生物统计学(第3版)杜荣骞 课后习题答案 第二章 概率和概率分布

第二章概率和概率分布
2.1做这样一个试验，取一枚五分硬币，将图案面称为A，文字面称为B。

上抛硬币，观察落下后是A向上还是B向上。

重复10次为一组，记下A向上的次数，共做10组。

再以100次为一组，1 000次为一组，各做10组，分别统计出A的频率，验证2.1.3的内容。

答：在这里用二项分布随机数模拟一个抽样试验，与同学们所做的抽样试验并不冲突。

以变量Y表示图向上的次数，n表示重复的次数，m表示组数，每次落下后图向上的概率φ＝1/2。

SAS程序如下，该程序应运行3次，第一次n＝10，第二次n＝100，第三次n＝1000。

options nodate;
data value;
n=10;
m=10;
phi=1/2;
do i=1 to m;
retain seed 3053177;
do j=1 to n;
y=ranbin(seed,n,phi);
output;
end;
end;
data disv;
set value;
by i;
if first.i then sumy=0;
sumy+y;
meany=sumy/n;
py=meany/n;
if last.i then output;
keep n m phi meany py;
run;
proc print;
title 'binomial distribution: n=10 m=10';
run;
proc means mean;
var meany py;
title 'binomial distribution: n=10 m=10';
run;
以下的三个表是程序运行的结果。

表的第一部分为每一个组之Y的平均结果，包括平均的频数和平均的频率，共10组。

表的第二部分为10组数据的平均数。

从结果中可以看出，随着样本含量的加大，样本的频率围绕0.5做平均幅度越来越小的波动，最后稳定于0.5。

binomial distribution: n=10 m=10
OBS N M PHI MEANY PY
1 10 10 0.5 5.7 0.57
2 10 10 0.5 4.5 0.45
3 10 10 0.5 5.1 0.51
4 10 10 0.
5 6.1 0.61
5 10 10 0.5 6.1 0.61
6 10 10 0.5 4.3 0.43
7 10 10 0.5 5.6 0.56
8 10 10 0.5 4.7 0.47
9 10 10 0.5 5.2 0.52
10 10 10 0.5 5.6 0.56
binomial distribution: n=10 m=10
Variable Mean ---------------------- MEANY 5.2900000 PY 0.5290000 ----------------------
binomial distribution: n=100 m=10 OBS N M PHI MEANY PY
1 100 10 0.5 49.71 0.4971
2 100 10 0.5 49.58 0.4958
3 100 10 0.5 50.37 0.5037
4 100 10 0.
5 50.11 0.5011 5 100 10 0.5 49.70 0.4970
6 100 10 0.5 50.04 0.5004
7 100 10 0.5 49.20 0.4920
8 100 10 0.5 49.74 0.4974
9 100 10 0.5 49.37 0.4937 10 100 10 0.5 49.86 0.4986
binomial distribution: n=100 m=10
Variable Mean ---------------------- MEANY 49.7680000 PY 0.4976800 ----------------------
binomial distribution: n=1000 m=10 OBS N M PHI MEANY PY
1 1000 10 0.5 499.278 0.49928
2 1000 10 0.5 499.679 0.49968
3 1000 10 0.5 499.108 0.49911
4 1000 10 0.
5 500.04
6 0.50005 5 1000 10 0.5 499.81
7 0.49982 6 1000 10 0.5 499.236 0.49924 7 1000 10 0.5 499.531 0.49953
8 1000 10 0.5 499.936 0.49994
9 1000 10 0.5 500.011 0.50001 10 1000 10 0.5 500.304 0.50030
binomial distribution: n=1000 m=10
Variable Mean ---------------------- MEANY 499.6946000 PY 0.4996946 ----------------------
2.2 每个人的一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X 染色体来自外祖父的概率是多少？来自祖父的概率呢？
答： （1）设A 为一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的事件，则
()41
211211=
⨯⨯⨯=A P
（2）设B 为男性的X 染色体来自外祖父的事件，则
()21
211=⨯
=B P
（3）设C 为男性的X 染色体来自祖父的事件，则 ()0=C P
2.3 假如父母的基因型分别为I A i 和I B i 。

他们的两个孩子都是A 型血的概率是多少？他们生两个O 型血女孩的概率是多少？
答：父：
()
()21==A 配子配子i P I P 母：
()
()21=
=B 配子配子i P I P
()()()()
()()()()()()
1612114
=⎪⎭⎫ ⎝⎛====A
A A A A A A i P I P i P I P i
I P i I P P P P 型血型血型血子女两名
()
()()()
()()()()()()64
1212
1
2121
2121
2126
=⎪⎭⎫ ⎝⎛====O O O i P i P i P i P i i P i i P P P P 型血型血型血女儿两名
2.4 白化病是一种隐性遗传病，当隐性基因纯合时（aa ）即发病。

