2025届山东省泰安市肥城市九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2025届山东省泰安市肥城市九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边上C ’处，并且C 'D //BC ，
则CD 的长是（ ）
A ．409
B ．509
C ．154
D ．244
2．附城二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t 与速度(平均速度)v 之间的函数关系式是( ) A ．v ＝5t
B ．v ＝t ＋5
C ．v ＝5t
D ．v ＝t 5 3．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞2 或x ＜－3
B ．－3＜x ＜2
C ．x ＞2或x ＜－4
D ．－4＜x ＜2
4．下列事件中，为必然事件的是（ ） A ．抛掷10枚质地均匀的硬币，5枚正面朝上
B ．某种彩票的中奖概率为10%，那么买100张这种彩票会有10张中奖
C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的数字不大于6
D ．打开电视机，正在播放戏曲节目
5．ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4，则DEF ∆与ABC ∆的相似比为（ ）
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:4
D ．4:1
6．在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能 （ ）
A ．4个
B ．6个
C ．34个
D ．36个
7．如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为( )
A ．1323
B ．43
C ．45511
D ．1453
8．某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（ ）
A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.6
9．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如下：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得（ ）个馒头
A ．25
B ．72
C ．75
D ．90
10．下列说法中正确的是（ ）
A ．弦是直径
B ．弧是半圆
C ．半圆是圆中最长的弧
D ．直径是圆中最长的弦
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是___．
12．如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米.当50a =︒时，人字梯顶端高地面的高度AD 是____米（结果精确到0.1m .参考依据：sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈）
13．化简：()122a b a b ⎛
⎫+--= ⎪⎝⎭______． 14．某商场购进一批单价为16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）与每件的销售价格x （元/件）之间满足一次函数.在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为______元时，才能使每月的毛利润w 最大，每月的最大毛利润是为_______元．
15．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ．
16．计算331642-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
________________. 17．若反比例函数y ＝﹣的图象经过点A(m ，3)，则m 的值是_____．
18．如图，抛物线21322
y x x =--的图象与坐标轴交于点A 、B 、D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 轴的正半轴于点C ，圆心为M ，P 是半圆AB 上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，O 是ABC 外接圆，点D 是圆上一点，点D ，B 分别在AC 两侧，且BD BC =，连接AD BD OD CD ，，，，延长CB 到点P ，使APB DCB ∠=∠．
（1）求证：AP 为O 的切线； （2）若O 的半径为1，当OED 是直角三角形时，求ABC 的面积．
20．（6分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
21．（6分）如图，已知点C （0，3），抛物线的顶点为A （2，0），与y 轴交于点B （0，1），F 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线CF 于点H ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在直线CF 下方的抛物线上，用含m 的代数式表示线段PH 的长，并求出线段PH 的最大值及此时点P 的坐标；
（3）当PF ﹣PM ＝1时，若将“使△PCF 面积为2”的点P 记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF 的周长最小的点P 也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF 的周长最小时“巧点”的坐标．
22．（8分）如图，抛物线2
y x bx =-++与x 轴交于()2,0A ，()4,0B -两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由
23．（8分）某配餐公司有A，B两种营养快餐。

一天，公司售出两种快餐共640份，获利2160元。

两种快餐的成本价、销售价如下表。

A种快餐B种快餐
成本价5元/份6元/份
销售价8元/份10元/份
（1）求该公司这一天销售A、B两种快餐各多少份？
（2）为扩大销售，公司决定第二天对一定数量的A、B两种快餐同时举行降价促销活动。

降价的A、B两种快餐的数量均为第一天销售A、B两种快餐数量的2倍，且A种快餐按原销售价的九五折出售，若公司要求这些快餐当天全部售出后，所获的利润不少于3280元，那么B种快餐最低可以按原销售价打几折出售？
24．（8分）如图，反比例函数
k
y
x
的图象与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，点A和点B的横坐标分别为1
和﹣2，这两点的纵坐标之和为1．
（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；（2）当点C的坐标为（0，﹣1）时，求△ABC的面积．
25．（10分）如图①，在ABC ∆中，3AB AC ==，100BAC ︒∠=，D 是BC 的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ，将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80︒，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到BPE ∆．小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E 在直线AD 上时，如图②所示．
①BEP ∠= ；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是 ．
（2）请在图③中画出BPE ∆，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE ，试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（3）当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值．
26．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若CD＝BP＝1，求⊙O的半径．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】先由求出AC，再利用平行条件得△AC'D∽△ABC，则对应边成比例，又CD=C′D，那么就可求出CD. 【详解】∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴，
∵将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C'处，
∴CD=C'D，
∵C'D∥BC，
∴△AC'D∽△ABC，
∴
'
AD C D AC BC
=，
即10
108
CD CD
-
=，
∴CD=40
9
，
故选A.
【点睛】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2、C
【分析】根据速度＝路程÷时间即可写出时间t与速度(平均速度)v之间的函数关系式.
【详解】∵速度＝路程÷时间，
∴v＝5 t .
