新高考数学A版讲义：平面向量第1讲 平面向量的概念及线性运算

第1节 平面向量的概念及线性运算
要点一：向量的相关概念
向量：既有大小又有方向的量叫做向量，区别于数量：只有大小没有方向的量称为数量. 1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度记作|AB →
|.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →
). 3.模、零向量、单位向量
（1）向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →
|. （2）长度为0的向量叫做零向量，记作0； （3）长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
（6）共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. （7）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
一、向量的概念
例1 (多选)下列说法错误的有( ) A.向量AB →与向量BA →
的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B ，C ，D 都错误，A 正确.
反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 （1）下列说法中正确的是( ) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D 正确.
（2）给出下列命题：①若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确的是________.(填序号) 答案 ④
解析 由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a ＝0，则对于任意的向量b ，都有a ∥b ，知①错误；取b ＝0，则对于任意的向量a ，c 都有a ∥b ，b ∥c ，知②错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确. 二、相等向量与共线向量
例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点.
(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出模与EF →的模相等的向量；(3)写出与EF →
相等的向量. 解 (1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点，所以EF ∥BC ，EF ＝1
2
BC .
又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →
. (2)模与EF →的模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →
. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.
反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.
(1)与OA →
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →
共线的向量有几个？
解 (1)与OA →
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →
的长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →
，共4个.
(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →
共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →
，共9个.
要点二 向量的加减法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
BC →＝AC →
.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a
以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →
就是a 与b 的和.把这种作两个
向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？
答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 3.向量加法的运算律
4.相反向量
定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . 性质如下：
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.
(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. 5.向量的减法
（1）定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →
，如图所示.
（3）文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
思考 若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？
答案 如图所示，设OA →＝a ，OB →
＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
一、向量加法法则
例1 (1)如图①所示，求作向量a ＋b .
(2)如图②所示，求作向量a ＋b ＋c .
解 (1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →
＝a ＋b .如图③所示.
(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →
＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →
＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求.
方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →
＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ， 则OE →＝OD →＋OC →
＝a ＋b ＋c 即为所求.
反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量.
(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →
＝________. 解析
(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →＝OB →
. (2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →. (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →
＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：
(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →
.
(2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →
＝0.
(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →
＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →
＝0.
反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照
任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →
|＝________. 解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →
|＝2 2. 三、向量的减法运算
例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .
解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →
＝c ，则CB →
＝a ＋b －c .
方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →
＝c ，连接OC ，则OC →
＝a ＋b －c .
反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
跟踪训练1 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →
＝a ， OB →＝b ，OC →
＝c .求作：b ＋c －a .
解 方法一 以OB →，OC →
为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ， 则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →
＝b ＋c －a .
方法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →
＝c －a ， AD →＝AC →＋CD →
＝c －a ＋b ＝b ＋c －a . 四、向量减法法则的应用
例2 (1)化简：(AD →－BM →)＋(BC →－MC →
)＝________. 解析 原式＝AD →＋MB →＋BC →－MC →＝AD →＋MC →－MC →＝AD →
.
(2)如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →
的结果为( ) A.0 B.BP → C.PQ →
D.PC →
解析 AB →＋AC →－AP →－AQ →＝(AB →－AP →)＋(AC →－AQ →)＝PB →＋QC →＝QC →－BP →
＝0. 反思感悟 (1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和.②起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
跟踪训练2 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →
＝________.
解析 由已知AD →＝BC →，则OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →
＝a ＋c －b .
要点三 向量数乘
1.定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.
(2)λa (a ≠0)的方向⎩
⎪⎨⎪⎧
当λ>0时，与a 的方向相同；
当λ<0时，与a 的方向相反.
特别地，当λ＝0时，λa ＝0，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a . 2.向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa )＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .
4.向量共线定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 思考 向量共线定理中为什么规定a ≠0?
答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.
(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .
一、向量的线性运算
例1 (1)若a ＝2b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )等于( ) A.－a B.－b C.－c D.以上都不对
解析 原式＝3a ＋6b －6b －2c －2a －2b ＝a －2b －2c ＝2b ＋c －2b －2c ＝－c . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝________.
解析 由已知，得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a .
解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b . 二、用已知向量表示其他向量
例2 如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →
等于( )
A.12a －b
B.12a ＋b
C.a ＋12b
D.a －12
b 解析 因为E 是BC 的中点，所以CE →＝12CB →
＝－12AD →＝－12b ，
所以DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋CE →
＝a －12
b .
反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练2 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC → C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 解析 示意图如图所示，
由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.
三、向量共线的判定及应用 例3 设a ，b 是不共线的两个向量.
(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →
＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值.
