北邮高级数理逻辑课件

形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。：

1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。

2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。项集TERM 为∑*

的子集，其元素称为项；

项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。F(X) a, X,

3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素

称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。 A(f(a,x1,y)), A →B

4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。

5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即

RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。

其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。

由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分

形式系统特性

1、 符号表∑为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。

2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，

即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合（可判定的）。

3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。而公式是用来描述

这些研究对象的性质的。这个语言被称为对象语言。定义公式和项产生方法的规则称为词法。

公理：

I

))((A B A →→ II

))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ III ))())()(((A B B A →→⌝→⌝

证明：A →A

(1)

A →(A →A)

((A →(B →C))→((A →B)→(A →C))

((A →(B →A))→((A →B)→(A →A))

((A →((A →A)→A))→((A →(A →A))→(A →A))

A →((A →A)→A))

(A →(A →A))→(A →A)

(A →(A →A))

A →A

B

B A A →, 已知：R 是一个有关公式的性质

证明：R 对于所有公式有效

I. 对于)(FSPC Atom p ∈，则)(P R

II. 假设公式A 和B 都具有R

III. )(FSPC Atom A ∈∀，且)(A R ，则)(A R ⌝

IV. B A ,∀是公式，如果)(A R 且)(B R ，则)(B A R →

根据：形式系统的联结词只有两个→⌝,，因为在命题逻辑的语义上，其他联结词可以有这两个联结词表示。

已知：A ⌝⌝

求证：A 成立

(1)

A 是公式

)(A A A →⌝⌝→

A A →⌝⌝

(2)

{A ⌝⌝，A ⌝}├A ⌝

{A ⌝⌝，A ⌝}├A ⌝⌝

A ⌝⌝├A

反证

(3)

A ⌝⌝

)(A A A ⌝⌝→⌝⌝⌝⌝→⌝⌝

A A ⌝⌝→⌝⌝⌝⌝

→

⌝

→

⌝⌝⌝⌝

)

→

⌝⌝

)

A⌝⌝⌝

(A

(

A

A

→

⌝

A⌝⌝⌝

A

⌝⌝

→

→

A→

⌝⌝⌝

⌝3

)

A

(

)

A

(A

A→

⌝⌝

A

A

公理代入原理：设A(P)为含有变元P的公理（定理同样适用），如果将公式A中的变元P 替换为命题变元B，则A(B)仍为公理（定理）；（公理填充）

等价替换原理：设命题公式A含有子公式C（C为命题公式），如果C├│D，那么将A中子公式C提换为命题公式D（不一定全部），所得公式B满足A├│B。

紧致性：设∑为FSPC上的公式集合，A为FSPC的公式。如果∑├A，则存在∑的有限子集∑0使得∑0├A。

已知：A→(B→C), B

证明：A→C

公理推演：

A→(B→C)

A

B→C

B

C

自然推演：

f(B)=1,f(A)=0或者f(B→C)=1。

假设f(A)=0;则f(A→C)=1.

假设f(A)=1,那么f(B→C)=1.f(B)=1,则f(C)=1.因此，f(A→C)=1.

由此，命题成立。

给出一个形式系统，其公理定义如下：

{A, (,), →,}

{}

{---}

给出公理如下：

A→A

A →A →A

(A →A)→(A →A)

(A →A)→(A →A)

(A-->A-->A)-->(A-->A)

下列哪些是定理？

A →A →(A →A)

(A →A)→(A →A)→(A →A)

(A →A →A)→(A →A →A)

(A →B)→(A →B)→(A →B)

语义构成

结构：（有两个主要部分构成）

*确定研究对象集合，论域或个体域

*把形式系统中的变量到论域中的一组规则映射规则

域值：指一组给公式赋值的规则

根据这项规则将 －Atomic →Value 中

语义的特殊公式

1) 公式A 为永真式，重言式tautologies ，如果对一切赋值v ，1=V

A . 2) 公式A 为永假式，矛盾式contradictions,如果对一切赋值v ，0=V

A 3) A ，

B 为逻辑等价的，如果对于一切赋值v ，V

V B A =，记做A ╞B(A |=|B ) 4) 公式A 为可满足的，如果至少存在一个赋值v ，1=V

A

逻辑推论：设∑是一个FSPC 上的公式集合，A 是FSPC 上的任一公式。A 为∑的逻辑结

果，记做∑|=A ，当且仅当对任何赋值映射v ，如果v ∑＝1时，则1=v A 。|=读作逻辑蕴涵。 逻辑等价：设公式A 和公式B 分别为FSPC 上的两个公式。A 和B 为逻辑等价的，记做A|=|B 当且仅当A|=B 和B|=A 同时成立。

永真式：如果A 为永真式，则公式集合∑为空集，即|=A 。

演绎定理：

设∑为FSPC 的公式集合，A 和B 分别为FSPC 上的公式。∑|=B A →成立的充分必要条