变量代换求解常微分方程

题目：变量代换求解常微分方程
院（系）：理学院
专业：信息与计算科学
学生：郝腾宇
摘要
本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。

变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。

常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。

其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。

本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。

关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解
目录
一、变量代换法求解一阶微分方程 (3)
二、变量代换法求解二阶微分方程 (6)
三、变量代换法求解三阶微分方程 (7)
四、变量代换法求解n阶微分方程 (7)
五、变量代换法求解Euler阶微分方程 (9)
六、变量代换法在研究解或轨线性态中的应用 (10)
七、函数变换法求解常微分方程 (11)
八、三角变换法求解常微分方程 (13)
九、拉普拉斯变换求解常微分方程 (14)
1变量代换法求解一阶微分方程
1）对于齐次微分方程y
x d y g d x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ，这里111222y x d a x b y c d a x b y c ++=
++ 是u 的连续 函数，做变量代换y u x =
，使方程化为变量分离方程()u x g u u d d x
-=，可求解。

2)对于准齐次微分方程111
222
y x
d a x b y c d a x b y c ++=
++，这里1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均
为常数。

①当
111
222=a b c k a b c ==（常数）时，方程直接化为y x
d k d =，有通解： ()y kx c c =+为常数
②当111222
a b c
k a b c ==≠时，做变量代换22u a x b y =+，将方程化为变量分离方程
1
222
u x d ku c a b d u c +=++ 由上式可求解。

③当1122a b a b ≠时，做变换X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩
，其中(),αβ为直线1110a x b y c ++=
和直线2220a x b y c ++=在xoy 平面的交点，将方程转化为齐次方程
11
22Y X d a X bY Y g d a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭
由上式可求解。

3）对于更一般的类型
111222y
x d a x b y c d a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭
⎰，这里1a ，1b ，1c ，2a ，2b ， 2c 均为常数
①当
111
222=a b c k a b c ==（常数）时，方程直接转化为()y x
d f k d =，有通解 ()y f k x c =+；
②当
111222
a b c
k a b c ==≠时，做变量代换22u a b y =+，将方程化为变量分离方 程
1
222
()du ku c a b f dx u c +=++ 由上式可求解。

③当
1122a b a b ≠时，作变换X x Y y α
β
=-⎧⎨=-⎩，其中（,αβ）为直线1110a x b y c ++= 和直线2220a x b y c ++=在xoy 平面的交点，将方程化为齐次方程
11
22()dY a X bY Y f f g dX a X b Y
X ⎛⎫+⎛⎫
== ⎪⎪ +⎭⎝⎭
⎝
由上式即可求解。

4）对于方程
()dy
f ax by c dx
=++，这里a ，b ，c 均为常数，作变量代换u ax by c =++，将方程化为变量分离方程
()du
a bf u dx
=+ 由上式可求解。

5）对于方程()()0yf mx y dx xg nx y dy αα+=，这里m ，n ，α均为常数，作变量变换u x y α=，将方程化为变量分离方程
()()
()
du ug nu uf mu dx xg nu α-=
由上式即可求解。

6）对于方程1
()a dy
x f x y dx
α+=，这里α为常数，作变量变换u x y α=，是方程化为变量分离方程
()u du f u dx x
∂+= 由上式即可求解。

7）对于方程(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=，其中M,N 为关于x ，y 的其次函数，做变量变换y
u x
=
，化为变量分离方程 2()(1)(,)
()(,)(,)du f u u M x y f u dx x M x y u N x y ⎛⎫+== ⎪+⎭⎝
由上式即可求解。

8）对于Bernoulli 方程
()()n dy
P x y Q x y dx
=+，这里P(x)，Q(x)为连续函 数，0,1n ≠为常数。

当0y ≠时用n y -乘以原方程两边得
1()()n
n dy
y y P x Q x dx
--=+ 作变量代换
1n z y -=
使方程化为线性微分方程
(1)()(1)()dz
n P x z n Q x dx
=-+-，可求解。

