考研数学公式手册随身看

目录
一、高等数学0
（一) 函数、极限、连续0
（二）一元函数微分学4
(三)一元函数积分学12
(四）向量代数和空间解析几何20
（五）多元函数微分学29
（六)多元函数积分学36
（七）无穷级数40
（八)常微分方程48
二、线性代数53
（一) 行列式53
(二)矩阵54
（三）向量57
(四)线性方程组60
（五)矩阵的特征值和特征向量62
(六)二次型63
三、概率论与数理统计66
(一)随机事件和概率66
（二）随机变量及其概率分布70
（三)多维随机变量及其分布72
（四)随机变量的数字特征75
（五)大数定律和中心极限定理78
(六)数理统计的基本概念79
(七)参数估计81
(八）假设检验84
经常用到的初等数学公式86
平面几何91
一、高等数学(一）函数、极限、连续
β(x) ()
(()k x c c x αβ=常用的等阶无穷小：当arcsin tan ,x x x x ⎫⎪
⎪
⎪⎪
2
12
1
(1)1x x x
n +- 有限个无穷小的代数和为无穷小有限个无穷小的乘积为无穷小
A B ；
0)≠ x 0的邻域内，恒有（11n m a x b x --++++++2
π
（二) 一元函数微分学
对应公式、定理、概念
00
)()
lim
x x f x x
→+-0
00
()lim x x f f x x →-- 处的左、右导数分别定义为：0
()lim x x f x x -→--()f x -
(m -n+(1)!
n
n x - ）莱布尼兹公式：若()u x ,v ，其中(0)u
()
(0)!
n f
n +与x 之间.（11!n x n +
1!
n
x n +
sin !2n x n n π+3sin !2
n x n n π+
+cos !n x n n π+2cos !n x x n +
+231
(1)
3
n x -+-
+-2311(1)2
3
n x x -+-
+-2
1)(1)
(1)2!
!
m m m n x n ---+++
1
11)(1)(1)(1)!
n m n m n x n ξ+---+++ 或
2
(1)2!
m m x -+
1)
(1)()!
n
n m n x o x n -++
函数单调性的判断：()f x 在(,a b 区间内可导，如果对（或'()f x <，则函数()f x 在(加的（或单调减少）
（取极值的必要条件
（三）一元函数积分学
13
1,222
132
1,23
n n n n n n π
----当为偶数
当为奇数,cos 0,n nx mxdx n π⎧=⎨
≠⎩cos 0mxdx =
b
()
g x dx
±⎰
)]'()x ϕ
则
上的一个原函数
]上连续，F
(2()b
a
g x dx ⎰］上连续
三角形示意图
理式和简
单无理函数的积分，广义积分和定积分的应用
22
a x
-sin
x a t
=
22
a x
+tan
x a t
=
22
x a
-sec
x a t
=
有理函数积分
(1)ln||
A
dx A x a C
x a
=-+
-
⎰
1
1
(2)(1)
()1()
n n
A A
dx C n x a n x a-
=-+≠---
⎰
(四） 向量代数和空间解析几何
a 的大小.a 。

。

向量的坐标表示：若向量用坐标表示
{,,}a xi yj zk x y z =++=,则222a x y z =++
4向量的运算法则：
Ⅰ加减运算 设有矢量111{,,}a x y z =22{,b x y =121212{,,}.a b x x y y z z ±=±±
Ⅱ。

数乘运算数乘运算∆矢量a 与一数量λ之积000,0,a a a a a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪=⎨⎪
<⎪⎩
即与同向0=0,即为零矢量-即与反向 设11{,,a x y =111{,,}.a x y z λλλ=
矢量的数积（点积，内积):
矢量a 与b 的数量积()
cos ,.a b a b a b ⋅=
111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z =，则12a b x x y ⋅=+矢量的向量积（叉积，外积）:设有两个向量a 与b ，若∃
c sin(,)c a b a b =；
,c a c b ⊥⊥，即c 垂直于a ，b 所确定的平面）a ，b ，c 成右手系。

则称矢量c 为矢量a 与b 的矢量积c a b =⨯。

111{,,}a x y z =222{,,}b x y z =，则
11111111122
22
22
222
.i j k
y z x z x y a b x y z i j k y z x z x y x y z ⨯==
-+
3混合积：设有三个矢量,,a b c ，若先作a ，b 的叉积a ⨯再与c 作点积()a b c ⨯⋅，则这样的数积称为矢量a ，b ，c 的混合积，记为(,,)a b c ，即(,,)().a b c a b c =⨯⋅ 111{,,}a x y z =，22{,,b x y z =333{,,}c x y z =，
1
23
(,,)x z a b c x z x z =
11{,,a x y =22{,b x y =33{,,c x y =
0a b a b x ⊥⇔⋅=⇔12//0x a b a b x ⇔⨯=⇔
=222,,y z 之中有一个为“a ,b 不共线⇔∃不全为零的数0a b μ+=; ）矢量a 与b 的夹角，可由下式求出12221
1
cos()x x a b x y z ∧+=
++；
a ，
b ，
c 共面⇔0a b vc μ++=或者(,a 单位向量：模为1的向量。

