高中数学经典题型50道(另附详细答案)

4
且离心率 e 满足： 2/3 ，e，4/3 成等比数列。 （1） 求椭圆方程；
（2） 是否存在直线 l ，使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 恰被直线 x=- 1 平分。若存在，求 l 的倾斜角的范围； 若不存在，
3. A，B，C是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 Km ，C在 B正北偏西
30 ，相距 4 Km ，P 为敌炮阵地， 某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种 信号，由于 B，C两地比 A 距 P 地远，因此 4 s 后，B，C才同时发 现这一信号，此信号的传播速度为 1 Km/ s，A 若炮击 P 地，求炮
时，由椭圆的几何
3
意义可知，彗星 A 只能满足
AB Ox于 B，则 FB
1 FA
2 m
2
3
xFA (或 xFA/ 3
)。作
3
故由椭圆第二定义可知得
c a2 m ( c)
ac
4
c a2
2
m ( c m)
3 ac
3
两式相减得 1 m c 2 m, a 2c.代入第一式得 m 1 (4c c) 3 c,
3 a3
k OA kOB
y1 y2 x1 x 2
y1 y2 x1 x2
1 y1 y2
1, OA OB
（2） 解 ： 设 直 线 与 x 轴 交 于 N ， 又 显 然 k 0, 令
y 0, 则 x 1，即 N （－1，0）
S OAB
S OAN S OBN
1
1
ON 2
y1
ON 2
y2
1 2 ON y1 y2
S OAB
的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点。
设曲线段 C 的方程为 y2 2 px( p 0)( xA x xB , y 0) ，其中 x A, xB 为
A、B的横坐标， p 得 ( xA p )2 2 pxA
2
MN ，所以 M ( 17 （1）
p ,0), N (
p ,0) ，由
AM
2
2
17, AN 3 ，
3
3
S AQB
64 6 。
9
4 3时
3
[ 思维点拔 ] 设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本
方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。
8、已知直线 l : y tan(x 2 2) 交椭圆 x 2 9 y 2 9 于 A、B 两点，若 为 l 的倾斜角，且 AB 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
x2 3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过 则 A(2,y A) ，由 22=-3.2 y A 得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米 所以 h=︱yA︱+0.75=2 米 答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行 [ 思维点拔 ] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程 解决实际问题的技巧。 ．
（1） 证明：图见教材 P127 页，由方程组 y2 x 消去 x 后，整理
y k (x 1)
得 ky 2 y k 0 。设 A(x1, y1), B( x2 , y2 ) ，由韦达定理得 y1 y2 1
A, B 在抛物线 y 2
x 上， y12
x1 , y22
x2 , y12 y22 x1 x 2
y1 y2
12
2
y1 y2
2p
2 p p ， 故 AB 的 垂直 平 分 线 为
y1 y2 t
yt
t x
x0 ，即 t x
x0
p
yp 0 ，可知其过定点 Q x0
p,0
p
（ 2 ） 由 MF
4, OQ 6 ， 得 x0
p 2
4, x0
p
6 ， 联立解得
p 4, x0 2 y 2 8x 。
（3）直线 AB： y
解：将 l 的方程与椭圆方程联立，消去 y ，得
(1 9tan 2 ) x2 36 2 tan 2 x 72 tan 2 9 0
AB
1 tan2 x2 x1
1 tan2
6 tan2 6 (1 9 tan2 ) 1 9 tan2
由 AB 2, 得 tan 2
1 ,
3 tan
3
3
的取值范围是 0,
5 ,
1 1 ( y1 y 2 ) 2 4 y1y 2 2
1 ( 1)2 4 2k
