数学建模城市空气质量评估及预测

城市空气质量评估及预测
摘要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。

利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。

运用GM（1,1）灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2010年11月份的空气质量状况进行预测。

使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。

关键词：空气质量，层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二
氧化氮
一、问题的提出
1.1背景介绍
随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。

“十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：API 指数≤100的天数超过全年天数85%。

“城考”依据API 指数≤100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。

“API指数≤100的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。

本文主要针对以下几个问题进行相关分析：
（1）利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。

（2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。

（3）收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。

二、基本假设
1）表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。

2）空气质量相同等级的污染程度相同。

3）假设该市各种影响空气质量的软因素（如工业发展，人口数量）保持平稳变化。

4）不考虑突发事件即人为因素（如工业事故）造成的空气质量突变。

5）假设各种因素对环境的影响最终主要表现在可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考虑其他随机因素的影响。

三、问题的分析
3．1第一问所涉及的问题是一个具有一般性的，又有代表性的排序问题，鉴于每个城市的空气质量状况等级的权重有所不同，我们利用层次分析法对题中所测得城市空气质量状况进行排序，首先建立层次分析结构：最上层为目标层（O）：各城市空气质量污染程度。

中间层为准则层（P）：空气质量状况等级。

共7个等级，依
次为(1,2, (7)
P i 最底层为对象层(C)：为排序对象。

i
由各层次之间的关系，C与P关联，且P与O相关联。

3.2第二问涉及对系统行为特征的发展变化规律进行估计预
测，故可以运用GM模型对其进行灰色预测，从掌握的历史数据可以看出，每年11月的空气质量级别分布较为相似，全月的平均值较好的反应了相关指标的变化规律，这样我们可以将预测评估分为两个部分：
1）利用灰色理论建立GM（1,1）模型，由2005-2009年11月份空气质量指数的平均值预测2010年的平均值。

2）通过历史数据计算每天指标值与全月总值的关系，从而可以预测出正常情况下2010年11月份每天的指标值，即空气质量指数。

3.3第三问是要分析影响空气质量的因素，本文主要考虑计入空气污染指数的三个指标。

通过计算可吸入颗粒、二氧化
硫、二氧化氮的关联度，分析得知哪个因素对空气质量影响较大，哪个因素对空气质量影响较小。

四、模型的建立及求解
4.1运用层次分析法，将研究目标（O ），空气质量状况（P ）和对象（C ）相应的分为目标层，中间层，最底层。

层次关系图如下：
按照层次分析法的步骤，构造城市排名模型：
1）
建立层次结
构图
（如上图）；
2）
构造比较矩阵A ，比较7个空气质量状况P 对目标层
（O ）的影响程度，即确定它在O 中
所占得比重。

对任意两个和，用ij a 表示i P 和j P 对O 的影响程度之比，按1—9的比例标度来度量ij a (,1,2...)i j n =,由此可得到两两成对比较矩阵()ij n n A a ⨯=，ij a >0 , 1ji ij
a a =,
ij a =1 (,1,2...)i j n =
比例标度的确定：ij a 取1—9的9个等级，而ji a 取ij a 的
倒数。

