高级数理逻辑第11讲
第一章数理逻辑PPT精品文档123页
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
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1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
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七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。
数理11详解-概述说明以及解释
数理11详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数理11是指数学和物理两个学科的结合，通过运用数学的方法和原理来解决物理问题。
它涵盖了许多数学和物理的基本概念和应用，是理解和掌握数学和物理的重要基础。
在数理11中，学生将学习到一些基本的数学概念，如代数、几何、函数、微积分等。
这些数学概念在物理学中有广泛的应用，可以帮助我们分析和解释自然界中的各种现象和规律。
同时，数理11也会介绍一些物理学的基本概念，如力、能量、运动、电磁学等，通过数学的方法来描述和解决物理问题。
通过学习数理11，学生不仅可以理解数学和物理的基本原理，还可以培养一种科学思维和解决问题的能力。
数理11所学到的数学和物理的知识与技能也是许多其他高级学科和职业所必需的基础。
本篇文章将介绍数理11的概念、应用和挑战，旨在帮助读者更好地理解和应用数理11的知识。
在接下来的章节中，我们将分别对数理11的概念、应用和挑战进行详细的讨论，并对数理11的重要性和未来发展进行总结和展望。
希望通过本篇文章的阅读，读者能够加深对数理11的了解，并在实际学习和应用中更好地运用数理11的知识和方法。
数理11不仅是学习数学和物理的基础，也是培养科学素养和解决实际问题的重要途径。
1.2 文章结构文章结构的部分内容可以包括以下内容：本文将从三个方面对数理11进行详解，分别是数理11的概念、数理11的应用和数理11的挑战。
下面将对这三个方面进行具体介绍。
首先，在第二部分"2.正文"中，将详细阐述数理11的概念。
我们将探讨数理11的定义、发展历程以及其在数理领域的重要性。
通过对数理11的深入理解，读者将能够清晰地把握数理11的基本概念和相关知识。
接下来，在正文的第二个部分，即2.2 数理11的应用，我们将介绍数理11在实际应用中的重要性。
我们将通过实例和案例的分析，展示数理11在各个领域的应用情况，包括但不限于自然科学、工程技术和社会经济等。
通过这一部分的阐述，读者将能够深刻认识到数理11在现代社会中的广泛应用和重要性。
高级数理逻辑
设R为A上的一个等价关系，则 A/R={[a]R|a∈A}称为A关于R的商集。 等价类的性质
∪[a]R=A [a]R=[b]R iff aRb [a]R≠Ф
A/R是A的一个划分。
映射
复合关系
设R是由A到B的一个二元关系，S是由B到C的一个二元关 系，则
R◦S={<x,z>|存在y ∈B，使得<x,y>∈R且<y,z>∈S}称为R 与S的复合关系
逆关系
设R是由A到B的一个二元关系，则 R-1= {<y,x>|<x,y>∈R} 称为R的逆关系。
关系的性质
设R是A上的一个二元关系 自反
✓ 所有中学生打网球。 ✓ 王君不打网球。 ➢ 王君不是中学生。
可推导性关系的内因
表象：前提、结论的真值
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
✓ S中的所有元有R性质。 ✓ a没有R性质。 ➢ a不是S中的元。
数理逻辑的研究内容
形式语言
无二义性、精确的、普遍适用的符号语言 自然语言存在二义性、不精确 语义：涉及符号、表达式的具体涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构
ZF公理体系
外延公理
S=T iff (x)(x S x T)为真
子集公理
S T iff (x)(x S x T)为真
空集存在公理幂集P(A) = {a | a为A的子集}
集合的运算
对于集S，T 并
SUT {x | x S x T}
交
SI T {x | x S x T}
高级数理逻辑第11讲全解
总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。
在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。
数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。
这些理论都是以数理逻辑学为基础的。
针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。
数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。
这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。
●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。
如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。
●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。
数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。
认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。
2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。
3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。
4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。
经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。
体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。
逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。
类似于形式语言系统。
2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。
3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。
从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。
4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。
以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。
形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
01-高等数理逻辑课程介绍_
{
{
{
□
z
描述问题的逻辑工具 常用的逻辑: 命题逻辑 谓词逻辑 多值逻辑 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 描述逻辑 二阶逻辑
{ { { { { { { {
l 逻辑方法是求解问题的一种独特方法.
