信号与系统-第二章
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信号与系统第二章习题
当激励为et sin tut ut 1时的零状态响应为
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统第2章ppt课件
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统王明泉版本~第二章习题解答
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。
； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。
齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统——泛函分析初步
例如，在电信领域，通常考虑能量有限信号，能量有限信号的全体 构成一个内积空间，其内积为，而且这个内积空间是一个Hilbert空间。
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
信号与系统第2章信号描述及其分析1
图2.2.3 谐波逐次叠加后的图形 (a)1次 (b)1,3次 (c)1,3,5次
机电工程学院
黄石理工学院机电工程学院
Sun Chuan 68215
第2章 信号描述及其分析
(2) 从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的频谱 衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分组成，而 方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时域波形上，表 现为含高频成分多的时域波形(方波)的变化比含高频成分少的时 域波形(三角波)的变化要剧烈得多。因此，可根据时域波形变化 剧烈程度，大概判断它的频谱成分。
本节小结 本节主要介绍了信号的分类。由于不同类型的信号其处 理方法不同，所以必须善于区分不同类型的信号。
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第2章 信号描述及其分析
§2 周期信号与离散频谱
信号的时域描述与时域分析 本课程所研究的信号 一般是随时间变化的物理量，抽象为以时间为自变量表达 的函数，称为信号的时域描述。求取信号幅值的特征参数 以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的 时域分析。时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反 映信号的幅值随时间变化的特征，而不能明显表示出信号 的频率构成。因此必须研究信号中蕴涵的频率结构和各频 率成分的幅值、相位关系。
本章重点及难点 本章重点为信号的分析，其中信号频
谱的求取为主要内容。难点为傅里叶变换。
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第2章 信号描述及其分析
首先应清楚如下三个方面：
信号与信息 信号与信息并非同一概念。 信号分析和信号处理 信号分析和信号处理并没有明确的界 限，通常把研究信号的构成和特征称为信号分析，把信号经过 必要的变换以获得所需信息的过程称为信号处理。 对信号进行分析与处理的原因 在一般情况下，仅通过对信 号波形的直接观察，很难获取所需要的信息，需要对信号进行 必要的分析和处理。
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)
n
rzi (t) Azikekt k 1
（b）
r(k zi
)
(0
)
r(k) (0 )
k 0,1,L ,(n 1)
系数Azik可直接由 r(k) (0 ) 来确定。
例：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态方程
d2 dt 2
r(t)
5
d dt
r(t)
6r(t)
e(t)
起始状态 r(0 ) 1,r(0 ) ，2激励信号
(t)
2
p3
5
2p p2
5
p
3
e(t)
2
d3 dt3
vo
(t)
5
d2 dt 2
vo
(t)
5
d dt
vo
(t)
3vo
(t)
2
d dt
e(t)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；
（2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
§2.3 微分方程的经典解法 r(t) rh (t) rp (t)
r(0 ) r(0 ) 1
（4）由 0状态确定待定系数
r(t) A1et A2e2t 0.5e3t
rr((00))
A1 A1
A2 0.5 1 2A2 1.5
3
A1 A2
5.5 5
全响应 r(t) 5.5et 5e2t 0.5e3t ,t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
r(t) 0 u(t) r(0 ) r(0 )
代入
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
信号与系统 第2章(3-5)
X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1
信号与系统-线性系统分析__第二章
一.微分方程的经典解法
• n阶常系数线性微分方程
n
m
aiy(i) (t) bjf (j) (t)
i0
j0
(an 1)
y(n) (t) an-1y(n-1)(t) a0y(t)
bmf (m) (t) bm-1f (m-1)(t) b0f(t)
微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成
上例中，可令f(t)=10ejt，得解为 yp(t)=(1−j)ejt=cost+sint+j(sint−cost)
▪ 求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数。 ▪ 解的形式根据表2−1和表2−2确定，待定系数由初始
条件求出。
11
• 用算子方法求微分方程
微分算子：p d dt
积分算子：1 t ( )d
Pet (i) 或 et[Prtr+Pr−1tr−1+…+P0]
Pcos(t)+Qsin(t) 或 Aetcos(t+)
5
f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。 考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。
全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、
y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。
j1
j1
自由响应：由系统 本身的特性确定的 响应形式
强迫响应：由激 励信号确定的响 应形式
当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系 统的全响应可分解为瞬态响应和稳态响应。
18
例：微分方程为 y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f '(t)+6f(t)；
初始状态y(0−)=2，y'(0−)=1；输入函数f(t)=(t)。 求零输入响应和零状态响应。
《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析
由起始状态Y(0-)≠0 所产生的响应。
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1
信号与系统第二章
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
信号与系统(教案) 第二章
二、图解机理
用图形方式理解卷积运算过程，包括以下6个步骤： Step1：换元。画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)。 Step2：翻转。将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻 180°，得 到f2(-τ)波形。 4
信号与系统
2.2
卷积积分
Step3:平移。给定t值,将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
1.奇异信号
单位冲激信号 (t), 单位阶跃信号 (t).