比例标度值
3)确定相对权重
由两两成对比较的判断矩阵。

结合Perron-Frobenions 定理，得非负矩阵存在正的最大模特征值，对应着正的特征向量。

用“和法”求出矩阵的最大特征根和最大特征向。

再将所求的特征向量单位化后得到的就是空气质量状况P 对目标O相对影响性的权重，记为ω。

和法求矩阵的最大特征根和最大特征向
a ． 将
A 的每一列向量归一化得1
/n
ij ij ij i a a ω==∑, 矩阵ij ω如下：
0.5011 0.6797 0.4575 0.3810 0.3248 0.2832 0.2250
0.1253 0.1699 0.3660 0.3175 0.2784 0.2478 0.2000
0.1002 0.0425 0.0915 0.1905 0.1856 0.1770 0.1750
0.0835 0.0339 0.0305 0.0635 0.1392 0.1416 0.1500
0.0716 0.0283 0.0229 0.0212 0.0464 0.1062 0.1250
0.0626 0.0243 0.0183 0.0159 0.0155 0.0354 0.1000
0.0557 0.0212 0.0131 0.0106 0.0093 0.0089 0.0250
b ． 对ij ω按行求和得i ω：
0.4075 0.2436
0.1375
i ω=0.0918
0.0602 0.0389 0.0206
c ． 将i ω归一化得7
1
/i i i i ωωω*==∑，ω=127(,,...)T
ωωω即为特征向量。

d ． 7max
1()17i
i i
A ωλω==∑
()i A ω表示A ω的第i 个分量。

结果如下
3.5382
2.1734
()i A ω= 1.1348
0.7141 0.44370.2776 0.1530 由此得出： 一致性检验：
（1） 一致性指标：max 1
n
CI n λ-=
-得CI =0.13
（2） 随机一致性指标：RI 如图表：
随机一致性指标
(3) 一致性比率0.0980.11.32
CR RI
==
=<，得到A 的不一
致程度在容许范围内，可用其特征向量ω作为权向量。

4）对象层C 对准则层P 的比重可通过已给出各城市的空气
质量状况结合统计学知识列出如下表的比重关系:
全国十大城市空气质量等级比重列表
5）层次总排序，即C层对目标O的总排序。

方法是将P——C所得出的城市空气状况比重作为列向量构成7×7矩阵，和由P对目标O的权量构成的7×1矩阵做乘法，结果即是10个城市的空气污染严重程度的权重向量，那么数值较小的数所对应的城市空气污染程度就比较严重。

通过以上模型的求解，得到10个城市空气质量污染程度的综合排名：（由重到轻）
那么这个模型的结论从另一个侧面反映了所给的原始数据所代表的实际情况。

结论显示乌鲁木齐的空气污染程度在10个城市里最严重，由于乌鲁木齐有大量的石油开采基地有大量污染物体产生，以及连续出现静风天气和乌鲁木齐上空的逆温层阻碍了污染物的扩散，使其越积越多，导致空气污染随之加重。

4.2对成都市2010年11月份空气质量指数建立灰色预测模型GM（1,1）
以下数据为2005-2009年11月份每天的空气质量指数：
由已知数据，对2005-2009年十一月份的空气指数记为矩阵A=530(a )ij ⨯，计算每年的年平均值，记为:
(0)(0)(0)(0)((1),(2)
(5)),x x x x =（1）
并要求级比
()0(0)()(1)/()(0.7165,1.3956)i x i x i λ=-∈(2,35)i =.，对(0)x 作一
次累加，则：
(1)
(0)
(1)
1(1),()k i
k x
x x i x ===∑（0）
（）(2,35)i =，
（2） 记(1)(1)(1)(1)((1),(2)
(5)),x x x x =
取(1)x 的加权平均值则
(1)(1)(1)()()(1)(1)(2,35),z k x k x k k =∂+-∂-=∂为确定参数，记：
(1)(1)(1)(1)((2),(3),
(5)),z z z z =（3）
于是GM （1,1）的白化微分方程模型为 其中a 是发展灰度，b 是内生控制灰度。

由于(1)(1)(0)()(1)(),x k x k x k --=取(0)()x k 为灰导数，(1)()z k 为背景值，
则可得出相应的灰微分方程：(0)(1)()()(2,3,5)x k az k b k -==
运用最小二乘法可求：
b y ax =+（4）
其中x 为(1)()z k ，y 为(0)()x k ； 于是方程有响应（特解）
(1)(0)ˆ(1)((1)/)/at x
t x b a e b a -+=-•+， 则(1)(0)(1)ˆ(1)((1)/)()ak a k x k x b a e e ---+=--。

