苏教版数学高二 必修5学案 3.4.1 基本不等式的证明

3．4 基本不等式ab ≤a ＋b
2
(a ≥0，b ≥0)
3．4.1 基本不等式的证明
1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 算术平均数与几何平均数 阅读教材P 96，完成下列问题．
对于正数a ，b ，我们把a ＋b
2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．
若两个正数a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为2，则a ＝________，b ＝________.
【解析】
由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b 2
＝2，
ab ＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝4，
ab ＝4， ∴a ＝2，b ＝2.
【答案】2 2
教材整理2基本不等式
阅读教材P97～P98，完成下列问题．
如果a，b是正数，那么ab≤a＋b
2(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不
等式ab≤a＋b
2(a≥0，b≥0)称为基本不等式．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2ab成立．()
(2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.()
【答案】(1)×(2)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________
解惑：__________________________________________________
[小组合作型]
用基本不等式证明不等
式
(1)求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；
(2)求证：a2
b＋
b2
c＋
c2
a≥a＋b＋c.
【精彩点拨】 (1)利用a ＋b ≥2ab ，a ＋c ≥2ac ，b ＋c ≥2bc 求证；
(2)利用a 2b ＋b ≥2a 2；b 2c ＋c ≥2b 2；c
2
a ＋a ≥2c 2求证．
【自主解答】 (1)∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a ＋c ≥2ac ，b ＋c ≥2bc . 又a ，b ，c 为不全相等的正数， ∴a ＋b ＋c ≥ab ＋ac ＋bc . 又a ，b ，c 互不相等， 故等号不能同时取到， 所以a ＋b ＋c >ab ＋ac ＋bc . (2)∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2
a 均大于0， ∴a 2
b ＋b ≥2
a 2
b ·
b ＝2a ， 当且仅当a 2
b ＝b 时等号成立． b 2
c ＋c ≥2
b 2
c ·
c ＝2b ， 当且仅当b 2
c ＝c 时等号成立． c 2
a ＋a ≥2
c 2
a ·
a ＝2c ， 当且仅当c 2
a ＝a 时等号成立．
相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2
a ＋a ≥2a ＋2
b ＋2
c ， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ≥a ＋
b ＋
c .
利用基本不等式证明不等式的条件要求：
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[再练一题]
1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1
c ≥9.
【证明】 法一 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c
＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋
a ＋
b ＋
c c
＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时等号成立．
法二 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )
＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
c b ＋a c ≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时等号成立．
[探究共研型]
应用基本不等式应注意的问题
探究1 不等式“x ＋1
x ≥2
x ·1x ＝2”成立吗？为什么？
【提示】不成立．如当x<0时，x＋1
x<0，显然不成立．
探究2当x<0时，能否应用基本不等式求解，x＋1
x的范围是多少？
【提示】可以，当x<0时，－x>0，
∴x＋1
x ＝－
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
(－x)＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－1
x
≤－2(－x)·1
(－x)
＝－2.
当且仅当－x＝－1
x
，即x＝－1时等号成立，
∴x＋1
x
∈(－∞，－2]．
探究3当x≥0时，如何求“x＋
1
x＋1
”的最小值？
【提示】x＋
1
x＋1
＝(x＋1)＋1
x＋1
－1≥2(x＋1)·1
x＋1
－1＝2－1＝1，当
且仅当x＋1＝1
x＋1
，即x＝0时等号成立．
求函数y＝(x＋5)(x＋2)
x＋1
(x>－1)的最小值，并求相应的x值．
【精彩点拨】y＝(x＋5)(x＋2)
x＋1
――→
变形
y＝(x＋1)＋
k
x＋1
＋b――→
基本不等式
求最小
值
【自主解答】y＝(x＋5)(x＋2)
x＋1
＝
(x＋1)2＋5(x＋1)＋4
x＋1
＝(x＋1)＋4
x＋1
＋5，
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴y≥2(x＋1)·4
x＋1
＋5 ＝4＋5
＝9.
当且仅当x ＋1＝
4
x ＋1
，即x ＝1时，等号成立． ∴函数y ＝
(x ＋5)(x ＋2)
x ＋1
(x >－1)的最小值为9，此时x ＝1.
1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境．
2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下： (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值． [再练一题]
2．(1)已知0<x <1
3，求函数y ＝x (1－3x )的最大值； (2)已知x >54，求函数y ＝4x －2＋1
4x －5
的最小值.
【导学号：91730065】
【解】 (1)∵0<x <1
3， ∴1－3x >0，
∴y ＝x (1－3x )＝1
3·3x (1－3x )≤ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112
， 当且仅当x ＝16时，函数y ＝x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x >5
4，∴4x －5>0，
∴y＝4x－2＋1
4x－5＝4x－5＋1
4x－5
＋3
≥2(4x－5)·1
4x－5
＋3＝5.
当且仅当4x－5＝1
4x－5
，
即x＝3
2
时取等号．
∴当x＝3
2
时，y取最小值为5.
