曲率公式和曲率半径

曲率公式和曲率半径
曲率和曲率半径公式是什么?
曲率半径是ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']|，K=1/ρ。

计算公式：K=lim|Δα/Δs|。

曲率K=|dα／ds|。

在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα／ds|。

曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。

曲率半径为曲率的倒数。

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。

平面曲线的曲率定义为曲线上一点的切向角对弧长的微分旋转率，表示曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于靠近该点曲线的圆弧半径。

曲率半径求法：
ρ＝｜｜，K=1/ρ。

或
曲率和曲率半径公式是什么？
曲率和曲率半径公式是R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

曲率的作用
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于最接该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。

所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。

也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。

曲率和曲率半径
1、弧微分公式
上式ds是一段曲线上的微元弧。

2、曲率
如图，从M点沿曲线C到M'点，点上的切线转动了Δα的角度，Δs是曲线的弧微元，|Δα/Δs|就是从M到M‘的曲线的平均曲率，对平均曲率取极限得到M处的曲率：
如果导数存在，也可以写成：
根据曲率的定义式，可以求出曲率的一般形式，设函数y=f(x)，从前面的曲率示意图可以看出，tanα=dy/dx，对式子两边再求一次导得到：
将上式和前面给出的ds一起代入曲率公式得到：
3、曲率圆和曲率半径
如图所示，在某点可以按照该点曲率作一个圆，即曲率圆，D是圆心，ρ是曲率半径，曲率半径的得出很简单，对于圆来说，弧长比上半径即是对应的角度，即ds/ρ=dα，所以ρ=ds/dα=1/K。