{
□
z
抽象问题类的性质研究 使用不同的逻辑体系描述具体问题, 针对问题的求解, 需要关注以下 性质:
{ {
□
z
数学分析中的 % - $ 语言语句. / $ 时, 对任意的 % > 0 , 存在 $ > 0 , 当 0=|x-a|< |f(x)-b|< % . □ 数学语句的符号化. “函数 f 在点 a 的极限是 b ”常被写为: ] % > 0 ^ $ > 0 ] x(0=|x-a|< / $ >|f(x)-b|< % ) . □
z z
z
无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
解答: 设定以下的命题变元:
根据对三个情形的约定可得语句 9 1 : (p1 ) r 3 ) [ (q 1 ) p3 ) [ (r 1 ) p 2 ). 根据无并列第一及第三可得语句 9 2 \ (p 1 [q 1 ) [\ (p 1 [ r 1 ) [\ (q1 [ r 1 ) [\ (p 3 [r 3 ). 根据对名次唯一性约定可得语句 9 3 \ (p 1 [p 2 ) [\ (p 1 [ p 3 ) [\ (p 2 [ p3 ) [\ (r 1 [ r 3 ). 所以问题可以被描述为: 91 [ 92[ 93 . 用真值表方法可以求得唯一赋值 v: v(q 1 )=v(p 2 )=v(r 3 )=1,v(p 1 )=v(p 3 )=v(r 1 )=0. 使得 v( 9 1 [ 9 2 [ 9 3 )=1 这表明从一到三的排名是:B,A,C. □ 命题逻辑计算复杂性分析
数理逻辑PPT课件
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4
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师 戴克斯特拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我 现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如 我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我 就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家 早就说过了，可是我不知道。要是我能年 轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
P∧Q的真值为真，当且 T T T
仅当P和Q的真值均为真。
.
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命题逻辑
• 或者“∨”（析取）
表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子：
例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。
例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨”
例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
.
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命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
P Q P∨Q FF F FT T TF T
TT T
.
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命题逻辑
P：第一节上数学。
Q：第一节上英语。
P Q P Q
例2中的复合命题
可写成P Q，读 成P异或Q。
P Q的真值为F，
FF F FT T TF T
TT F
当且仅当P与Q的真值相同。
.
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命题逻辑
• 蕴含(条件)“”
表示“如果… 则 …”，“当...则...”,“若... 那么...”，“假如...那么...”
例如： P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。
PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则
第一二章数理逻辑课件
二、真值表truth table
1、命题公式的赋值（解释）：设命题公式A(p1,p2…pn), 其中p1,p2…pn为A中的命题变元，给p1,p2…pn各指派一 个真值，称对A的一次赋值（解释）。如果指定的某 组赋值使A的真值为1，则称这组值为A的成真赋值， 否则称这组值为A的成假赋值。
2、定义：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对于分量（命题变 元）指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公 式的各种真值情况，将其汇列成表，就是命题公式的 真值表；命题公式中变元真值指派组合数目决定于变 元分量的个数，一般说，n个命题变元组成的命题公式 共有2n种真值组合情况。
p
┐p
0
1
1
0
2、合取 （∧）
定义：两命题P、Q的合取 是一复合命题，记为。当 且仅当P、Q同时为T时， 为T，其他情况为F 。P∧Q
真值表如表1.2所示。 与自然语言的关系：相当于与、 并且、和等，常表示递进、并列 、转折这样的关系，但新的复合 命题不一定有意义，这是数理逻 辑命题与自然语言的区别。
组成的合取式。 2、析取范式求法(P31) 1）将命题公式中联结词转换成┐ ∧ ∨。 2）利用德摩根律把┐直接移入到每个命题变元之前。 3）利用分配律或结合律将公式转换成析取范式，并进行化简 。
例1 (┐P ∧ R) ∨ ┐(P →Q) (P ∧ ┐R) ∨ ┐(┐P ∨ Q) (P ∧ ┐R) ∨ (P ∧ ┐Q)
是对陈述句中的关联词的符号化处 理。
1、否定( ┐)
定义：设P为一命题，P的否定 是一个新的命题，记为；若P为 T，则为F，若P为F，则为T。与 自然语言的关系：相当于不、否 、非等； ┐P真值表如表1.1所示 。
注意：否定的意义仅是修改命题 的内容，没有构成复合命题，它 是一元运算。
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例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
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9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
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▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
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9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
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高级数理逻辑
1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
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1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
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1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
---------------------------------------------------------16
1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 逻辑联结词“且”课件11高二选修11数学课件
解：p∧q：0不是(bù shi)自然数且∏是无理数 假命题
p∨q ：0不是自然数或∏是无理数
真命题
第十九页，共二十三页。
4.已知p：2 ∈{2，6}， q:{1}∈{1,2}，
由它们(tā
p”形
men)构成的“p或q”，“1 p且q”，“非
式的命题中，真命题有
个.