2.正弦信号
也称为虚指数信号。 f (t ) A cos( t ) A [e j (t ) e j (t ) ] 2
式 中A、和分 别 为 正 弦 信 号 的 振 幅 角 频 率 和 初 相 。 、 f ( t )是 周 期 信 号 ， 其 周 期 2 T＝
1 0
f 1(t)
2
t
14
信号与系统 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
2.2 卷积积分 2.2 卷积积分
信号与系统-第二章线性时不变系统
n
1
k
f1 (k )
f2 (0
k)
3,
k
f1 (k )
f2 (1 k)
3,
n0 n 1
k
f1 (k )
f2(2 k)
1,
0,
n2 n14 3
三. 卷积和的计算：(3)列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n与) 的h(所n)有各点都要遍乘一次；
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
x (t) x(t)
20
x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t，) 即：
(t)
1
/ 0
0t otherwise
则有：
(t
)
1 0
0t otherwise
21
第 个k 矩形可表示为： x(k) (t k)
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x，(t)
即： x (t) x(k) (t k) k 当 时0 ， k d
un 4 ak
an3
1un 4
k 0
a 1
9
例4： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
u(n) n k 1 n1 u(n)
例2 :
1 x(t) 0
h( )
2T
0t T otherwise
信号与系统-第2章例题
线性时不变系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r(t) 10r(t) 5 e(t) dt
解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
t 0
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为
d2 dt
y
2
2
dy dt
5
y(t
)
4
df dt
3 f (t)
系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
• [解] 1 2 j，s2 1 2 j
yx (t) e（t K1 cos 2t K2 sin 2t)
dy(t) 3y(t) 2 f (t) dt
试求系统的冲激响应h(t)。
(t 0)
解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动 态方程式为
dh(t) 3h(t) 2 (t) (t 0)
dt
由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左 右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
d2 dt
y
2
5
dy dt
6
y(t
)
4
f
(t)
t 0
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
[解] 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r(t) 10r(t) 5 e(t) dt
解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
t 0
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为
d2 dt
y
2
2
dy dt
5
y(t
)
4
df dt
3 f (t)
系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
• [解] 1 2 j，s2 1 2 j
yx (t) e（t K1 cos 2t K2 sin 2t)
dy(t) 3y(t) 2 f (t) dt
试求系统的冲激响应h(t)。
(t 0)
解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动 态方程式为
dh(t) 3h(t) 2 (t) (t 0)
dt
由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左 右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
d2 dt
y
2
5
dy dt
6
y(t
)
4
f
(t)
t 0
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
[解] 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
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k
x [k ] x [n k ]
1 2
1.
0, n N1 x1[n] ; 0, 其它
0, n N 2 x2 [n] 0, 其它
x3[n] 0, n ? x3[n] 0, n ?