已知杂合子（Aa ）在群体中的频率为1 / 70，问一对夫妻生出一名白化病患儿的概率是多少？假如妻子是白化病患者，她生出白化病患儿的概率又是多少？
答：（1）已知 ()()4170
1
=
⨯=
Aa Aa aa P Aa P
所以
()()()()()()
600
19141701701=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⨯⨯=⨯Aa Aa aa P Aa P Aa P Aa Aa aa P Aa Aa P aa Aa Aa P 且生一名
（2）已知 ()()2170
1=
⨯=
Aa aa aa P Aa P
所以
()
()()()()()
()140
1217011=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⨯⨯=⨯Aa aa aa P Aa P aa P Aa aa aa P Aa aa P aa Aa aa P 且生一名
2.5 在图2－3中，III 1为Aa 个体，a 在群体中的频率极低，可排除a 多于一次进入该系谱的可能性，问III 2亦为a 的携带者的概率是多少？
答：设：事件A ：III 1含a ， 事件B ：II 2含a ， 事件C ：I 3含a ， 事件D ：II 2含a ， 事件E ：III 2含a ， 事件C ’：I 4含a ，
图 2－3
()()()()()21
2111
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛===A B P A P AB P A P
()()()()()()()()()161
212121218
1
2121214
1
2121=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==D ABC E P ABCD P ABCDE P ABC D P ABC P ABCD P AB C P AB P ABC P 同理可得：
()()()161
21212121'''=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==D ABC E P D ABC P DE ABC P 故III 2含a 总的概率为：
81161161=+=
P
2.6 一个杂合子AaBb 自交，子代基因型中有哪些基本事件？可举出哪些事件？各事件
的概率是多少？
答：1．共有16种基因型，为16个基本事件。

AABB AAbB aABB aAbB AABb AAbb aABb aAbb AaBB AabB aaBB aabB AaBb Aabb
aaBb aabb
2．可举出的事件及其概率：
A 1： 包含四个显性基因 = {AAB
B }
()1611=
A P
A 2： 包含三个显性基因 = {AABb, AAbB, AaBB, aAB
B }
()164
2=
A P A 3： 至少包含三个显性基因 = { AABb, AAbB, AaBB, aABB, AAB
B }
()1653=
A P
A 4： 包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaB
B }
()1664=
A P
A 5： 至少包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaB
B AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB }
()16115=
A P A 6： 包含两个不同的显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAb
B }
()1646=
A P A 7： 包含两个相同的显性基因 = {AAbb, aaB
B } ()1627=
A P
⋮
2.7 一对表型正常的夫妻共有四名子女，其中第一个是隐性遗传病患者。

问其余三名表型正常的子女是隐性基因携带者的概率是多少？
答：样本空间W = {AA, Aa, aA }
()32
=
隐性基因携带者P
2.8 自毁容貌综合征是一种X 连锁隐性遗传病，图2－4是一个自毁容貌综合征患者
的家系图。

该家系中III 2的两位舅父患有该病，
III 2想知道她的儿子患该病的概率是多少？（提示：用Bayes 定理计算II 5在已生四名正常男孩的条件下是携带者的条件概率）
答：若IV 1是患者，III 2必定是携带者，II 5
亦必定是携带者。

已知II 2和II 3为患者，说明I 2为杂合子，这时II 5可能是显性纯合子也可能是杂合子。

称II 5是杂合子这一事件为A 1，II 5是显性纯合子这一事件为A 2，则：
()()21
2121=
=
A P A P 设II 5生4名正常男孩的事件为事件
B ，则II 5为杂合子的条件下，生4名正常男孩 （III3
至III 6）的概率为：
()161214
1=
⎪⎭⎫
⎝⎛=A B P II 5为显性纯合子的条件下，生4名正常男孩的概率为：
()
12=A B P
将以上各概率代入Bayes 公式，可以得出在已生4名正常男孩条件下，II 5为杂合子的概率：
()()()
()()()()
()17
112116121161212211111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
由此得出III 2为杂合子的概率：
P （III 2为杂合子）34121171=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛= 以及III 2的儿子（IV 1）为受累者的概率：
P （IV 1为患者）%47.168121341≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=
2.9 Huntington 舞蹈病是一种由显性基因引起的遗传病，发病年龄较迟，图2－5为一Huntington 舞蹈病的家系图。

III 1的外祖父I 1患有该病，III 1现已25岁，其母II 2已43岁，均无发病迹象。

已知43岁以前发病的占64%，25岁以前发病的占8%，问III 1将发病的概率是多少？（提示：用Bayes 定理先求出II 2尚未发病但为杂合子的条件概率）
答：根据以上资料可以得出：
II 2为杂合子的概率
()21
1=
A P
II 2为正常纯合子的概率
()212=
A P
II 2为杂合子，但尚未发病的概率 ()
64.011-=A B P = 0.36
II 2为正常纯合子，但尚未发病的概率
()12=A B P
图 2－5
因此，II 2尚未发病但为杂合子的概率
()()()
()()()()
26
.00.15.036.05.036
.05.02211111=⨯+⨯⨯=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
III 1为杂合子的概率 ()13.0226
.03==
A P
III 1为正常纯合子的概率 ()87.013.014=-=A P
III 1
为杂合子，但尚未发病的概率 ()92.008.013=-=A B P
III 1为正常纯合子，但尚未发病的概率 ()
14=A B P 因此，III 1尚未发病，但为杂合子的概率
()()()
()()()()
12
.00.187.092.013.092
.013.04433333=⨯+⨯⨯=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
所以，III 1为该病患者的概率为12%。

