吗？ 两者有什么区别？
基本概念
第二节 一阶逻辑公式及解释
同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑 中进行演算和推理，必须给出一阶逻 辑中公式的抽象定义，以及它们的分 类及解释。
一阶语言F的字母表
一阶语言：是用于一阶逻辑的形式语言。
定义4.1 ：一阶语言F的字母表定义如下:
(1)个体常项：a , b , c , …, ai , bi , ci , … , i 1 (2)个体变项：x , y , z, …, xi , yi , zi , … , i 1 (3)函数符号：f , g , h , …, fi , gi , hi , … , i 1 (4)谓词符号：F , G , H , …, Fi , Gi , Hi , … , i 1
┐ x (M(x)∧H(x)) 命题真值为真
（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人
命题符号化为：
┐ x (F(x)→G(x))
命题真值为真
一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项
1.分析命题中表示性质和关系的谓词，
分别符号为一元和n（ n2）元谓词。
个体词：电子计算机。 –命题：他是三好学生。
个体词：他。
基本概念
（1）个体常项：具体的事物，用a, b,c，…表示
（2）个体变项：抽象的事物，用x,y,z,…表示。 （3）个体域（或称论域）：个体变项的取值范围。
–n=1时，一元谓词——表示事物的性质。 –n≥2时，多元谓词——表示事物之间的。
L(x，y)：x和y具有性质L
（4）0元谓词：不含个体变项的谓词。
如F(a)、G(a,b)、P(a1,a2,…,an)。
思考
n元谓词是命题吗？ 0元谓词是命题吗？ 两者有什么区别？
基本概念
第二节 一阶逻辑公式及解释
同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑 中进行演算和推理，必须给出一阶逻 辑中公式的抽象定义，以及它们的分 类及解释。
一阶语言F的字母表
一阶语言：是用于一阶逻辑的形式语言。
定义4.1 ：一阶语言F的字母表定义如下:
(1)个体常项：a , b , c , …, ai , bi , ci , … , i 1 (2)个体变项：x , y , z, …, xi , yi , zi , … , i 1 (3)函数符号：f , g , h , …, fi , gi , hi , … , i 1 (4)谓词符号：F , G , H , …, Fi , Gi , Hi , … , i 1
┐ x (M(x)∧H(x)) 命题真值为真
（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人
命题符号化为：
┐ x (F(x)→G(x))
命题真值为真
一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项
1.分析命题中表示性质和关系的谓词，
分别符号为一元和n（ n2）元谓词。
个体词：电子计算机。 –命题：他是三好学生。
个体词：他。
基本概念
（1）个体常项：具体的事物，用a, b,c，…表示
（2）个体变项：抽象的事物，用x,y,z,…表示。 （3）个体域（或称论域）：个体变项的取值范围。
ch4 一阶谓词公式
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 1、个体常项: 独立存在的个体，如“杨圣洪”、“老 王”. 2、个体变元 a, b, c 表示某个范围(个体域)任意对象。 t表示“老师”中任一位,p表示“人”类中任一位。 3、谓词 大写字母表示F，G，H 刻画一个对象的性质或多个对象之间的关系。 如：杨圣洪是老师，杨圣洪是男人 杨圣洪与刘晓华是同事。 x是老师，y是男人，x与y是同事 F(x)表示x是老师，F(杨圣洪) M(y)表示y是男人，M(杨圣洪) L(x,y)表示x与y是同事，L(杨圣洪,刘晓华) 谓词常项：含义是确定，如F、M、L。 谓词变项：含义是不确定，如K(x,y),P(x,z)，简称谓词 当谓词常项中没有变元时，它为命题，如F(杨圣洪) 当谓词中不含有个体变元时，称为0元谓词。K(杨圣洪,
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 例3 (1)兔子比乌龟跑得快 (2)有的兔子比所有的乌跑得快 (3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 (4)不存在跑得同样快的两只兔子. 解：H(x,y)表示x比y跑得快. L(x,y)表示x与y一样快 R(x)表示x是兔子 T(x)表示x是乌龟 (1) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (2) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (3) xy(R(x)T(y)H(x,y)) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (4) xy(R(x)R(y)L(x,y)) xy(R(x)R(y) L(x,y))
dom(x)=D2=实数集R F(x)表示x是自然数，G(x)表示x是整数。 x(F(x)G(x))：所有的自然数都是整数，值为T.
