川大附中高一数学上学期期末调研考试试题

四川省川大附中2020-2021学年高一数学上学期期末调研考试试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U ＝｛1，2，3,4，5｝，集合M ＝｛2，3，4｝，N ＝｛3，4｝．则
()U
M N =
A ．{2，3，4}
B ．｛1,2，5｝
C ．{3,4｝
D ．｛1,5} 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是 A
．y =
B
．3
y = C
．4
y = D ．
2
x y x
=
3．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非
负半轴重合，且4
cos 5α=-．
若角α的终边上有一点P （x ，3），则x 的值为 A ．-4 B ．4 C ．—3 D ．3 4．设函数
2
2e 2,3,()log (1), 3.
x
x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩则f （f （0））的值为
A ．2
B ．3
C ．e 3-1
D ．e 2—1
5．已知扇形的圆心角为30°,面积为3π，则扇形的半径为 A
． B ．3 C
． D ．6
6．函数f(x ）＝lnx ＋2x —9的零点所在区间是
A ．（1，2）
B ．（2，3)
C ．(3，4)
D ．(4，5）
7．已知函数π()2cos(2)16
f x x =--，则函数f(x ）的递减区间是
A ．π7π[π,π]1212k k ++（k ∈Z ）
B ．5ππ
[π,π]1212k k -+（k ∈Z ）
C ．ππ[π,π]63k k -+(k ∈Z ）
D ．π5π
[π,π+]36
k k +（k ∈Z ）
8．函数
2
||
()33
x x f x =-的图象大致为
A ．
B ．
A ． D ．
9．已知函数π()2sin()4f x x =+，先将函数f （x ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将所得到的图象向右平移π
3个单位长度，最后得到函数y ＝g(x ）的图象，则π()6g 的值为
A ．1
B 2
C ．0
D ．310．已知函数21
1()()
2x ax f x +-=在［1，2］上单调递减，则实数a 的取值
范围是
A ．[2，4］
B ．［—2，＋∞）
C ．[-4，-2]
D ．(—∞，-4]
11．若1
2
6a -=，b ＝log 32,c ＝ln2,则a,b ，c 的大小关系为
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a 12．设函数
21()ln 1|1|1x x f x x x -=-++-,1
()(21)()
2
g x f x f =--．若g （x ）的值不小于0，
则x 的取值范围是 A ．3[,0)4- B ．31
11
[,)
(,)42
24--- C ．3(0,]4 D ．1
13
(0,)
(,]224
第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题． 13．计算tan330°的值为________．
14．已知函数y ＝a 2x —1＋1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点P(x 0，y 0），则x 0的值为________．
15．已知函数f(x ）是定义在R 上的偶函数，且对区间(—∞，0］
上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，都有1
2
1
2
()()0f x f x x x
-<-．若实数t 满足f （2t ＋1）≤f(t -3），则t 的取值范围是________．
16．已知函数π()sin()3f x x ω=+（ω＞0）在4ππ(,)33
-上单调，且将函数f （x ）的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当x ∈（0，4π）时，使得不等式1()2f x ≤成立的x 的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算下列各式的值: (
Ⅰ）
2
2
33(2021) 1.5(3)8
--+⨯;
(
Ⅱ）2log 3
1
lg 2
100+-
18．已知tanθ＝—2，且π(,π)2θ∈．
（Ⅰ)求sinθ，cosθ的值； (Ⅱ）求
π
2sin(π)sin()
2π
cos(2π)cos()
2
θθθθ-+--++的值．
19．已知函数2()121x
f x =-+．
(Ⅰ）用函数单调性的定义证明函数f （x ）在R 上是增函数; （Ⅱ）当x ∈[1，3］时,求函数g （x)＝log 3f （x ）的最值．
20．1986年4月26日,一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2。

47％．经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8。

46％时,事故所在地才能再次成为人类居住的安全区;要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有a （0＜a ＜8）吨．
（Ⅰ）设经过t （t ∈N *）年后辐射物中锶90的剩余量为P （t)吨，试求P （t ）的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；
(Ⅱ）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？(结果保留为整数）
参考数据：ln0.0846＝—2。