2.10 一实验动物养殖中心，将每30只动物装在一个笼子中，已知其中有6只动物体重不合格。

购买者从每一笼子中随机抽出2只称重，若都合格则接受这批动物，否则拒绝。

问：
（1）检查第一只时就不合格的概率？ （2）第一只合格，第二只不合格的概率？ （3）接受这批动物的概率？
答：（1）设A 为第一只不合格的事件，则
()306
=
A P （2）设
B 为第二只不合格的事件，则
()
296
=
A B P （3）接受这批动物的概率
()()
⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=29233024A B P A P
2.11 一名精神科医生听取6名研究对象对近期所做梦的叙述，得知其中有3名为忧郁症患者，3名是健康者，现从6名研究对象中选出3名，问：
（1）一共有多少种配合？ （2）每一种配合的概率？ （3）选出3名忧郁症患者的概率？ （4）至少选出两名忧郁症患者的概率？
答：（1）
20!3!3!
63
6==
C
（2）201
（3）201415263=
⨯⨯
（4）
21
3
6
3331323=+C C C C C
2.12 图2－6为包含两个平行亚系统的一个组合系统。

每一个亚系统有两个连
续控制单元，只要有一个亚系统可正常工作，则整个系统即可正常运行。

每一单元失灵的概率为0.1，且各单元之间都是独立的。

问：
（1）全系统可正常运行的概率？
（2）只有一个亚系统失灵的概率？图2－6
（3）系统不能正常运转的概率？
答：（1）P（全系统可正常运行）= 0.94 + 0.93 × 0.1 × 4 + 0.92 × 0.12 × 2 = 0.963 9（2）P（只有一个亚系统失灵）= 0.92 × 0.12 ×2 + 0.93 × 0.1 × 4 = 0.307 8
（3）P（系统不能正常运转）= 0.14 + 0.13 × 0.9 × 4 + 0.12 × 0.92 × 4 = 0.036 1
或= 1 – 0.963 9 = 0.036 1
2.13 做医学研究需购买大鼠，根据研究的不同需要，可能购买A，B，C，D四个品系中的任何品系。

实验室需预算下一年度在购买大鼠上的开支，下表给出每一品系50只大鼠的售价及其被利用的概率：
品系每50只的售价/元被利用的概率
A 500.00 0.1
B 750.00 0.4
C 875.00 0.3
D 100.00 0.2
问：（1）设Y为每50只大鼠的售价，期望售价是多少？
（2）方差是多少？
答：（1）
()()
∑=
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
=
=
x
y
y
p
Y
E5.
632
10
2
100
10
3
875
10
4
750
10
1
500
（2）
()()
[]2
2
2Y
E
Y
E-
=
σ
25
.
631
81
5.
632
10
2
100
10
3
875
10
4
750
10
1
5002
2
2
2
2
=
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
=
2.14Y为垂钓者在一小时内钓上的鱼数，其概率分布如下表：
p(y) 0.001 0.010 0.060 0.185 0.324 0.302 0.118 问：（1）期望一小时内钓到的鱼数？
（2）它们的方差？
答：
()=
Y
E0 × 0.001 + 1 × 0.010 + 2 × 0.060 + 3 × 0.185 + 4 × 0.324 + 5 × 0.302 + 6 ×
0.118= 4.2
σ2 = 02 ×0.001 + 12 ×0.010 + 22 ×0.060 + 32 ×0.185 + 42 ×0.324 + 52 ×0.302 + 62 ×0.118 – 4.22
= 1.257
2.15一农场主租用一块河滩地，若无洪水，年终可望获利20 000元。

若出现洪灾，他将赔掉12 000元（租地费、种子、肥料、人工费等）。

根据常年经验，出现洪灾的概率为0.4。

问：（1）农场主期望赢利？
（2）保险公司应允若投保1 000元，将补偿因洪灾所造成的损失，农场主是否买这一保险？
（3）你认为保险公司收取的保险金是太多还是太少？
答：（1）未投保的期望赢利：E（X）= 20 000 × 0.6 + (12 000) × 0.4 = 7 200（元）
（2）投保后的期望赢利：E（X）= (20 000 – 1 000) × 0.6 + (−1 000) × 0.4 = 11 000（元）。

当然要买这一保险。

（3）保险公司期望获利：E（X）= 1000 × 0.6 + (−12000 + 1000) × 0.4 = −3800（元）收取保险金太少。