S OAB
10 ,
10
11 2 k2
线垂直的充要条件，三角形的面积公式，
函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
10、在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值
又圆方程
[ x (a 4)] 2 y2 16
将 y 2 4ax 代入得 x 2 2(4 a) x a2 8a 0
xM xN 2 4 a 得︱ AM︱ +︱ AN︱=8
(2) 假设存在 a
因为︱ AM︱+︱AN︱=︱MM′︱ +︱NN′︱ =2︱PP′︱
所以︱ AP︱=︱PP′︱ ，P 点在抛物线上，这与 P点是 MN的中点矛
1
y3
( x 4)
3
（ 1）
又 PB PA 4, 故 P 在以 A， B 为焦点的双曲线右支上。设 P( x, y) ，则
双 曲 线 方程 为 x 2 y 2 1( x 0)
45
（ 2 ）。 联立（ 1 ）（ 2）， 得
x 8, y 5 3 ，
所以 P(8,5 3). 因此 k PA 5 3
83
3 ，故炮击的方位角北偏东 30 。
击的方位角。（图见优化设计教师用书 P249例 2） 解：如图，以直线 BA为 x 轴，线段 BA的中垂线为 y 轴建立坐标系， 则 B( 3,0), A(3,0),C( 5,2 3) ，因为 PB PC ，所以点 P 在线段 BC的垂直
平分线上。
因 为 k BC
3 ， BC 中 点 D ( 4, 3) ， 所 以 直 线 PD 的 方 程 为
范围。
〖解〗设 B、C关于直线 y=kx+3 对称，直线 BC方程为 x=-ky+m 代入
y2=4x 得：
2
y +4ky-4m=0，
设 B（ x1，y1）、C（x2，y2），BC中点 M（x0，y0），
则 y0=（ y1+y2）/2=-2k 。 x0=2k2+m，
∵点 M（x0，y0）在直线上。∴ -2k （ 2k2+m）+3，∴ m=-2k 3 2k 3 又
5. 如图所示，直线 l 1 和 l 2 相交于点 M， l1 l 2 ，点 N l1 ，以 A、B 为端 点的曲线段 C上任一点到 l 2 的距离与到点 N的距离相等。若 AMN 为锐角三角形， AM 17, AN 3, 且 NB ＝6 ，建立适当的坐标系， 求曲线段 C的方程。
解：以直线 l1 为 x 轴，线段 MN的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标 系，由条件可知，曲线段 C是以点 N为焦点，以 l2 为准线的抛物线
6
6
3，
3
[ 思维点拔 ] 对于弦长公式一定要能熟练掌握、 灵活运用民。 本题由于
l 的方程由 tan 给出，所以可以认定
要讨论
时的情况。
2
，否则涉及弦长计算时， 还
2
9、已知抛物线 y2 x 与直线 y k( x 1) 相交于 A、B 两点
（1） 求证： OA OB
（2） 当 OAB 的面积等于 10 时，求 k 的值。
2
2
2
2
c m. a c c m.
3
3
答：彗星与地球的最近距离为 2 m万千米。
3
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而
恒星正是它的一个焦点， 该椭圆的两个焦点， 一个是近地点， 另一个 则是远地点，这两点到恒星的距离一个是 a c ，另一个是 a c. （ 2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数 学概念为根基充分体现了数形结合的思想。 另外，数学应用问题的解 决在数学化的过程中也要时刻不忘审题， 善于挖掘隐含条件， 有意识 地训练数学思维的品质。
解：（ 1）设 A x1, y1 , B x2 , y2 , M x0 , y0 ，则 AF
x1
p ， BF
2
x2
p，
2
MF x0 p ，由题意得 x0 x1 x2 ， AB 的中点坐标可设为 x0, t ，其
2
2
中
t y1 y2 0 （否则 AF MF BF
2
p 0 ），
而 k AB
y1 y 2 x1 x 2
的焦点处， 当此慧星离地球相距 m 万千米和 4 m万千米时，经过地
3
球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为
和 ，求该慧星与地
23
球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系， 设地球位于焦点 F ( c,0) 处，椭圆的
方程为
x2 a2
y2 b2
1（图见教材 P132页例 1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为