47,ln0.9753＝-0.03． 21．已知函数f （x ）＝Asin(ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0,π||2ϕ<）的最小值为-2,其图象经过点（0，—1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为π2
．
（Ⅰ）求函数f （x)的解析式；
（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）—k ＝0在π11π
[,]612上有且仅有两个实数根x 1,x 2,求实数k 的取值范围,并求出x 1＋x 2的值． 22．已知函数
()f x =
R ,其中a 为实数．
(Ⅰ）求a 的取值范围;
（Ⅱ）当a ＝1时，是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1,1]，都存在x 2∈R ，使得1
11129
9(33)1()
x x x x m f x --++--≥成立?若存在，求实数m 的
取值范围；若不存在,请说明理由．
川大附中2020-2021学年度上学期期末高一级调研考试
数学参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：
1．D ；2．B;3．A ；4．B ；5．D ；6．C;7．A ；8．C ；9．A ；10．B ；11．A;12．D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：
13．33-；14．12;15．2[4,]3-；16．113
π
． 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）原式
2
233271(2)()()28
-=+π-+⨯
491(2)94
=+π-+⨯
＝π．
（Ⅱ）原式21log 3
2
2
lg10
2
ln e -=+-
1
232=-+-
12
=．
18．解：（Ⅰ)由tanθ＝-2，得sinθ＝—2cosθ． ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴2
1cos 5
θ=．
∵(,)2θπ∈π，∴sinθ＞0，cosθ＜0．
∴5cos θ=，25sin θ=
（Ⅱ）原式2sin cos cos sin θθ
θθ
+=-
2tan 11tan θθ
+=
-．
∵tanθ＝-2，∴原式41
112
-+==-+．
19．解：(Ⅰ）任取x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2． 则1
2
1
2
22()()1(1)2121x x f x f x -=---++
122121222(22)2121(21)(21)
x x x x x x -=-=
++++．
∵x 1＜x 2，∴1
2
22x x <，即1
22
20
x x -<．
又∵2
1(2
1)(21)0
x x ++>，
∴f （x 1）—f （x 2)＜0，即f （x 1)＜f （x 2）． ∴函数f （x ）在R 上单调递增．
（Ⅱ）令t ＝f （x ），函数g(x ）＝log 3f （x ）化为h(t)＝log 3t ． 由（Ⅰ)知当x ∈［1，3]时,函数f(x ）单调递增． ∴当x ＝1时，函数f （x ）有最小值1(1)3
f =；
当x ＝3时，函数f （x ）有最大值7(3)9f =．∴17
[,]39t ∈．
又函数h （t ）＝log 3t 在17
[,]39
上单调递增，
∴当13t =，即x ＝1时，函数h(t ）有最小值-1，即g （x)有最小值—1;
当79t =，即x ＝3时，函数h （t)有最大值-2＋log 37，即g （x ）有最大值—2＋log 37．
20．解：（Ⅰ）由题意，得P(t ）＝a(1-2。

47%)t ,t ∈N ∗． 化简，得P （t ）＝0。

9753t a ，t ∈N ∗． ∴P （800）＝0。

9753800a ．
∴经过800年后辐射物中锶90的剩余量为0。

9753800a 吨． (Ⅱ）由（Ⅰ)，知P （t)＝0.9753t a ，t ∈N ∗．
由题意，得0.9753t a ＜0。

0846a,
不等式两边同时取对数,得ln0.9753t ＜ln0。

0846． 化简,得tln0。

9753＜ln0.0846．
由参考数据，得—0。

03t ＜—2。

47． ∴2473
t >．
又∵24782.33≈,∴事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区．
21．解:（Ⅰ）由题意，得A ＝2,122T π=．
∴T ＝π，22T
ωπ
==．∴f(x ）＝2sin （2x ＋φ)．
又函数f （x ）的图象经过点（0，-1）,则2sinφ＝-1．
由||2ϕπ<，得6
ϕπ=-．∴()2sin(2)6f x x π
=-．
（Ⅱ）由题意，关于x 的方程f （x ）-k ＝0在11[,]612
ππ
上有且仅有两个实数根x 1，x 2，
即函数y ＝f （x ）与y ＝k 的图象在11[,]612ππ
上有且仅有两个交点．
由（Ⅰ）知()2sin(2)6f x x π=-．
令26
t x π=-，则y ＝2sint ．
∵11[,]612x ππ∈，∴5[,]63
t ππ
∈．
则y ∈[—2，2］．其函数图象如图所示．
由图可知，实数k 的取值范围为（-2，3∪[1，2)． ①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2关于2
t π=对称，则1
2
12(2)(2)66
t t
x x ππ
+=-+-=π
．
解得1
2
23
x x
π
+=
；
②当(2,3]k ∈--时,t 1，t 2关于32t π=对称，则1
2
12(2)(2)366
t t x x ππ
+=-+-=π
．
解得1
2
53
x x
π
+=
．
综上，实数k 的取值范围为（—2，3-∪［1，2），x 1＋x 2的值为23π或53π．
22．解：（Ⅰ）由题意，函数2()21
f x ax ax =-+的定义域为R ，
则不等式ax 2—2ax ＋1≥0对任意x ∈R 都成立．
①当a ＝0时，1≥0显然成立;
②当a≠0时，欲使不等式ax 2-2ax ＋1≥0对任意x ∈R 都成立，
则2
0440.
a a a >⎧⎨
-≤⎩
解得0＜a≤1． 综上,实数a 的取值范围为[0，1］． （Ⅱ）当a ＝1时,2()21
f x x x =
-+
∴当x ∈R 时，f （x ）min ＝0．
令1
3
33()3
x
x x x
t -=-=-．显然在x ∈[—1，1]上递增，则88
[,]33
t ∈-．
∴9x ＋9-x ＋m （3x —3—x )-1＝t 2＋mt ＋1． 令2
()1
h t t
mt =++，88
[,]33
t ∈-．
若存在实数m 满足对任意x 1∈［-1，1]，都存在x 2∈R ，使得
1111299(33)1()
x x x x m f x --++--≥成立,则只需h （t ）min ≥0．
①当823m -≤-即163m ≥时,函数h(t ）在88
[,]33
-上单调递增．
则min
8648()()10
393
h t h m =-=-+≥．解得73
24m ≤，与163
m ≥矛盾；
②当88323m -<-<即161633m -<<时，函数h （t ）在8[,]32
m
--上单调递减,
在
8[,]23
m -上单调递增．则22
min
()
()10
242
m m m h t h =-=-+≥．
解得-2≤m≤2；
③当823m -≥即163m ≤-时，函数h （t ）在88
[,]33
-上单调递减．
则min
8648()
()10
393h t h m ==++≥．解得73
24m ≥-，与163
m ≤-矛盾．
综上，存在实数m 满足条件，其取值范围为[-2，2]．。