(1)证明 ∵AB →＝OB →－OA →
＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， 而BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－(2a ＋4b )＝－2AB →， ∴AB →与BC →
共线，且有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线.
(2)解 ∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，
即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
8－λk ＝0，
k －2λ＝0，解得λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.
反思感悟
(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB →＝λAC →(或BC →
＝λAB →
等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练3 已知向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →
＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________.
解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →
，
∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.
平面向量的概念及线性运算
1.下列说法正确的是( )
A.若a ∥b ，则a ＝b
B.若|a |＝|b |，则a ＝b
C.若a ＝b ，则a 与b 共线
D.若a ≠b ，则a 一定不与b 共线
答案 C 解析 A 中，当a ∥b 时，不能得到a ＝b ，A 不正确；B 中，向量的模相等，但a 与b 的方向不确定，B 不正确；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线.
2.若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移的大小是________ km ，方向是________.
答案 52 西北方向
3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )
A.0
B.BE →
C.AD →
D.CF →
答案 D 解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.
4.若正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|等于( )
A.1
B. 2
C.3
D.22
答案 B 解析 在正方形ABCD 中，AB ＝1，可知AC ＝2，
所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝ 2.
5.(多选)下列说法错误的有( )
A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同
B.在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0
C.若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点
D.若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |
答案 ACD
解析 A 错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；
B 正确；
C 错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足AB →＋BC →＋CA →＝0；
D 错，|a ＋b |≤|a |＋|b |.
6.已知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，AE →＝e ，则a ＋b ＋c ＋d ＝________.
答案 e 解析 a ＋b ＋c ＋d ＝AB →＋BC →＋CD →＋DE →＝AE →＝e .
7.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.
(1)AB →＋AD →＋CD →＝________；(2)AC →＋BA →＋DA →＝________.
答案 (1)AD → (2)0
8.如图，已知在▱ABCD 中，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：
(1)AO →＋AC →；(2)DE →＋BA →.
解 (1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →即为所求.
(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13
AB ，则向量BG →即为所求.
9.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.
证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.
∵PB →与QC →大小相等，方向相反，∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.
10.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，
求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.
证明 由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何知识可知，
EF →＝CD →，BF →＝F A →，
所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.
11.(多选)下列四个式子中可以化简为AB →的是( )
A.AC →＋CD →－BD →
B.AC →－CB →
C.OA →＋OB →
D.OB →－OA →
答案 AD
12.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )
A.a －b ＋c
B.b －(a ＋c )
C.a ＋b ＋c
D.b －a ＋c
答案 A 解析 DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .
13.若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________.
答案 2 解析 |AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.
14.在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________.
答案 3解析 如图，作菱形ABCD ，
则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.
15.若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( )
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
答案 C 解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|AC →|＋|AB →|，
∴3≤|AC →－AB →|≤13，∴3≤|BC →|≤13.
16.平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m ，n 的长度恰好相等，则(
)
A.A ，B ，C 三点必在同一直线上
B.△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角
C.△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°
D.△ABC 必为等腰直角三角形
答案 C 解析 如图所示，作▱ABCD ，
则AB →＋BC →＝AC →，AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|.∴▱ABCD 为矩形， ∴△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°.
17.已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________.
答案 13 解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°，∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13.
∵OA →＝a ，OB →＝b ，∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∴|a －b |＝|BA →|＝13.
15.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|
＝________.
答案 2
解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法的几何意义可知， AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|，
又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12
|BC →|＝2. 16.已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________.
解析 由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5，∴|λ|＝35，即λ＝±35
. 17.14(a ＋2b )－16(5a －2b )＋14
a ＝________. 答案 －13a ＋56
b 解析 原式＝14a ＋12b －56a ＋13b ＋14a ＝⎝⎛⎭⎫14－56＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12＋13b ＝－13a ＋56
b . 18.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用a ，b 表示)
解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →＝－16a ＋23
b . 19.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量2k a ＋b 与8a ＋k b 的方向相反，求k 的值. 解 由题意可知存在实数λ使2k a ＋b ＝λ(8a ＋k b )，
即2k a ＋b ＝8λa ＋λk b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＝8λ，1＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12
，k ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－12，k ＝－2，
∵2k a ＋b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝2不符合题意，舍去，∴k ＝－2.
20.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( )
A.BC →
B.12AD →
C.AD →
D.12
BC → 答案 C 解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →
＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12
×2AD →＝AD →. 21.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.13 B.23 C.12 D.34
答案 B 解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23
. 22.已知在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，
则m ＝________.
答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心.∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.
23.已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD
为梯形.
证明 如图所示.
∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.
又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形.
24.设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论.
解 b 与a ＋c 共线.证明如下：
∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①
∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μa .②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线.。