第二十页，共二十三页。
5．
第十七页，共二十三页。
2.如果命题(mìng tí)p是假命题，命题q是真命题，
则下列错误的是（D ）
A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题 C．“非p”是真命题 D．“非q”是真命题
第十八页，共二十三页。
3.已知命题(mìng tí)p:0不是自然数；q：∏是无理
数，写出命题“p∧q” 、 “p∨q”并判断
命题，记作
，读作“p且q”.
第五页，共二十三页。
例1 将下列命题用“且”联结成新命题 并判断其真假。
（1）p :平行四边形的对角线互相(hù xiāng)平分， 真
q :平行四边形的对角线相等；
假
（p2∧）qp:q平::菱行菱形四形的边的对形对角的角线对线互角互相线相垂互平直相分，平；分(píngfēn)且真相等.假
第二十三页，共二十三页。
假假真假假
第十五页，共二十三页。
课外 拓展 (kèwài)
思考逻辑(luó jí)联结词“或”、“且”、 “非”与集合中那些知识有关，有怎 么样的关系？
第十六页，共二十三页。
1.命题 “x=±3是方程 x =3的解”中 （ C） A.没有使用任何一种联结词 B.使用了逻辑联结词“非” C.使用了逻辑联结词 “或” D.使用了逻辑联结词“且”
交大数理逻辑课件11-1函数
定义函数如图， 则 f∘g(a1)=c1, f∘g(a2)=c2
A
B
C
g
f
a1
b1
c1
b2
c2
a2
b3
11.2.2 函数的逆
任给函数 f, 它的逆f 1不一定是函数, 是二元关系. 实例：
f ={<a,b>,<c,b>}， f 1 ={<b,a>,<b,c>}
定理11.2.6
设 f：A→B是双射函数，则 f 的逆关系f 1 是B到 A的双 射函数。
令 f：A→B,
f()=f0,
f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,
f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7
构造从A到B的双射函数（续）
二、实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
例 A=[0,1]
B=[1/4,1/2] 构造双射 f :A→B
一、有穷集之间的构造
例 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} 解： A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
幼儿园中班逻辑高第11课
幼儿园中班逻辑高第11课8月底弥漫着开学气息，9月1日就可大声说：“家有小学生一枚！”。
Booker的求学之路启程了，门打开了，请随意发挥吧。
作为家长莫名有点紧张感，毕竟素质（应试）教育开始了。
不过，对他们来说，一切都是好奇和兴奋，连教室的空气都是新鲜的，还有新书的清香味。
这次要做的火柴棒游戏，相对小朋友来说比较复杂和难懂。
但幼升小考试和小学阶段，火柴棒的题目又作为逻辑思维中必考的一道题目，因为它的复杂性导致很多孩子，甚至家长看到这类题目都头大，无从下手。
趁着小学开学之际，我对着市面上的资料和文章进行了全面、详细的研究，也一起学习了火柴棒的网课，理解透后整理的文章。
现在请跟着Smart一起，由易入难解开火柴棒的神秘面纱，让复杂的问题迎刃而解。
好了，先来一道火柴棒的题目来给家长热热身。
1.课程引入火柴棒有什么作用，一般什么情况下会使用他们？先给孩子们提这个问题，引导他们去想象。
比如它可以生火、搭建、玩游戏、点生日蛋糕、计数等等，火柴棒是靠摩擦起火的，就像远古时候燧人氏发明了砖木取火一样。
火柴棒虽然是小小的个子，但是可以做很多不可思议的事情，如果没有合理使用可能造成很大的破坏力。
对我们小朋友来说，火柴棒可以摆出很多好玩的图形和数字，里面有无穷的奥秘值得探索。
2.火柴棒的分堆计数孩子们可以使用火柴棒进行计数游戏，理解分组的概念，理解一个大数字分组后更加容易识别。
具体如下：给每个孩子50根火柴棒，让孩子分别以2、5、10三个一堆分别把50个火柴摆出来。
比如2根火柴棒一堆，那么就有25堆，5根火柴棒一堆，就有10堆，尤其是以5为堆，熟悉5、15、20、25、45等对认识时钟的刻度有很大的帮助。
从这个活动中，孩子们可以理解每组分的数量越大，总堆数就少，就越容易理解和计算。
比如5*10就是50，孩子无需了解乘法概念，只需要数一下每堆数量、总共几堆。
所以乘法背后其实就是加法的不断累加。
相反，均分其实就是除法的一种形式。
高等数理逻辑 课程介绍
z
