山西省太原五中高二数学上学期期末考试试卷 文

太原五中2014-2015学年度第一学期期末
高 二 数 学（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。

1．已知R c b a ∈,,，命题“若3=++c b a ,则32
2
2
≥++c b a ”的否命题是( )
A ．若3≠++c b a ，则3222<++c b a
B ．若3=++c b a ，则32
22<++c b a C ．若3≠++c b a ，则32
2
2
≥++c b a D ．若32
2
2
≥++c b a ，则3=++c b a 2． 命题“存在实数x ，使1>x ”的否定是
( )
A ．对任意实数x ，都有1>x
B ．不存在实数x ，使1≤x
C ．对任意实数x ，都有1≤x
D ．存在实数x ，使1≤x
3．抛物线2
y x =的焦点坐标为（ ）
A ．1(,0)4-
B ．1(,0)4
C ．
1
(0,)
4- D ．1(0,)4 4． 已知椭圆C 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23
，且椭圆C 上一点到其两
个焦点的距离之和为12，则椭圆C 的方程为( )
A. 19422=+y x
B. 14922=+y x
C. 193622=+y x
D. 13692
2=+y x
5．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b x a y 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.
x y 22±
= B.x y 2±= C.x y 2±= D.x y 21±=
6． 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为21,F F ,若曲线C 上存在点P 满足
:1PF :
21F F
2
PF ＝2:3:4，则曲线C 的离心率等于( )
A.21或23
B.32或2
C. 21或2
D. 32或23
7． 直线b kx y +=与曲线
x ax y ln 22
++=相切于点)4,1(P ，则b 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．1-
D ．3-
8．如图，直线l 和圆C ，当l 从
l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动的角度
不超过︒90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的大致图象是（ ）
9．函数
x x y ln 212
-=
的单调递减区间为
( )
A ．]1,1(-
B ．]1,0(
C ．),1[+∞
D ．),0(+∞
10．已知对R k ∈，直线01=--kx y 与椭圆22
15x y m +=恒有公共点，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．
()0,1 B ．()0,5 C ．[)()1,55,+∞U
D ．
[)1,5
11． 若函数)(x f y =在R 上可导，且满足不等式
)()(/x f x xf ->恒成立，且常数b a ,满足b a >，则下列不等式一定成立的是
( )
A ．)()(a bf b af >)
B ．)()(b bf a af >
C ．)()(b bf a af <
D ．)()(a bf b af <
12. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点
P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A.12(,)33
B.1(,1)2
C. 2(,1)3
D.111
(,)(,1)
32
2U 第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．设p ：x
x －2
<0，q ：0<x<m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是__________．
14．已知)1(2)(/
2xf x x f +=，则=)0(/f .
15． 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)(/<
x f ，则21
2)(+<x x f 的
解集为__________．
16. 设F 为抛物线
2
:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =
三、解答题：（本题共17-20题每题10分，21小题，12分）
17. 已知命题:p “0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x ”，若
)()(q p ⌝∨⌝是假命题，求实数a 的取值范围。

18. 已知函数
2
()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+，是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取
值范围；若不存在，说明理由。

19．如图，设P 是圆
2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且
4
||||5MD PD =
．
（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（2）求过点)0,3(且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
20.2. 设函数ax x x f -=ln )(,
ax e x g x
-=)(,其中a 为实数,若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;
21．已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为6，右焦点为（22,0），斜率为1 的
直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为)2,3(-P
（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ∆的面积.
太原五中2014-2015学年度第一学期期末考试题 高 二 数 学（文）答案
二、填空题
13、 ),2(+∞ 14、 4- 15、
{}1>x x 16、 12
三、解答题
17、解;p 真：1≤a ；q 真：21-≤≥huoa a 实数a 的取值范围为12=-≤huoa a
18、解：函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数
()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

22()86ln ,
62862(1)(3)
'()28(0),
x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>Q
当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值
Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<-
所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的
取值范围为(7,156ln 3).-
19、解：（1）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)
p p x y ，
因为点Ｄ是Ｐ在x 轴上投影，
Ｍ为PD 上一点，且
4||||5MD PD =
，所以p x x =，且
5
4p y y =， ∵P 在圆22
25x y +=上，∴2
2
5()254x y +=，整理得2212516x y +=， 即C 的方程是22
12516x y +=．
（2）过点（3，0）且斜率为45的直线方程是4
(3)5y x =-，设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)
B x y ，
将直线方程4
(3)
5y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：22(3)12525x x -+=，化简得
2380x x --=
，∴
1x =
，2x =
，所以线段AB 的长度是：
||AB ==
41
5=，即所截线段的长度
是41
5．
20、解:由01)('
≤-=a x x f 即a x ≤1对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥x a
而由),1(+∞∈x 知x 1
<1 ∴1≥a
由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln = 当x <a ln 时)('x g <0,当x >a ln 时)('
x g >0,
∵)(x g 在),1(+∞上有最小值 ∴a ln >1 ∴a >e
综上所述:a 的取值范围为),(+∞e
21、解：
（Ⅰ）由已知得
3c c a ==
解得a =，又222 4.b a c =-=
所以椭圆G 的方程为22
1.124x y +=
（Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222
y x
m
x y 得.01236422=-++m mx x
设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E )
,(00y x ，
则
,432210m x x x -=+=
400m
m x y =+=；因为AB 是等腰△PAB 的底边，
所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率.143342-=+
--
=
m m
k 解得m=2。

此时方程①为
.
01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y
所以|AB|=23.此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离
,2232
|
223|=
+--=
d 所以△PAB 的面积S=.29||21=⋅d AB。