线性代数行列式计算习题课

3 2
a bc d
a
3
b a c d
1 x2
b b
3
c a b d
1
2
a bc
d d
3 2
1
2
c c
3 2
r4 r3

a
x1
2
xn
x1 a b c d x1
n 1
a
b 2 2 x2 xn a b c d a n 1 b x 2 a
2 3 3 2
c d ( xi x j ) ni j 1c d a b a b c d
* c in *
6、 某 行 （ 列 ） 的 k倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变
ri k r j ( c i k c j )
第 5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子 式乘积之和：
D n a i1 Ai1 a i 2 Ai 2 a 1 i A1 i a 2 i A 2 i a in A in a ni Ani
5 3 1 4 3
0 4 9
20
第16页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7. D 1 1 x 1 1 1 x 1 1
b
1 x 1 1 1 1
x 1 1 1 1
bx 1
c1 c 2 c1 c 3
x x x x 1 0
1 1 x 1 1 0 x
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
c1 c 4

1 a b 1
c1 x
x
1 b a 1 1 x 1
bx 1
1
b
x 0 b 1 3 1 1 0 4 n 1 x x a ( n 1) b ( a b )
c c
c 2 c1
1
c 4 c1
11
a13 a 2 3 a11 a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21 a 32 a 33
a 21 a 31
a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31
n阶行列式：
D n d e t ( a ij )
a11 a 21
3 2
c x n 1d
n
3 2
(a b c d )
b
c
d d 1
a 1
b 1
c 1
第20页
d. 利用范德蒙德行列式的结论计算
a D 4 (a b c d ) a
3 2
b b
3 2
c c
3 2
d d d 1
3 2
a 1
b 1 1
c 1 1 b b b
2 3
1 c c c
第 3行 元 素 代 数 余 子 式 的 值 依 次 是 ： 3, 9 , ( 3 ), ( 1)
7
由代数余子式的性质得 2 3 ( 1) ( 9 ) m ( 3 ) 6 1 0 解 得 m 7.
第14页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x 6. 函 数 f ( x ) 1 3 1
f (x)
1 x 2 1
t
1
1 1 x 2x
2 3
2 1 1 1
4
中x 的系数是
3
1