9）对于Riccati 方程
2()()()dy
P x y Q x y R x dx
=++，当R(x)恒为零时，Riccati 方程就是Bernoulli 方程，可采用8）中的变换求解；
当R(x)不为零时，若y （x ）为Riccati 方程的一特解，作变量代换()z y y x =-，使方程化为一个关于z 的Bernoulli 方程
2()(2()()())dz
P x z P x y x Q x z dx
=++ 由上式即可求解。

10）对于一阶非齐次线性微分方程()()dy
P x y Q x dx
=+，若Q(x)=0，则方程变为一阶齐次线性微分方程()dy
P x y dx
=，有通解()P x dx y ce ⎰=； 若()0Q x ≠对原方程作变量变换()()P x dx
y c x e ⎰
=，求得待定函数
()()()P x dx
c x Q x e dx c -⎰=+⎰，代会变换，即得方程的通解。

2 变量代换法求解二阶微分方程 1)对于二阶变系数齐次微分方程
22()()0d y dy
p x q x y dx dx
++= （1）
设10y y =≠是方程（1）的一特解，变量变换1y y tdx =⎰，将方程化为一阶线性微分方程'1
11[2()]0dt
y y p x y t dx
++=，可求解。

2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程
22
()()()d y dy
p x q x y f x dx dx
++= （2） 当方程（2）满足
'13/2
()2()()
[()]q x p x q x c q x +=（1c 为常数）时，作自变量代换
t =（2c 为常数） （3）
则方程（3）可化为
2'
22()(()()d y dy c q x p x q x y f x dt dt
+++= （4）
方程（4）两边乘除以2()c q x ，得
2'22
21()
()d y dy f x y dt dt c c q x +∙+= （5） 由于
'13/2
()2()()
[()]q x p x q x c q x +=
'c =
==常数，又21c 为常数，
由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程
222
1
()d y dy c y g t dt dt c ++= 。

3 变量代换发求解三阶微分方程 1）考虑三阶变系数齐次微分方程
32
6
54210320d y d y dy x a x a x a y dx dx dx +++= （6） 当16a = 和26a =时，可作变换1
x t
= ，则方程（6）可化为
322122032(62)(6)0d y dy d y a a x a x a y dx dt dt
++-+--= （7） 将16a =和26a =代入（7）得到常系数齐次微分方程
303
0d y
a y dx -= 2）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程
23
'
2
'''2'3
32333()d y G d y G G dy aG bG aG cG y f x dx G dx G G dx ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-++--+=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ （8） 其中()G G x = ，()f x 都是x 的已知连续函数，且()G x 二次可微，
()0,,,G x a b c ≠为常数。

作自变量变换()t G x dx =⎰，则方程可化为
32
3
33332()d y d y dy G aG bG cG y f x dx dx dx +++= （9） 方程（9）两边同时除以3()G x 得到三阶常系数线性微分方程
3232()d y d y dy
a b cy g t dx dx dx
+++= 4 变量代换发求解n 阶微分方程 1） 考虑n 阶非齐次线性微分方程
1111()()
()()n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x f t dt dt
dt
---++++= （10） 设方程（10）对应的n 阶齐次微分方程
1111()()
()0n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x dt dt
dt
---++++= （11） 通解为
1122()()()n n x c x t c x t c x t =++
+ （12）
作变量变换，令
1122()()()()()()n n x c t x t c t x t c t x t =++
+ （13）
为（10）的通解。

求出特定函数(),1,2,i i i c t v i n ϕ=+=⎰ ，代入（13），即得
（10）的通解。

2）考虑常系数非齐次线性微分方程
111
1[]()n n k n n m n n d x d x dx
L x a a a x p x e dt dt
dt
λ---=++
++= （14） 这里12,,
,n a a a 是常数，1011()m m m m m p x b t b t b t b --=++
++ 。

作变量变换，
令k x e λ=，则方程可化为
111
1()n n n n m n n d y d y
dy
A A A y p x dt dt
dt
---++++= （15）
其中12,...,n A A A 都是常数。

对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解
1011(...)k m m m m y t B t B t B t B --=++++
故(14)有特解x =1011(...)k m m x m m t B t B t B t B e λ--++++, 其中k 为特征方程F(λ)=0 的根λ的重数。