向量a 的单位向量记作0a ，
0222,a x a a x z x ⎧⎪=
=⎨++⎪⎩
3向量的方向余弦：22cos x x y α=
+
0{cos a =0D +=，法矢量{,,n A B C =若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，方
00)z 为平面上
{,,n A B C =三点式方程 12131x x x x x x ---
11{,n A =22{n A =直线的方向矢量为1212i s n n A A =⨯=（2)标准式方程0x x l -=为直线上已知点， {,,s l m n =(3）两点式方程其中1(M x {,,s l m n =平面间的关系设有两个平面：22A x B y +（1）平面
010101
1012
2
2
1i
j k x x y y z z l
m n
M M M P
M P
l m n
---⨯=
++
准线为各种形式的柱面方程的求法
准线为(,:f x z
⎧
⎪Γ⎨⎪⎩),0y =，
抛物柱面
()
22,0
x py p
=>
z
y
x
标准二次方程及其图形
名称方程图形
椭球面
222
222
1
x y z
a b c
++=
（,,
a b c均为正
数）
o b
c
z
y
x
单叶双曲面
222
222
1 x y z
a b c
+-= (,,
a b c均为正数)
双叶双曲面
222
222
1 x y z
a b c
--+=（,,
a b c均为正
数）
椭圆的抛物
面
22
22
2
x y
pz a b
+=（,,
a b p为正数)
双曲抛物面(又名马鞍面)
22
22
2
x y
pz a b
-= (,,
a b p均为正数)
二次锥面
222
222
x y z
a b c
+-=
(,,
a b c为正数)
o y
x
z
(五）多元函数微分学
考试内容对应公式、定理、概念
多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极二元函数(,)
z f x y
=连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下:
可导←可微→函数连续“←→”表示可推出
用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证:
z u z v
u x v x
u z v y v y ∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂,du z dv
dx v dx
∂+∂称之为
u f v
x v x u f v y v y ∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂
复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，1，2，3……表示更简洁。

'(,)x
F x y dy
=- 00dz dy dz dx
==⇒在00(M x 沿任意方向l =
)(cos ,cos α)cos l gradf grad =〈0000)(,,)(
,f x y x y y
∂∂=∂0M 的梯度)
而变化grad l grad =
20"(,y f x y 的一个极值点00(,)0),x y >(,)0),x y <
（六）多元函数积分学
)
n D ∈时，而二重积分为底的柱体体积。

())
f n ξητ∆f μ=表示体密度为只叙述二重积分的性质，三重积分类似）(k f x σ⎰⎰=,)m
(5）（比较定理）
(,)(,),(,)(,)D
D
D f x y g x y f x y d g x y d σσ≤≤⎰⎰⎰⎰若在上恒有则
(6)(,(,)M m f x y D 估值定理）设分别为在闭域上的最大与最小值，A D 为的面积，则(,)D
mA f x y d MA σ≤≤⎰⎰
(7)((,)(,))f x y D A D D f x y d f A ξησξη∃⎰⎰D
中值定理）若在闭域上连续，为的面积，则在上至少一点（，），使=(,
(8）二重积分的对称性原理
(,)(,)x f x y y f x y σ
⎰⎰D
1）如果积分域D 关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分d
1
0,(,)(,)2(,),(,)(,),D f y f x y f x y f x y d f f x y f x y σ-=-⎧⎪
=⎨-=⎪⎩⎰⎰关于为奇函数，即关于y 为偶函数，即 D D 1为在上半平面部分
这个性质的几何意义见图(a)、（b)
(,)y f x y x 2）如果积分域D 关于轴对称，为的奇偶函数， (,)f x y σ⎰⎰D
则二重积分d
L Pdx Qdy
+=
⎰
⇔存在函数(,
u x
L
Pdx Qdy +⎰ L
Pdx Qdy -⎰
是空间中的有界闭区域，由分块光滑的曲面所,,),(,,x y z R x y z cos cos S
Pdydz Qdzdx P Q α++⎰⎰⎰⎰（Rdz
散度的计算公式 (,,)(,,)(,,);,,A P x y z i Q x y z j R x y z k P Q R =++均可导，则(,,)P x y z 点处的散度为P Q R
divA x y z ∂∂∂=++
∂∂∂ 旋度的计算公式
有矢量场(,,)(,,)(,,)A P x y z i Q x y z j R x y z k =++均有连续的一阶偏导数,则旋度A 为：
i
j k A x y z P
Q
R
∂∂∂=
∂∂∂
（七）无穷级数
1n ∞
=∑对于111n ρρρ∞
=∞⎧
>⎪⎪
⎪=⎨
⎪
⎪
<⎪∑∑时，时，方法失效
时，);(2)则交错级数收敛，其和1,S u ≤2
20
n
n n n n a x a x a x ∞
=++
++
=∑
11n a b -+
01n n n n a x C C x b x +
++=++
++
利用多项式的长除法可得：000,a C C b =
幂级数的分析性质：
R 的收敛半径为，则在（）内有
称为麦克劳林级数
0()0()
!n x f x n ∞
=∑n=0
某领域内具有任意阶导数，0,(n n n u u ∞
=++
=∑0
(1)(1)n
n n n n u u ∞
=-
+-+
=-∑0,(,)!!
n n
n u u n n ∞
=++=-∞+∞∑
21
20
(1)(1)(21)!
(2n n n n
n u u n n +∞
=+-+
=-++∑4
220
(1)(1)4!
(2)!
(2n
n
n
n u u u n n ∞
=-
+-+
=-∑23
1
1
(1)(1),(31
1n n n n
n u u u u n n ++∞
=+-
+-+
-++∑2
(1)(1)
(1)2!
!
a a a a a n au u u
n ---++
++
的不同而不同，但在（-1，1)总有意义)
[02]π，上可积，则0,1,2,)
1,2,) cos sin n nx b +01
2n a ∞
=+∑[-,]l l 为周期的函数，且在上可积，则以
))cos sin n n x b l π+01
1(cos 2n n a a ∞
=+∑[-,]ππ在上满足条件：除有限个第一类间断点外都连续。

的傅立叶级数在()x 的连续点；
(八)常微分方程。