例4.7：xy (F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)) f(x,y),g(x,y)是函数变元，一元谓词公式F(x),二 元谓词G与H。 x与y的个体域：全总个体域。 F(x):x是实数 G(x,y):xy H(x,y):x>y f(x,y)=x2+y2 g(x,y)=2xy 这时整个公式的含义： 对于任意的x和y，若x与y是实数且xy，那么 x2+y2 >2xy ，其真值为1. 如果H(x,y): x<y，则以上解释为假。
演示文稿谓词逻辑
个体域（或论域）——个体变元的取值范围 全总个体域——宇宙间的一切事物构成的集合
第18页，共32页。
谓词逻辑符号化（二）
例2.2 将上述命题谓词逻辑符号化。 注：在符号化之前必须明确个体域！ 1.计算机专业的学生都很辛苦。
解
(1)若考虑个体域为计算机专业的学生集合，则符号化为： F(x): x很辛苦。 xF(x):计算机专业的学生都很辛苦。
第10页，共32页。
2.1 谓词逻辑基本概念
基本概念
个体词 谓词 量词
谓词逻辑符号化
第11页，共32页。
基本概念
引例 分析下列命题：
青岛是一个宜居城市。 这个C程序包含有a函数和b函数。
命题分宜居城市，a函数，b函数
表示个体性质的词——
…是一个宜居城市
表示个体间关系的词——
第31页，共32页。
小结
根据问题的要求，在进行谓词逻辑符号化时，谓词刻画的深浅 层次可以不同，即符号化的形式可以不唯一。
关于两种量词，很多时候是可以相互转换的，即命题符号化的形 式可以不唯一。
在命题符号化时，有些量词没有明确给出，要仔细分析并写出 这些隐含量词。
第32页，共32页。
④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
第30页，共32页。
小结
谓词逻辑最本质的特点是能够通过提取命题中描述性质及关系的 词（即谓词）来刻画命题，从而能够深层次体现命题中个体的相 关特性。
在谓词逻辑符号化过程中，一定要注意论域的影响，包括对命 题真值的影响及符号化形式的影响。
为了解决不同命题所涉及的论域不同的问题，特别引入特 性谓词。
第22页，共32页。
谓词逻辑符号化（二）
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句. 解： (1)没有人登上过木星。
第18页，共32页。
谓词逻辑符号化（二）
例2.2 将上述命题谓词逻辑符号化。 注：在符号化之前必须明确个体域！ 1.计算机专业的学生都很辛苦。
解
(1)若考虑个体域为计算机专业的学生集合，则符号化为： F(x): x很辛苦。 xF(x):计算机专业的学生都很辛苦。
第10页，共32页。
2.1 谓词逻辑基本概念
基本概念
个体词 谓词 量词
谓词逻辑符号化
第11页，共32页。
基本概念
引例 分析下列命题：
青岛是一个宜居城市。 这个C程序包含有a函数和b函数。
命题分宜居城市，a函数，b函数
表示个体性质的词——
…是一个宜居城市
表示个体间关系的词——
第31页，共32页。
小结
根据问题的要求，在进行谓词逻辑符号化时，谓词刻画的深浅 层次可以不同，即符号化的形式可以不唯一。
关于两种量词，很多时候是可以相互转换的，即命题符号化的形 式可以不唯一。
在命题符号化时，有些量词没有明确给出，要仔细分析并写出 这些隐含量词。
第32页，共32页。
④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
第30页，共32页。
小结
谓词逻辑最本质的特点是能够通过提取命题中描述性质及关系的 词（即谓词）来刻画命题，从而能够深层次体现命题中个体的相 关特性。
在谓词逻辑符号化过程中，一定要注意论域的影响，包括对命 题真值的影响及符号化形式的影响。
为了解决不同命题所涉及的论域不同的问题，特别引入特 性谓词。
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谓词逻辑符号化（二）
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句. 解： (1)没有人登上过木星。