1．a＋1≥2a(a>0)中等号成立的条件是________．【解析】等号成立的条件是两项相等，即a＝1. 【答案】a＝1
2．函数f(x)＝2x＋8
x(x>0)有最小值为________．
【解析】2x＋8
x≥22x·
8
x
＝8，当且仅当x＝2时等号成立．
【答案】8
3．已知x，y为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.
【导学号：91730066】【解析】∵x>0，y>0，∴1＝x＋4y≥24xy＝4xy，
∴xy ≤116，
当且仅当x ＝12，y ＝1
8时，等号成立． ∴(xy )max ＝1
16. 【答案】 1
16
4．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则四个数1
2，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是________． 【解析】 ∵b >a >0，∴a 2＋b 2>2ab . 又∵a ＋b ＝1，∴b >12.
又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2， 故b 最大． 【答案】 b
5．已知a ，b ，c ，d 都是正实数． 求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad
ac ≥4.
【证明】 ∵a ，b ，c ，d 都是正实数， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d c ＋c d ≥2
b a ·a
b ＋2
d c ·c
d ＝4.
当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________
学业分层测评(十九) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．给出下面四个推导过程：
①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a
b ≥2b a ·a b ＝2；
②因为x ，y ∈(0，＋∞)， 所以lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ； ③因为a ∈R ，a ≠0，所以4
a ＋a ≥24
a ·
a ＝4； ④因为x ，y ∈R ，xy <0，所以x y ＋y
x ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2
⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为________．
【解析】 ②③错误，①④正确，对于②，lg x ，lg y 不一定为正数；对于③，a ∈R ，也失去了应用基本不等式的前提．
【答案】 ①④
2．已知函数f (x )＝4x ＋a
x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.
【导学号：91730067】
【解析】 ∵x >0，∴f (x )＝4x ＋a
x ≥24a ＝4a . 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a
2时等号成立． 由题意可知a
2＝3，即a ＝36.
【答案】 36
3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________． (1)a 2＋b 2>2ab ；(2)a ＋b ≥2ab ；(3)1a ＋1b >2ab ；(4)b a ＋a
b ≥2.
【解析】 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，
∴(1)错误．对于(2)(3)，当a <0，b <0时，明显错误．对于(4)，∵ab >0， ∴b a ＋a b ≥2
b a ·a b ＝2.
【答案】 (4)
4．已知函数y ＝2＋3x 2＋12
x 2，当x ＝________时，函数有最________值，为________．
【解析】 ∵x 2>0， ∴y ＝2＋3x 2
＋12
x 2≥2＋2
3x 2
·
12x 2＝14，
当且仅当3x 2＝12
x 2，即x ＝±2时，取等号． 【答案】 ±2 小 14
5．下列函数中最小值为4的是________．
①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4
sin x (0<x <π)；③y ＝3x ＋4·3－x ；④y ＝lg x ＋4log x 10. 【解析】 对于③，y ＝3x ＋4·3－x ≥23x ·4·3－x ＝4，当且仅当3x ＝2时取等
号．
【答案】 ③
6．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是________． 【解析】 ∵a ＋b ＝3， ∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2
2a ＋b ＝4 2.
当且仅当2a ＝2b ，即a ＝b ＝3
2时等号成立． 【答案】 4 2
7．已知m ＝a ＋
1a －2
(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________． 【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2
＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2
，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0， ∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0,4)，综上易得m ＞n .
【答案】 m ＞n
8．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．
【解析】 ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， ∴lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )，即P <Q ，
又a ＋b 2>ab ，∴lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， ∴R >Q ，
即R >Q >P .
【答案】 R >Q >P 二、解答题
9．已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b
与ab 的大小． 【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2
1
ab >0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ，即21a ＋1b ≤ab . 10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9. 【证明】 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b . ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，
∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，
∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．
(2)法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二 ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，
故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. [能力提升]
1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是________.
【导学号：91730068】
(1)1x ＋y
≤14；(2)1x ＋1y ≥1；(3)xy ≥2； (4)1xy ≥1.
【解析】 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1，
∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14
(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．
【答案】 (2)
2．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．
【解析】 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1]恒成立．
∵x ∈(0,1]，x ＋1x ≥2，∴a ≤2.
【答案】 (－∞，2]
3．设0<a <1<b ，则log a b ＋log b a 的最大值为________．
【解析】 ∵0<a <1<b ，
∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，
∴(－log a b )＋(－log b a )
＝(－log a b )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.
【答案】 －2
4．已知x >y >0，xy ＝1，求x 2＋y 2
x －y
的最小值． 【解】 ∵xy ＝1，
∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y
＝(x －y )2＋2
x －y ＝(x －y )＋2x －y
≥
2(x －y )·2x －y
＝2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2x －y ，xy ＝1，
即⎩⎨⎧ x ＝6＋22，y ＝6－2
2时取等号．。