（5）
则由上式可得到2010年11月份空气指数的平均值，则预测2010年11月份的空气指数总值为30X x =，根据历年数据，则可以统计出2010年11月份每天的空气指数占整月总值的比例i
u ，即：
5305
1
11
/(1,2
30),i ij ij j i j u a a i =====∑∑∑（6）
则1230(,,
),u u u u =于是可得
2010年11月每天的空气指数值
为Y X u =。

模型求解：
由数据表，结合（1），（2）两式计算可得月平均值，一次累加值分别为：
注：由于空气指数均为整数，故求均值时进位取整。

显然(0)x 的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里参数
0.5∂=合适，则由（3）可得：
则所得对应灰微分方程为：
运用最小二乘法公式（4）可求得：
由式（5）可得2010年11月份空气质量指数平均值为69x ≈， 则月总指数值：
302070X x ==，
由式（6）得到每天的比例为：
(0.0256,0.0297,0.035,0.0362,0.0389,0.0358,0.0408,0.0412,0.0503,0.0477,0.0412,0.0338,0.0337,0.0296,0.0287,0.024,0.0214,0.0275,0.0266,0.0288,0.02930.03,0.0301,0.0294,0.0335,0.0312,0.0358,0.0335,0.0363u =,0.0345)
；
故2010年11月1-30天的空气质量指数预测值为： 列为下表：
模型检测：
通过上述所建模型我们对2005-2009年10月空气质量指数进行预测，将预测值与实际统计值进行比较，如下表所示：
并由此数据表格作出相应曲线：
从上图可以较为直观地看出，通过所建模型计算预测出所得的预测值在较大程度上与实际值吻合，故所建模型是正确可行的。

4.3建立空气质量影响因素模型：
灰色系统理论中的关联分析法是一种因素比较分析法，是以数据间
差值大小作为关联程度的衡量尺度，通过求解关联度来确定各指标对目标值的影响度。

(1) 绝对关联度：设序列0X 与X i 长度相同，则称 (2)
为0X 与X i 的绝对灰色关联度，简称绝对关联度。

(3) 其中1
[X (1)]n
i i s x dt =-⎰，00
1
(X )n
i j i j s s x dt -=-⎰。

(2)相对关联度：设序列0X 与X i 长度相同，且初值皆不等于零，'0X 与'X i 分别为0X ，X i 的初值像，则称'0X 与'X i 的灰色绝对关联度为0X 与X i 的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为0i r 。

其中
(3)综合关联度：设序列0X 与X i 长度相同，且初值皆不
等于零，
0i ε和0i r 分别为0X 与X i 的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，[]0,1θ∈，则称
为0X 与X i 的灰色综合关联度，简称综合关联度。