3)对于n 阶微分方程 F (t,x,'x …,()n x )=0 , 当方程不显含未知函数x , 或更一般地, 设方程不含x, 'x …,()n x , 即方程:
()(1)()(,,,...,)0k k n F t x x x += (1≤ k ≤n) (16)
作变量变换, 令y = ()k x , 可将方程降为关于y 的 n-k 阶方程
'(,,,...,)0n k F t y y y -=
4)对于 n 阶微分方程()(1)()(,,,...,)0k k n F t x x x += ,当方程不显含自变量t , 即方程
()(1)()(,,...,)0k k n F x x x += (17)
作变量变换, 令x ′=y , 采用数学归纳法不难证明, ()k x 可用y ,
dy
dx
,…, 11
k k d y
dx --表示出(k ≤n), 将这些表达式代入方程(17), 可使方程化为关于x , y 的n -1 阶方程
11,,,...,0k k dy d y G x y dx dx --⎡⎤
=⎢⎥⎣
⎦
5 变量代换法求解 Euler 方程
形如
1
1111...0n n n
n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++= (18) 的Euler 方程, 这里1a ,…n a 为常数。

对于Euler 方程, 我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。

角度一:引进自变量的变换 t x e =, 则ln t x =, 通过直接计算及数学归纳法不难证明:对于一切自然数k 均有关系式
1111(...)k k
k kt k k k k d y d y d y dy e dx dt dt dt
ββ----=+++ 其中121,...,k βββ-都是常数。

于是有
111
1...k k k k
k k k k d y d y d y dy
x dx dt dt dt
ββ---=+++ (19) 将(19)代入方程(18), 就得到n 阶常系数齐次线性微分方程
111
1...0n n k
n n n n d y d y dy x b b b y dt dt dt
---++++= (20) 其中12,...,n b b b 都是常数。

此方程可采用特征根法求得通解, 再代回原来的变量ln t x =就可得欧拉方程(18)的通解。

角度二:由于n 阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如t y e λ=的解, 结合角度一中的推演过程, 从而方程(18)有形如y x λ=的解, 因此可直接求欧拉方程形如y x λ=的解, 作变量变换k y x = , 代入方程(20), 并约去因子k x , 即可得到确定k 的代数方程, 也是方(20)的特征方程
1(1)...(1)(1)...(2)...0n k k k n a k k k n a --++--+++= (21)
因此, 方程(21)的m 重实根0k k =, 对应于方程(18)的m 个解
000021,ln ,ln ...,ln k k k k m x x x x x x x -
而方程(21)的m 重复根 k i αβ=+ ，对应于方程(18)的2m 个实值解:
1cos(ln ),ln cos(ln ),...,ln cos(ln )m x x x x x x x x αααβββ- 1sin(ln ),ln sin(ln ),...,ln sin(ln )m x x x x x x x x αααβββ-
6 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用 1)考虑非线性常微分方程组
(;),n dy
t y y R dx
φ=∈解的性态, 我们通常将其与具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。

为研究方程组的特解y =φ(t)邻近的解的性态, 作变量变换()x y t ϕ=- 使方程组化为
(;)dy
f t x dx
=， 从而使问题 转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。

2)考虑全相平面上的轨线性态时, 常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态, 如研究平面一阶非线性驻定方程组
22
22()()x t
y t
d x y x x y d d x y y x y d ⎧=+-+⎪⎪⎨
⎪=-+-+⎪⎩ 的全相平面的轨线状态，做极坐标变换
cos sin x r y r θ
θ
=⎧⎨
=⎩ 从而使方程组化为
(1)(1)1r
t
t
d r r r d d d θ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 经分析可知1r =是稳定的极限环。

7 函数变换法求解常微分方程 1）考虑函数变换法求解伯努利方程设
()()y n x
d P x y Q x y d =+ （23）
这里0,1n ≠是常数。

()P x ，()Q x 是x 的连续函数。

假设方程（23）有形如
()()()y x u x v x =的解，则有
''()()()()y x
d u x v x u x v x d =+ （24）
将上式代入方程（23），整理可得
''()((()())()()()()()n n u x v x P x v x Q x u x v x u x v x -=- （25）
若令
'()()()v x P x v x =，则'()()()()()0n n Q x u x v x u x v x -= （26）
用变量分离法可以求得
()()P x dx
v x ce ⎰
=
若选取1c =，则()()P x dx
v x e ⎰=。