2
y 2 8x(1 x 4, y 0)
[ 思维点拔 ] 本题体现了坐标法的基本思路， 考查了定义法， 待定系数
法求曲线方程的步骤， 综合考查了学生分析问题、 解决问题的能
力。
6. 设抛物线 y 2 4ax (a 0) 的焦点为 A, 以 B(a+4,0) 点为圆心，︱ AB ︱为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两 点 M，N。点 P 是 MN的中点。
高中数学经典题型 50 道( 另附详 细答案 )
高中数学习题库（ 50 道题另附答案） 1. 求下列函数的值域：
解法 2
令
t
＝sin
x，则
f
(
t
)
＝－ t
2
＋
t
＋1，∵
|sin
x| ≤1,
∴ | t|
≤1. 问题转化为求关于 t 的二次函数 f ( t ) 在闭区间 [ －1,1] 上的最
值．
本例题 (2) 解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次
说明：本题的关键是确定 P 点的位置， 另外还要求学生掌握方位角的 基本概念。
4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米， 一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问 水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？
解：建立平面直角坐标系 , 设拱桥型抛物线方程为 x2 2 py ( p 0) 。 将 B（4,-5 ）代入得 P=1.6
t
4 x
2 ，代入
y 2 8x 得 y 2 2ty 2t 2 16 0 ，
t
y1 y2 2
y1 y 2 2 4 y1 y2
64
4t 2 ， x1
2
x2
t 2 y1 16
2
y2
t2
2
16 t , AB
4
2
x1 x2
2
y1 y2
1
2
2
16 t 16 t
2
1 256
t4
， 又 点 Q 6,0
到
AB 的 距 离 d
( x A p ) 2 2 px A 9 2
（2），（1）（2）联立解得 x A 4 ，代入（ 1）
p
式，并由 p 0
解得
p
4p 或
2 ，因为
AMN 为锐角三角形，所以
p
xA 1 xA 2
2
xA ，故舍去
p 2 ，所以 p 4
xA 2
xA 1
由点 B 在曲线段 C上，得 xB BN P 4 ，综上，曲线段 C的方程为
（1）求︱ AM︱+︱AN︱的值 （2）是否存在实数 a，恰使︱ AM︱︱ AP︱︱ AN︱成等差数列？若存 在，求出 a，不存在，说明理由。 解： (1) 设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M′,N′,P ′ .
︱ AM︱ +︱ AN︱ =︱ MM′︱ +︱ NN′︱ =xM+xN+2a
函数在闭区间上的最值问题， 从而达到解决问题的目的， 这就是转换 的思想．善于从不同角度去观察问题， 沟通数学各学科之间的内在联 系，是实现转换的关键， 转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉， 由 复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是 实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道
2
16 t 2 ，
S AQB
1 AB d
2
1 4
256 t 4 16 t 2
1 4096 256t 2 16t 4 t 6 4
令 u 4096 256t 2 16t 4 t 6 ， 则 u 512t 64t 3 6t 5 ， 令 u 0 即
512t 64t 3 6t 5 0 ，得 t 0 或 t 2 16 或 t 2 16 ， t 2 16 t
k
BC 与抛物线交于不同两点，∴⊿ =16k2+16m>0 把 m 代入化简得
k3 2k 3 0 即 (k 1)( k 2 k 3) 0 ，
k
k
解得 -1<k<0
[ 思维点拔 ] 对称问题要充分利用对称的性质特点。
11、已知椭圆的一个焦点 F1（0，-2 2 ），对应的准线方程为 y=- 9 2 ，
盾。故 a 不存在。
7. 抛物线 y2 2 px p 0 上有两动点 A， B 及一个定点 M，F 为焦点， 若 AF , MF , BF 成等差数列
（1） 求证线段 AB的垂直平分线过定点 Q （2） 若 MF 4, OQ 6 （O为坐标原点），求抛物线的方程。
（3） 对于（ 2）中的抛物线，求△ AQB面积的最大值。