故选C.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的定义，解题的关键是熟知速度路程的公式.
3、C
【分析】先根据对称轴和抛物线与x 轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x 的取值范围．
【详解】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x= -1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（-1，0），
因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x 轴的下方，
此时，x ＞2或x ＜－1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x 轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．
4、C
【分析】根据必然事件的概念答题即可
【详解】A: 抛掷10枚质地均匀的硬币，概率为0.5，但是不一定5枚正面朝上，故A 错误；
B: 概率是表示一个事件发生的可能性的大小，某种彩票的中奖概率为10%，是指买张这种彩票会有0.1的 可能 性 中奖，故B 错误；
C:一枚质地均匀的骰子最大的数字是6，故C 正确；
D: .打开电视机，正在播放戏曲节目是随机事件，故D 错误.
故本题答案为：C
【点睛】
本题考查了必然事件的概念
5、B
【分析】根据面积比为相似比的平方即可得出答案． 【详解】ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4
∴ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2
∴DEF ∆与ABC ∆的相似比为2:1
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，比较简单，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6、B
【解析】试题解析：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×
15%=6个. 故选B.
点睛：由频数=数据总数×频率计算即可．
7、C
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD 的长，从而求出AD 和AC ，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP ⊥AB 时AP 的长，然后证出△APC ∽△ACB ，列出比例式即可求出AB ，最后用勾股定理即可求出BC ．
【详解】解：∵动点P 从点D 出发，线段CP 的长度为y ，运动时间为x 的，根据图象可知，当x =0时，y=2 ∴CD=2
∵点D 为AC 边中点，
∴AD=CD=2，CA=2CD=4
由图象可知，当运动时间x=()211s +时，y 最小，即CP 最小 根据垂线段最短
∴此时CP ⊥AB ，如下图所示，此时点P 运动的路程DA ＋AP=()()
1211211⨯+=+
所以此时AP=(21111AD +-=∵∠A=∠A ，∠APC=∠ACB=90°
∴△APC ∽△ACB
∴AP AC AC AB
= 即1144AB
= 解得：1611在Rt △ABC 中，22455AB AC -= 故选C ．
【点睛】
此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
8、D
【分析】直接利用概率公式进行求解，即可得到答案．
【详解】解：∵共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．
∴1张抽奖券中奖的概率是：102030
100
++
＝0.6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．9、C
【分析】设有x个大和尚，则有（100-x）个小和尚，根据馒头数=3×大和尚人数+1
3
×小和尚人数结合共分100个馒
头，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】解：设有x个大和尚，则有(100−x)个小和尚，
依题意，得：3x+1
3
(100−x)=100，
解得：x=25，
∴3x=75；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键.
10、D
【解析】试题分析：根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选D．
【考点】圆的认识．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、12π．
【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【详解】设扇形的半径为r ． 则120180
r π＝4π， 解得r ＝6， ∴扇形的面积＝2
1206360
π⨯＝12π， 故答案为12π．
【点睛】
本题考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l ＝180n r l π=，扇形的面积公式S ＝2
360
n r π，解题的关键是熟记这两个公式．
12、1.5.
【分析】在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
【详解】在Rt ADC ∆中，
∵2AC =，50ACD ∠=︒， ∴sin 50AD AC
︒=， ∴sin5020.77 1.5AD AC =⨯︒=⨯≈.
故答案为1.5.
【点睛】
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
13、2a b +
【分析】根据向量的加减法法则计算即可. 【详解】解：()1222a b a b a b ⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭-a b +=2a b +. 【点睛】
本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.
14、24 1
【分析】本题首先通过待定系数法求解y 与x 的关系式，继而根据利润公式求解二次函数表达式，最后根据二次函数性质求解本题．
【详解】由题意假设y kx b =+，将(20,360)，(25,210)代入一次函数可得：360=2021025k b k b
+⎧⎨=+⎩，
求解上述方程组得：30960k b =-⎧⎨=⎩
，则30960y x =-+， ∵0y ≥，
∴309600x -+≥，
∴32x ≤，
又因为商品进价为16元，故1632x ≤≤．
销售利润(16)(30960)(16)y x x x =•-=-+•-，
整理上式可得：销售利润230(24)1920x =--+，
由二次函数性质可得：当24x =时，取最大值为1．
故当销售单价为24时，每月最大毛利润为1元．
【点睛】
本题考查二次函数的利润问题，解题关键在于理清题意，按照题目要求，求解二次函数表达式，最后根据二次函数性质求解此类型题目．
15、【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】解：设扇形半径为R ，根据弧长公式得， 90=25180R
∴R=20， 225515 .
故答案为：【点睛】
本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.
