城市某商品的销售量与适用人数及人均收入的回归分析

城市某商品的销售量与适用人数及人均收入的回归分析
一，问题的提出与分析
自从我国实行改革开放以来，国家经济以及居民的生活水平得到了极大的提高，居民购买的商品种类及质量得到了很大的改善，但是近年来的物价上涨仍然给全国居民带来了很大压力，引起了社会的广泛关注和重视。

对于影响商品销售量的诸多因素如国家经济发展水平、工业发展水平、交通运输状况、适用人群、经济增长状况、就业状况、人均收入水平等进行选择，主要研究商品销售量与适用人数及人均收入水平的关系。

对于一个城市的商品销售量与适用人数及人均收入水平是否有线性关系，需进行线性回归分析。

二，数据描述
某公司在各地销售一种商品，观测15个城市在某月内对该化妆品的销售量Y （箱）及适合使用该化妆品的人数1x （千人）和人均收入2x （元），样本为15。

表2.1给出了15个城市的商品销售量与居民人均收入和适用人数。

表一15个城市的商品销售量与居民人均收入和适用人数
三，模型建立
3.1 提出假设
在一个城市的商品销售量与适用人数及人均收入水平的关系中，可假设城市使用人数和人均收入为自变量，用X1和X2表示；当地商品销售量为因变量，用Y 表示；并且假设Y 与X1,X2不存在线性关系。

3.2 模型建立
根据上述城市的商品销售量与适用人数及人均收入水平的关系的上述数据，运用多元线性回归模型：
i i i i x x y μβββ+++=22110
其中β0 β1 β2称为回归系数，β0 β1 β2
μ均未知。

3.3 模型求解
运用EXCEL 表格中的回归分析工具对商品销售量与适用人数及人均收入水平
的关系建立线性回归模型，0β∧=3.452613,1β∧=0.496005,2β∧
=0.009199其结果为：
02112**y X X βββ∧
∧
∧
=++=3.452613+0.496005*1X +0.009199*2X
根据统计数据，将分布情况绘于图中，菱形为统计数据，正方形为预测值。

图3.1 销售量与适用人数的拟合曲线
图3.2 销售量与人均收入的拟合曲线
四，计算机方法设计和计算机实现 4.1线性回归分析方法设计
回归参数0β 1β 2β的求解运用最小二乘法，设()12,....,,i i ik i x x x y 为
()12,....,,i i ik i X X X Y (1,2,,15)i =L 为取得的实验数据，如表2.1所示。

那么得到回
归参数的最小二乘估计[3]为：
()1
T T X X X Y β∧
-=
当X=x 时，02112**y X X βββ∧∧∧
=++。

4.2 线性回归分析的计算机实现
运用EXCEL2003表格中的回归分析工具对城市的商品销售量与适用人数及人均收入水平的关系建立线性回归模型。

最小二乘估计的计算机实现步骤：
1、在EXCEL 表格中选择“数据”选项卡上的“分析”组中的“数据分析”命令
图4.1 EXCEL 表格数据对话框
2、点击“数据分析”会出现数据分析对话框，在菜单中选择“回归”，点击确定。

图4.2 数据分析对话框
3、在回归分析对话框里选择Y 值的输入区域，在这里选择商品销售量，选择X 值的输入区域，在本文中选择各城市居民人均收入和适合人数。

置信度选择0.95，勾选“线性拟合图”。

最后点击“确定”，得到最小二乘估计的结果，线性拟合图，采样样本相关系数等内容。

图4.3 回归分析对话框4、得到结果
图4.4 结果显示
参考文献
[1]《数理统计》. 杨虎,刘琼荪.北京：高等教育出版社 2005
[2]《概率论与数理统计教程》华东师范大学数学系编.北京:高等教育出社,1983
[3]《概率论》复旦大学数学系．北京：人民教育出版社，1979
[4]《概率论与数理统计》刘景泰等．上海：上海科学技术文献出版社，1991
[5]《应用概率统计方法》朱燕堂，赵选民，徐伟.西安：西北工业大学出版社，1997。