( 1) a 1 p a 2 p a 3 p a 4 p
ax bx cx d
3
2
( 1)
t (1 2 3 4 )
x x x 1 ＋ ( 1)
1
xn
xn
2
xn
n 1
第 8页
学习要求
计算排列的逆序数 代数余子式的相关计算 计算行列式
第 9页
典型习题
计算排列的逆序数 代数余子式的相关计算 计算行列式
第10页
计算排列的逆序数
1. 对 于 n 个 自 然 数 组 成 的 排 列 ， 则 逆 序 数 t m in 来自t (1 2 4 3 )
x x 1 2 x
第15页
计算行列式
② ③ 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后 按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 2 1 1 0 1 0 3 1 3 1 4 0 1 2 2 1 3 1； 1 4 2 2 1 3 3 8 3 1
1 1 0
A3 1 A3 2 A3 3 1
3 1 1 2 1
2 1 0 1 0 2 3
4 2 4 1 5
3 0 1 1 0 2 1
5 2
3 A3 1 2 A3 2 A3 3 A3 4 A3 5 D 5
6 ， 求 A3 1 A3 2 A3 3 和 A3 4 A3 5 . 1 0
2 n 2 前比它大的数有 2 n 1 , n2 ，逆序数为 2； 2n 4
……
2
除了 1 和 2 外都比它大，逆序数为 2 n 2 。
0 2 4 ( 2 n 2 ) n ( n 1) 。
第12页
故排列的逆序数 t
与代数余子式有关的计算
1 1 4. 设 D 5 3 2 4 2 1 2 2 3
a11 1. a12 a 22 a1n a2n a11 a 21 a 22 a nn a11 a 22
a nn
a n1
an2
a nn
a11 a 22
a1 1 2. a 21
a nn
a1, n 1 a 2 , n 1 a1n a n1 a 2 , n 1 a1n a2n a n1 a 2 , n 1 a1n
a n1
n ( n 1)
a n ,n 1
a nn
( 1)
2
a1 n a 2 , n 1
a nn
第 7页
几类特殊行列式的值
a11 a1 1k k c0 11 c0 1k
a11 a k1 a kk b n1 bnn a 1 k b1 1 b1 n
3.
a k1 c0 11
a kkkk c0 1k
ri k ( c i k ) ri k ( c i k )
* 3 、 k a i1 *
4、 若 有 两 行 (列 )元 素 相 同 或 对 应 成 比 例 ， 行 列 式 等 于 零
* 5 、 b i1 c i1 * b in c in b i1
* b in c i 1 *
行列式某一行 ( 列 ) 元素与另一行 ( 列 ) 对应元素的代数余 子式乘积之和等于零：
a i1 A j1 a i 2 A j 2 a 1 i A1 j a 2 i A 2 j a in A jn 0 a n i A n j 0， i j
第 6页
几类特殊行列式的值
2 3
1 d d d
2 3
( a b c d ) ( 1)
11
a a a
2 3
( a b c d )( d c )( d b )( d a )(c b )(c a )(b a )
第21页
第22页
0
， t m ax
n ( n 1) 2
123
n
n ( n 1)
2 1 ：t 0 1 2
( n 1)
2. 已 知 排 列 2 1 3i8 6 j 5 9是 偶 排 列 ， 则 i
i、 j 只 能 分 别 取 4 或 7 ：
4 ，j
7
2 1 348 6 7 5 9 2 1 378 6 45 9
第一章 行列式
小结与习题
第 1页
知识点
全排列及其逆序数 行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 几类特殊行列式的值
第 2页
全排列及其逆序数
全排列（排列）：若干连续自然数排成一列
排列的逆序数：排列中所有逆序的总和 逆序：两个元素的先后次序与标准次序不同 逆序数的计算方法：
4 2 0 1 5 5 2 0 1 0 1 1
A3 4 A3 5 0
2 1 0 2 3
3 1 0 2 1
4 0 2 1 1 0 5
5 0 2 1 1 0 0
0 2 4
2 4
0
0
第13页
与代数余子式有关的计算
5 . 已 知 某 4 阶 行 列 式 的 第 2 行 元 素 依 次 是 2 , 1, m , 6 ， 第 3 行 元 素 的 余 子 式 的 值 依 次 是 3, 9 , 3, 1， 则 m
：t 6 ：t 9
第11页
计算排列的逆序数
3. 求 排 列 1 3 ( 2 n 1) 2 n ( 2 n 2 ) 4 2的 逆 序 数
解
1, 3,
, 2 n 1 是递增的，没有逆序；
2n
是最大数，逆序数为 0； 前比它大的数有 2 n 3, 2 n 1, 2 n , 2 n 2 ，逆序数为 4；
a1 2 a 22
a1 n a2n
p1 p 2
pn

( 1) a 1 p a 2 p
1
t
2
a np
n
a n1
an2
a nn
n !项
第 4页
行列式的性质
1、 D D
T
2 、 两 行 （ 列 ） 互 换 ， 行 列 式 变 号 ri r j ( c i c j )
* k a in k a i 1 a in *
1 1
x
0
0
1 b b 1
1
a 1
0
0
0
第17页
b. 爪（箭）形行列式
1 a1 8 计 算 Dn 1 1 1 a2 1 1 ( a1 a 2 an 0)
1
1
1 an
,
, ,
第18页
c. 可利用递推方法的行列式
x 1 x 9. D n 1 x 1
x D n 1 a n
c0 n1 b1 11 1
c0 nk b1 1n n
c0 n1
c0 nk
bn n1 1
bn nn n
1 x1 4. x1
2
1 x2 x2
2
1 xn xn
2
1
x1 x2
x1
2 2
x1
n 1 n 1


n i j 1
( xi x j )
1
x2
x2
x1
n 1
x2
n 1
xn
n 1
( 1)
n 1
x an a n 1
n ( 1)
1
2
an2
n 1
a
x a1
D n x a1 x
n 1
a2 x
n2
a3 x
n3

a n 1 x a n
第19页
d. 利用范德蒙德行列式的结论计算
a 10. D4 a
3 2
b b
3 2
c c
3 2
d d d
t 0 0 2 2 4
31
3412
42
依次计算排列中每个元素前比它大的元素个数，然后求和
奇排列（偶排列）：逆序数为奇（偶）数的排列
第 3页
行列式的定义
二阶行列式：a
11
a1 2 a 22
a12 a 22 a 32
a 21
a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1
三阶行列式：a