0,0 n N1 0,0 n N 2 2. x1[n] ; x2 [n] 0, 其它 0, 其它
x[n] k
x[k ] [n k ]
线性系统
k
设输入 : [n k ] 输出: hk [n]
任意输入x[n]
y[n]
k
x[k ]h [n]
x[n]
y[n] x[1]h1[n] x[0]h0[n] x[1]h1[n]
h - 1[ n ]
Wang Zhengyong College of Electronics and Information, Sichuan University
一. 用冲激信号表示连续时间信号
单位阶跃与单位冲激之间：
u(t ) ( )d (t )d
0
t
连续信号：
x(t ) x( ) (t )d
y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t ) x(t )
h( n) x(t ) y(t ) h(t ) x ( n) y ( n)
结论：
x ( n) h(t ) y(t ) x(t ) h( n) y ( n)
一. 卷积积分与卷积和的性质
1. 交换律(The commutative property )：
y ( n) x ( n) h( n)
k
x ( k ) h( n k )
k
x ( n k ) h( k ) h( n) x ( n)
2.1 离散时间LTI系统：卷积和 Discrete-Time LTI Systems: The Convolution Sum
一. The representation of discrete-time signals in terms of impulse(用单位脉冲表示离散时间 信号) x(n) x(k ) (n k )
一个单位冲激响应是 h(t ) 的LTI系统对输入 信号 x(t ) 所产生的响应，与一个单位冲激响应 是 x(t )的LTI系统对输入信号 h(t ) 所产生的响应
相同。
2.分配律(The distributive property)：
x(n) [h1 (n) h2 (n)] x(n) h1 (n) x(n) h2 (n) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
注意：离散信号卷积的长度等于两个信号长度之和减1。 3.判断
若DLTIS有： y[n] x[n] h[n] 则
y[n] x[n] h[n] （正确 ） y[n M ] x[n M ] h[n M ] （错误 ）
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分 Continuous-Time LTI Systems: The convolution integral
y(t ) 0 当 t 0 时，
t 2T
t
0
1
x( )
T
0
当 0 t T 时，
y (t ) x( )h(t )d
t
h(t )
2T
t2 (t )d 0 2
t 2T
0
当 T t 2T 时，
y (t )
三. 卷积和计算
y[n] x[n] h[n]
过程:
● ●
k
x[k ]h [n k ]
n k : x[k ], h[k ]
k k : h[k ] 时移: h[n k ]
k
●
● 计算方法：
x[k ] h[n k ]
图解法、列表法、解析法（包括数值解法） 和变换域法等。
nk
n-6
01 2 34 n
k
a 1 a 1
n 1
4< n 6:
k
x[k] 1 01234 h[n-k ] k
y[n] a
k 0 4 nk
x[k ]h [n k ]
a
n4
a 1 a
n 1
6< n 10:
y[n]
k
k
表明：任何信号x(n) 都可以被分解成移位加权的 单位脉冲信号的线性组合。
二.离散线性时不变系统的单位脉冲响应和卷积和 ( Impulse response and convolution sum of DLTIS )
1.离散线性时不变系统响应——卷积和
input : x[n] output : y[n] ?
h0[n]
h1[n]
x[-1]h-1[n] 0
y[n]
x[0]h0[n]
x[1]h1[n]
线性系统:
任意输入x[n]
y[n]
离散线性时不变系统,有:
k
x[k ]h [n]
k
hk [n] h0 [n k ] 设 : h0 [n] h[n]
y[n]
k
x[k ]h [n k ] x[n] h[n]
x(t ) x( ) (t )d
二. 卷积积分（The convolution integral）
连续LTI系统响应:
x(t )
y(t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )
表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t ) 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积
y1 (t ) e u (t )* u (t ) e u ( )u (t )d
3t 3 3t
1 e d ( ) u ( t) 0 3 3
t 3
e
例2 :
1 x(t ) 0
0t T otherwise
t h(t ) 0
T 0
h(t ) h(t )
t
t2 (t )d Tt 2
t 2T 0 t 2T
当 2T t 3T 时，
t 3T y (t ) (t )d Tt t 2T 2 2
T 2 2
x( )
T
t
1
t
0
当 t 3T 时，y(t ) 0
0 t 2T otherwise
h( )
2T
x( )
1
2T
0
0
2T
T
y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d x(t )h( )d
h( )
2T
h(t )
2T
2T
0
t 2T
0
t
h(t )
例1： x(n) nu(n) 0 1
x( k ) k u ( k )
1
h(n) u(n)
h(n k ) u(n k )
1
k
0
...
0
k
n
y (n ) x (n ) h(n )
k n
x ( k ) h ( n k ) u ( k )u ( n k )
分（The convolution integral）。
单位冲激响应( impulse response ): LTI系 统对输入信号 (t ) 的响应
x(t )
h(t)
y (t )
三. 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法、数值解法和变换域法等。
例1: x(t ) u( n ) 1 k 0
1 例2： x(n) 0
0n4 otherwise
n h( n) 0
x(k )
1
1, 0 n 6
otherwise
h(n k ) nk
k
0
k
n6
0
4
n
表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表 征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum）。
2.离散线性时不变系统单位脉冲响应 单位脉冲响应( impulse response ): LTI系统
对输入信号 (n)的响应
x[ n]
h(n)
y[n]
Note:h(n)由系统本身决定，与输入和初始条件无关.
第2章 线性时不变系统
Linear Time-Invariant Systems
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n)表示离散时间信号；
用 (t ) 表示连续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。 • LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
第 k个矩形为： x(k ) (t k )
即：
x (t )
k
x(k ) (t k)
当 0 时， k
d
(t k ) (t )