将()()P x dx
v x e ⎰
=代入（26），求得
()1/1(1)()()1()n
n P x dx u x n Q x e c --⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦
⎰
于是，方程（23）的解为
()1/1()(1)()()()()1()n
P x dx n P x dx y x u x v x e n Q x e c --⎡⎤⎰⎰==-+⎢⎥⎣⎦
⎰
特别的，当0n =时，得一阶线性非齐次方程
()()y x
d P x y Q x d =+的解为
()()()()P x dx
P x dx y x e Q x e c -⎡⎤⎰
⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎰
这与常数变易法求得的通解相一致。

2）考虑函数变换法求解Riccati 方程的特解。

设
2()()()y x
d P x y Q x y R x d =++ （27）
其中()P x 、()Q x 、()R x 是其中某个区间内的一阶可微函数，且()0P x ≠。

设方程（27）有形如
()()()y x u x v x = （28）
的解，则方程（27）可化为
22()('()()())()()()()'()()u x v x P x v x R x p x u x v x u x v x -=+- （29）
令
'()()()v x P x v x =
求得
()()P x dx
v x ce ⎰
=及22()
'()()()()'()()()
R x u x p x u x v x u x v x v x =
+- 令
()()()p x v x g x =，
()
()()
R x h x v x = 则上式化为
2()()()y x
d g x u x h x d =+
此方程可通过公式法或者观察法求解()u x ，则Riccati 方程的特解可表示出来。

8 三角变换法求解常微分方程
在求积分时，当被积函数有形如22()a x ±+
可通过三角变换法求解。

在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以考虑三角变换法。

1）对于Chebyshev 方程：
2
22
2011y y x x d d x n y d x d x
-+=-- ()1,0x n <≠ （30） 做三角变换sin x t =，并求得
y
x
d d ，22y
t d d 代入原方程，整理得 2
220y
x d n y d +=， 由上式可解得
12cos sin y c nt c nt =+
所以Chebyshev 方程的解为
12cos(arcsin )sin(sin )y c n x c nar x =+
2)对于三阶变系数微分方程
32210
322222
()()011(1)
d y a x d y a x dy a y dx x dx x dx x +++=+++ （31） 当原方程满足
212122
()622
()6a x x c x c a x x c ⎧=+++⎨
=+⎩ （32） 可作三角变换
tan x t =
并求得
2323,,dy d y d y dt dt dt
代入原方程整理得
322
212032[()6tan ][()2()tan 6tan 2]0d y d y dy a x t a x a x t t a y dx dx dt
+-+-+-+= 由（32）可得
2121
22
()2()tan 6tan 2()6tan a x a x t t c a x t c ⎧-+-=⎨
-=⎩ 从而（31）可简化三阶常系数线性微分方程
32210320d y d y dy
c c a y dt dt dt
+++= 9 Laplace 变换法求解常微分方程
Laplace 变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程（组）转换成复变数S 的代数方程（组），通过一些代数运算，一般在利用拉普拉斯变换表，即可找出微分方程（组）的解。

给定微分方程
111()n n n n n d y d y
a a y f x dx dx
--+++= （33）
初始条件''(1)(1)000(0),(0),,(0)n n y y y y y y --=== ，其中12,,
n a a a 是常数，
而()f x 连续且满足原函数的条件。

如果()y t 是方程（33）的任意解，()y t 及其各阶导数 ()(1,2,,)k y t k n = 均
是原函数，记
()[()]e ()sx F s L f x f x dx +∞
-==⎰
（34）
利用原函数微分性质，对方程（33）两端施行Laplace 变换，从而有
()()()()A s Y s F s B s =+
其中()A s ()B s 和()F s 都是已知多项式，由此 ()()
()()
F s B s Y s A s +=
这就是方程（33）的满足所给初始条件的解()y x 的像函数，而()y x 可直接查Laplace 变换表计算求得。