无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
z
z
z
z
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命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
/ Th(< N,0,1,+, $ > ) . 性质: PA U / Goodstein定理. 性质: PA U Gödel 不完备性定理: Hilbert 第 10 问题: 结论: 以下问题是不可判定的:
z z
z
停机问题 初等函数恒等式是否成立. l
更多的逻辑理论及其在计算机科学中的应用 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 知识点
{
算法存在性: 可判定 半可判定 不可判定
※ □
z
逻辑方法在计算机科学中的应用 将抽象问题类转换为具体问题, 从而实现问题求解: 自动定理证明 数据挖掘 模式识别 l
{ { { {
□
z
逻辑应用 基于逻辑方法的问题求解过程: 实际问题 D D D 问题类 抽象算法 实际算法 形式描述 判定分析 实际经验 ※ □
命题逻辑用于解决实际问题 考虑以下例子: 如何为 A,B,C 排名次, 使得分别为第一、第二、第三, 且以下每种情形中的两个条件正好一个成立:
z
z
z
情形一: A 第一, C 第三 情形二: B 第一, A 第三 情形三: C 第一, A 第二 p 1 : A 第一. p 2 : A 第二. p 3 : A 第三. q 1 : B 第一. r 1 : C 第一. r3 : C 第三.
第五章 高级数理逻辑
26
当涉及归纳定义的集S上的函数f的递归定 义和递归定义原理时，应当要求S中的元有 唯一的生成过程 例 M={0,1}，g1是一元函数，且有g1(0)=1, g1(1)=0，故S={0,1}中的0和1可以由M生成， 也可以由g1生成，即生成过程不唯一.
27
例 令h(0)=h1(0)=0和h(1)=h1(1)=1，则按照 递归定义S上的函数f如下：
19
归纳证明
使用如上定理作出的证明，称为归纳证明， 即用归纳法作出的证明。 命题“对于任何n∈N，R(n)”是归纳命题， 其中n是归纳变元，这是说，当证明归纳命 题时，要对n做归纳。
第一步，称为（归纳的）基始，是证明定理中
的(i)，即0有性质R。 第二步，称为归纳步骤，是证明其中的(ii)，即 后继运算保存R性质。归纳步骤中的假设R(n) 称为归纳假设。
28
f(x)=h(x) 对于任何x∈M f(g1(x))=h1(f(x)) 对于任何x∈S 当0,1 ∈M时，有 f(0)=h(0)=0和f(1)=h(1)=1 但是此外，也有 f(0)= f(g1(1))=h1(f(1)) =h(1)=1 f(1)= f(g1(0))=h1(f(0)) =h(0)=0
22
递归定义原理
在归纳定义的集上定义函数，可以采用递 归定义的方法。 定理2 设g和h是N上的已知函数，则存在唯 一的N上的函数f，使得
f(0)=g(0),
f(n’)=h(f(n))
或 f(n’)=h(n, f(n)) .
对于任何n∈N，f(n)的值能够由上述定义f 的方程通过f(0),f(1),…,f(n-1)计算出来。称 这种定义为递归定义。
交大数理逻辑课件11-1 函数共30页
一、有穷集之间的构造
例 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} 解： A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
令 f：A→B,
f()=f0,
f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,
f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7
构造从A到B的双射函数（续）
二、实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
例 A=[0,1]
B=[1/4,1/2] 构造双射 f :A→B
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：A→A/R g(a) = [a], a∈A 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
➢ 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一 般来说是满射.