综合关联度
较为全面地表征
序列之间联系是否紧密的一个数量指标。

以下是2003-2006年成都市空气质量指标的数据：（数据来源：国家统计局）
模型求解： 绝对关联度：令
=0000((1),(2),(3),(4))i i i i x x x x ；i =0,1,2,3 则
00X =(0,-0.82,-5.21,-3.01)
1
X =(0,-0,003,0.007,0.005) 02X =(0,0.015,0.025,0.013)
03X =(0,0.002,0.006,0.003)
i
S 由=3
002
1()(4)2
i i k x k x =+∑；i =0,1,2,3
S 得=7.535 1S =0.0065 2S =0.0465 3S =0.0095
0i S S -由=3
00000021
[()()][(4)(4)]2
i i k x k x k x x =-+-∑；i =1,2,3
10
S S -得=7.5415 20S S -=7.5815 30S S -=7.5445
0000
11i
i i i S S S S S S ε++=
+++-由；i =0,1,2,3
01ε得=0.531089 02ε=0.530935 03ε=0.531077
相对关联度：
由'''''(1)(2)(3)(4)X =((1),(2),(3),(4)),,,(1)(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x ⎛
⎫
= ⎪⎝⎭；i =0,1,2,3
得
'0X =(1,0.990407,0.939050,0.964787)
'1X =(1,0.974576,1.059322,1.042373)
'2X =(1,1.288462,1.480769,1.250000)
'3X =(1,1.043478,1.130435,1.065217)
'X i 的始点零化像为：
=''''''''((1)(1),(2)(1),(3)(1),(4)(1))i i i i i i i i x x x x x x x x ----；i =0,1,2,3 从而
'00X =（0，-0.009593，-0.060950，-0.035213）
'01X =（0，-0.025424，0.059322,0.042373）
'02X =（0,0.288462,0.480769,0.250000）
'03X =（0,0.043478,0.130435,0.065217）
'
i
S
由=3
'0'02
1()(4)2
i i k x k x =-∑；i =0,1,2,3
'0
S 得=0.0529365
'
1S =0.0127115
'2
S =0.644231
'3S =0.1413045
''0
i S S
-由=3
'0'0'0'0002
1[()()][(4)(4)]2
i i k x k x k x x =---∑；i =1,2,3
''
10S S -得=0.065648
''
20
S S -=0.6971675
''30
S S -=0.194241
''
00'
'''0
11i i i
i
S S r S S S S
++=
+++-由；i =0,1,2,3
01r 得=0.941971 02r =0.708826 03r =0.860105
综合关联度：取θ=0.5
000(1)i i i r ρθεθ=+-由；i =0,1,2,3
01ρ得=0.736530 02ρ=0.695591 03ρ=0.6198805
结果分析： 由010203>ρρρ> 得1
2
3X X X
1X 为最优因素，2X 次之，3X 最劣。

也就是说，可吸入颗粒对
空气质量的影响最大，二氧化硫对空气质量的影响仅次于可吸入颗粒，二氧化氮较之二者对空气质量的影响最小。

六、模型的评价与推广
6.1模型一对十大城市空气质量状况采用层次分析方法解决问题的基本思想与人们对一个对多层次，多因素复杂的决策问题的思维过程基本一致，次模型最突出的特点是分层比较，综合优化，是一种非常简单实用的方法，因此该模型在计算，制定计划，资源分配，排序，政策分析，决策预报等领域都可以广泛应用。

但是这个模型也有不令人满意的地
方，虽然要解决10个城市的空气污染严重程度的排名问题，但是受数据的限制，只是粗略地排出层次，那么位于同一空气质量等级的城市还需要更多的数据，更多的背景加以数学处理和讨论。

6.2模型二采用的主要方法是灰色预测，依据目前已有的数据对未来的发展趋势作出预测，我们选取平均值作为计算的关键量，但由于空气质量的好坏在较大程度上有人为因素的影响，空气质量指数曲线变化较陡，则运用平均值预测，会抵消掉往年某些极端情况即质量极好和质量极差的情况，且不排除该月有人为因素导致的空气质量突变，因此预测值可能会与实际值在某些点上存在较大误差，但这些都不能否认我们通过模型预测出了该月大概的空气质量等级分布。

并且该模型结合GM（1,1）模型，基本是四则运算，掌握起来也较为容易，便于推广运用。

6.3模型三运用优势分析的方法，其最大优势是全面地比较了在所有可能的模型情况下，可预测变量解释或预测标准变量的相对重要性，另外，该模型所确定的各预测变量之间的相对重要性序列不会夸大或降低某一预测变量解释或预测标准变量的重要性。

运用这种方法为分析和比较多个事物对某一事物的解释或预测里提供了新途径，比传统方法更加谨慎和可信。

七、参考文献
[1]韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：高等教育出版社，2005
[2]姜启源等.数学模型.北京：高等教育出版社，2003
[3]刘思峰等.灰色系统理论及其应用.北京：科学出版社，2004
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赛优秀论文汇编.北京：中国物价出版社，2002
[5]徐全智等.数学建模入门.成都，电子科技大学出版社，1996。