北京密云县第五中学高三数学理测试题含解析

北京密云县第五中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（）
A. 4天
B. 5天
C. 6天
D. 7天
参考答案：
B
【分析】
由蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞生长构
成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，根据，列出方程，
即可求解.
【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为
，公比为的等比数列，其前项和为，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，
又因为，即，解得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
2. 若非零向量满足，则（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．参考答案：
答案：A
解析：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使
其满足OB=AB=BC；令a, b,则a-b, ∴a-2b且
；又BA+BC>AC ∴
∴
【高考考点】向量运算的几何意义及向量的数量积等知识。

【易错点】：考虑一般情况而忽视了特殊情况
【备考提示】：利用向量的几何意义解题是向量中的一个亮点，它常常能起到化繁为简、化抽象为直观的效果。

3. 执行下面的程序框图，则输出K的值为（）
A.99
B.98
C.100
D.101
参考答案：
A
根据程序框图运算过程可得
…
此时，成立
所以
所以选A
4. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于
两点，且点的横坐标为2，则的周长为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
考点：双曲线的定义．
【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上点到焦点距离时，要考虑圆锥曲线的定义．本题涉及双曲线的上点到焦点的距离，定义的应用有两个方面，一个是应用第一定义把曲线上点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，一个是应用第二定义把点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，特别可得结
论：双曲线上的点到左焦点距离为，到右焦点距离为
．
5. 已知是各项均为正数的等比数列，为其前项和，若，，则（）A． 65 B．64 C. 63 D．62
参考答案：
C
6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为()
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
7. 设a，b，c都是正数，M＝＋＋，N＝a＋b＋c，则M，N的大小关系是 ( )．
A．M N B．M＜N C．M＝
N D．M N
参考答案：
A
略
8. 集合，集合，则集合
（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
9. 在同一平面内，下列说法：
①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；
②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；
③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；
④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．
其中错误的说法个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
【考点】轨迹方程．
【分析】利用椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论．
【解答】解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和等于两点间的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；
②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两定点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；
③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当定点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；
④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆，也可以是直线，故不正确．
故选D．
10. 如果复数是实数，则实数（）
A. B. C.
D. 1
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．
参考答案：
12
略
12. 若对任意的则的解析式为
.参考答案：
13. 曲线在点处的切线方程是，则____.
参考答案：
14. 观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m ＜n，m ，n∈N *，则m ﹣n= ．
参考答案：
﹣6
【考点】类比推理．
【分析】裂项相消，求出m，n，即可得出结论．
【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++
∴+=
∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N*，
∴m=6，n=12．
∴m﹣n=﹣6．
故答案为：﹣6．
15. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是_______．
参考答案：
－1
试题分析：如图所示,当在时取最小值,此时.
考点：简单的线性规划.
16. 三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为 .
参考答案：
略
17. 已知x ，y 满足则的取值范围是________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值.
（1）求实数a的值；
（2）若函数有两个零点，求实数m 的取值范围.
（参考数据：）
参考答案：
（1）1（2）
【分析】
（1），，解得或，当时，
只有极小值，不符合题意．当时，，符合题意，
由此能求出实数的值．
（2），当时，在
上单调递增，当时，令，则，利用导
数性质能求出实数的取值范围．
【详解】解：（1）函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值，
,
依题意知，解得或，
当时，，
时，，单调递减；时，，单调递增，
此时，只有极小值，不符合题意．
当时，,
或时，，单调递增；时，，单调递减，
符合在处取得极小值的题意，
综上，实数的值为．
（2），，
当时，，故在上单调递增，
当时，令，
则，
单调递增，
单调递减，
,
时，，故在上单调递减，
在上有两个零点，，
此时当时，，在有一个零点，
当时，，
令，，
在有一个零点，
综上，实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．属于难题.
19. 已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．
参考答案：
（1）．（2）的取值范围为．（3）当时，有最大值0
(1)根据建立关于a的方程求出a的值.
(2)本小题实质是在区间上恒成立，进一步转化为在区间上恒成立,
然后再讨论a=0和两种情况研究.
(2) 时，方程可化为，,问题转化为在上有解，
即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.
解：（1）．………1分因为为的极值点，所以．………………………2分
即，解得．…………………………………3分
又当时，，从而的极值点成立．…………4分（2）因为在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．…5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故
符合题意．…………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能
，
所以上恒成立．……………7分令，其对称轴为，……………8分
因为所以，从而上恒成立，只要即可，因为，
解得． u……………………………………9分
因为，所以．
综上所述，的取值范围为．…………………………………10分
（3）若时，方程可化为，．问题转化为在上有解，
即求函数的值域．……………………11分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则，…………………………………12分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数，………………………13分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0．…………………………………………14分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0.……………………………14分
20. （本题满分14分）设函数，其中.
（1）若，求在的最小值；
（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
参考答案：
则，解之得
．…………9分（3）对于函数，令函数，则，，
所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立.取，则有恒成立.
显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.…………14分
21. 设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；
（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求出函数f（x）的导数，利用导数的正负性判断单调性，从而求函数的极值；
（2）求出g（x）的导数，化简构造函数h（x），求出h（x）的导数，讨论函数h′（x）正负性，判断h（x）的单调性，根据h（x）的正负性，判断g（x）的单调性，从而求出参数a的取值范围．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x+1﹣==，
∴当0＜x＜，时f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
（2）g（x）==，定义域为（0，+∞），
g′（x）=，
令h（x）=，则h′（x）=﹣2x++2﹣a，
h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减，
从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增，
∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，
∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意；
②当2﹣a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，
且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，
∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x0，
∴h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1]上单调递减，
∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，
且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，
y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，
即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，
又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增，
矛盾，a＞2不合题意；
综上所得：a的取值范围为（﹣∞，2]．
点评：本题考查的是利用导数求函数的单调区间，同时考查了利用导数解决参数问题，利运用了二次求导，是一道导数的综合性问题．属于难题．
22. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。

分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
参考答案：
解：（1）；…………6分
（2）连结、、，则，
所以或其补角为异面直线与所成的角. ……9分
在中，，
，………………………………………………12分
因为，
所以.
所以，异面直线与所成的角的大小为.……14分。