高级数理逻辑
集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义：
(1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素才是S 中元素
集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
课程的主要内容?经典逻辑?命题逻辑?谓词一阶逻辑?非经典逻辑?构造型逻辑?模态逻辑集合论?19世纪下半叶cantor提出朴素集合论?1903年russel提出集合论悖论产生数学的第三次危机?1908年zermelo提出公理化集合论zf体系集合论?集合论是数学的基石?基本概念?集合元素?序偶笛卡尔积?关系?映射?等价关系?相容关系?序关系集合元素?若干事物组成的整体被称为集合集合中的每个事物被称为元素
自然数集的归纳定义
后继 两种等价定义
(1)0∈N (2)对于任何n，若n∈N，则n’ ∈N（n’为n的后继） (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的n ∈N
N是满足以下(1)和(2)的S中的最小集： (1)0∈S (2)对于任何n，若n∈S，则n’ ∈S（n’为n的后继）
基于自然数集的归纳证明原理
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}
高级数理逻辑第11讲
总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。
在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。
数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。
这些理论都是以数理逻辑学为基础的。
针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。
数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。
这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。
●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。
如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。
●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。
数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。
认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。
2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。
3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。
4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。
经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。
体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。
逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。
类似于形式语言系统。
2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。
3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。
从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。
4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。
以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。
形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
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总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。
在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。
数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。
这些理论都是以数理逻辑学为基础的。
针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。
数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。
这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。
●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。
如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。
●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。
数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。
认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。
2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。
3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。
4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。
经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。
体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。
逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。
类似于形式语言系统。
2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。
3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。
从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。
4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。
以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。
形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
：1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。
2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
项集TERM 为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。
3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。
4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。
5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。
其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。
由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。
而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分。
形式系统的重要问题1、 符号表 为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。
2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合。
3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。
而公式是用来描述这些研究对象的性质的。
这个语言被称为对象语言。
定义公式和项产生方法的规则称为词法。
4、 用来描述形式系统中各个部分性质的语言称为元语言。
用于研究形式系统的元语言又被称为元数学。
形式推导1、 基本概念演绎结果与定理：设A 为FSPC 上一公式，集合Γ为FSPC 上一公式集合。
称A 为Γ的演绎结果，记为Γ├A ，如果存在一个公式序列：)(,,,,321A A A A A L =使得i A 或者为形式系统FSPC 的公理，或者为公式集合Γ中的元素，或者或者为),,,,(,,,,13211321i j j j j A A A A n j j j j n <-- 由推理规则r 得到；则称A 为FSPC 的演绎结果。
当Φ=Γ时，称A 为定理FSPC 上的定理。
称)(,,,,321A A A A A L = 为A 的证明序列。
逻辑等价：公式A 和B 分别为两个公式，如果A,B 满足B ├A ，且A ├B 同时成立，则称公式A 和B 为逻辑等价公式，记为A ├│B 。
即A,B 互为演绎结果。
例如：A ⌝⌝├|A ，B A ∧├|A B ∧，B A ∨├|A B ∨。
对偶：设A 为FSPC 上由联结词⌝, ∨, ∧和原子公式构成的公式。
在A 中交换∨和∧，以及原子公式和他的否定公式，得到公式'A ，则称'A 为A 的对偶。
2、 推理基础（1）公理代入原理：设A(P)为含有变元P 的公理（定理同样适用），如果将公式A 中的变元P 替换为命题变元B ，则A(B)仍为公理（定理）；C →((B →C)→C)（2）等价替换原理：设命题公式A 含有子公式C （C 为命题公式），如果C ├│D ，那么将A 中子公式C 提换为命题公式D （不一定全部），所得公式B 满足A ├│B 。
（3）对偶原理：设A 为FSPC 上的公式，'A 为其对偶，则A ├│'A ⌝。
（4）演绎定理：设∑为任一公式集合, A,B 为任意公式,那么：∑ ，A ├B 当且仅当∑├B A →∑ ，A ╞B 当且仅当∑╞B A →（5）(变量)改名原理如果公式A 中至少一个量词的指导变元和相应的约束变元都改名为另一个相同变元后得到公式A ’，则A ’为A 的改名式；如果A ’是A 的改名式，且A ’改用的变元在A 中无任何出现，那A ├│A ’3、 其他推理方法根据形式系统的性质，给出一些专用推理规则。
语义系统语义系统定义形式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组成：a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。
其中U和I的性质如下：i.U为非空集合，称为论域或者个体域；ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U 中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关U的子集）。
系（nb)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派：s：varibles－>U。
对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上：s：TERM－>U；s＝S(t) 当t 为变元S指派t中变元由解释确定当t为非变元c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。
根据这个赋值规则，可以将赋值映射进行扩展：v为v：Formula－>value。
元理论语法构成（1）独立性：如果形式系统中每一个公理都是独立的，即把任一公里A从形式系统中删除后，所得形式系统FSˊ不满足├FS′A（即A不是FSˊ的定理），则称形式系统为独立的；●独立形式系统是简洁的；（2）一致性：形式系统FS称为一致性，或相容的（consistent）如果不存在FS的公⌝同时成立；式A，使得├A，├A●所有形式系统都应该是一致的；（3）完全性：形式系统为完全的，如果对形式系统中任意公式A，或者├A成立，或者⌝成立；├A●完全性的形式系统，一切都是可知的；因此，几乎没有价值；（4）可判定性：形式系统FS称为可判定的，如果存在一个算法，对FS对的任一公式A，可确定├A是否成立，否则称FS是不可判定的；如果上述算法对定理能作出判断，而对于非定理未必终止（作判断），称FS为半可判定的；● FS 为可判定的，当且仅当定理集合为递归集； （5）公式集合一致性：称形式系统的公式集合Γ为一致的，如果形式系统是一致的，且不存在公式A 使 Γ ├A ， ├A ⌝ 同时成立。
语义系统基本上没有。
语法语义关系研究语法语义关系，首先关心的问题是在语法上的形式演算，在语义的逻辑推论上是否成立。
这个问题被称作合理性（Soundness ）。
其次，是对于语义上的逻辑推理，在形式演算上是否成立。
这个问题是完备性（Completeness ）。
这两个问题是语法语义关系的核心。
1) 合理性（soundness ）：称形式系统FS 是合理的，FS 的任意公式A 有：├FS A ，则╞M A ，M 为所有结构；2) 完备性（Completeness ）：称形式系统FS 是完备的，如果对FS 的任意公式A有：若╞M A ，则├FS A ，这里M 为FS 所讨论的一类结构；3) 紧致性：称形式系FS 是紧致的，如果对FS 的任意公式集∑有：如果公式集∑的所有穷子集是可满足的，那么公式集∑也是可满足的；归结原理归结方法二元归结：设1C 和2C 分别含有文字1L 和2L 的子句，并且1L 和2L ⌝有最一般合一θ，那么下列推理规则称为归结原理：)()(,221121θθθθL C L C C C -∨-归结过程公式集 前束范式 skolem 标准形 子句集 合一 归结✓ 合一与代换：子句集合一后与原子句集之间的逻辑关系；合一是代换（t 1/x 1……t n /x n ）将子句集中的变量x i 代换为项t i;✓ 归结合理与完备：在合一后的子句集上归结是一种推理，那么推理能否保证合理性与完备性；提高效率的策略：删除策略；支持集策略；线性策略；在归结过程中，注意：代换过程如果出现)(),(b P a P ⌝的情况就很可能是代换出现的问题；元定理在归结原理中，我们给定的形式系统是：● 形式系统是子句集，其上的推理方法不在是分离规则，而是归结；● 语义系统是Herbrand 结构。
在这样的推理环境中，我们还是要考虑形式推理（子句集上的归结）与形式语义之间的关系。
这些关系中，我们重点考虑的是合理性和完备性。
1、合理性：合理性的表现有两个定理，前面已经叙述过，下面重复一下：✓ 设子句集c 为子句c 1和c 2的归结结果，则c 为c 1和c 2的逻辑结果；✓ 设子句c 为子句集S 的归结结果，即存在一个归结序列，得到c ，则c 为S 的逻辑结果；2、完备性：✓ 若子句集S 为不可满足的，那么必定存在一个否证，即存一个导出空子句口的归结序列。
模态逻辑正规系统模态逻辑是研究各种不同的正规系统，这些正规系统中，最简单的是NSK 系统。
下面我们给出NSK 系统的构成。
1、 NSK 系统语言部分● 符号表：{,,......,,21⌝→p p □,◇,(,) }；其中i p 为原子命题，⌝→,为联接词，□,◇为模态词，(,)技术符号。