16、4-
【分析】根据负整数指数幂的计算法则及立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：原式=1－8=－1．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查实数的运算，属于常考基础题，明确负整数指数幂的计算法则及立方根的定义是解题的关键．
17、﹣2 【解析】∵反比例函数
的图象过点A （m ，3）， ∴，解得. 18、π
【分析】先求出A 、B 、E 的坐标，然后求出半圆的直径为4，由于E 为定点，P 是半圆AB 上的动点，N 为EP 的中点，所以N 的运动路经为直径为2的半圆，计算即可. 【详解】解：22131(1)2222y x x x ，
∴点E 的坐标为（1，-2），
令y=0，则213022
x x =--， 解得，11x =-，23x =，
∴A （-1，0），B （3,0），
∴AB=4，
由于E 为定点，P 是半圆AB 上的动点，N 为EP 的中点，所以N 的运动路经为直径为2的半圆，如图，
∴点N 运动的路径长是12=2
ππ⨯⨯.
【点睛】
本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）ABC S =ABC S =【分析】(1)先证P BAC ∠=∠，再证90P BAP ∠+∠=︒，得到90BAP BAC ∠+∠=︒，即可得出结论；
（2）分当90OED ∠=︒时和当90DOE ∠=︒时两种情况分别求解即可.
【详解】（1）∵BD BC =，
∴BDC BCD ∠=∠，
∵P BCD ∠=∠，BAC BDC ∠=∠，
∴P BAC ∠=∠，
∵AC 是直径，
∴90ABC ABP ∠=∠=︒，
∴90P BAP ∠+∠=︒，
∴90BAP BAC ∠+∠=︒，
∴90OAP ∠=︒，
∴OA PA ⊥，
∴PA 是O 的切线．
（2）①当90OED ∠=︒时，CB CD BD ==，BCD 是等边三角形，可得30ACB ∠=︒，
∵2AC =，
∴1AB =，BC =，
∴2
ABC S =．
②当90DOE ∠=︒时，易知45AOB ∠=︒，ABC 的AC 边上的高2=
，
∴2
ABC S =． 【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，等边三角形的判定和性质，求三角形的面积熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．
20、（1）为y ＝﹣10x +2；（2）3元时每天获取的利润最大利润是4元；（3）45≤x ≤1．
【分析】（1）根据每上涨1元，销量下降10件即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据每天剩余利润不低于3600元和二次函数图象即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+2．
答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+2．
（2）销售量不低于240件，得﹣10x+2≥240
解得x≤3，
∴30＜x≤3．
设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得
w＝（x﹣30）（﹣10x+2）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000
∵﹣10＜0，
所以x＜50时，w随x的增大而增大，
所以当x＝3时，w有最大值，
w的最大值为﹣10（3﹣50）2+4000＝4．
答：销售单价为3元时，每天获取的利润最大，最大利润是4元．
（3）根据题意，得
w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600
即﹣10（x﹣50）2＝﹣250
解得x1＝1，x2＝45，
根据图象得，当45≤x≤1时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求最大值，正确求出二次函数关系式，理解二次函数的性质是解题的关键.
21、（1）y＝1
4
（x﹣2）2，即y＝
1
4
x2﹣x+1；（2）m＝0时，PH的值最大最大值为2，P（0，2）；（3）△PCF的巧点
有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入求得a的值即可；
（2）求出直线CF的解析式，求出点P、H的坐标，构建二次函数即可解决问题；
（3）据三角形的面积公式求得点P到CF的距离，过点C作CG⊥CF，取CG＝2
√．则点G的坐标为（﹣1，2）或（1，4），过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入求得直线GH的解析式，将直线GH 的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点P的坐标，当PC+PF最小时，△PCF的周长最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小，然后可求得此时点P的坐标；
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
将点B的坐标代入得：4a＝1，解得a＝1
4
，
∴抛物线的解析式为y＝1
4
（x﹣2）2，即y＝
1
4
x2﹣x+1．
（2）设CF的解析式为y＝kx+3，将点F的坐标F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3，
由题意P（m，1
4
m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），
∴PH＝﹣1
4
m2+2，
∴m＝0时，PH的值最大最大值为2，此时P（0，2）．（3）由两点间的距离公式可知：CF＝22
√．
设△PCF中，边CF的上的高线长为x．则1
2
×22
√x＝2，解得x＝2
√．
过点C作CG⊥CF，取CG＝2
√．则点G的坐标为（﹣1，2）．
过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入得：1+b＝2，解得b＝1，∴直线GH的解析式为y＝﹣x+1，
与y＝1
4
（x﹣2）2联立解得：
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．
显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．
∵FC 为定点，
∴CF 的长度不变，
∴当PC +PF 最小时，△PCF 的周长最小．
∵PF ﹣PM ＝1，
∴PC +PF ＝PC +PM +1，
∴当C 、P 、M 在一条直线上时，△PCF 的周长最小．
∴此时P （0，1）．
综上所述，△PCF 的巧点有3个，△PCF 的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
22、（1）228y x x =--+；（2）存在，当QAC 的周长最小时，Q 点的坐标为()1,6-．
【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC 的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案.
【详解】（1）抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于()()2,0,4,0A B -两点 4201640b c b c -++=⎧∴⎨--+=⎩解得：28b c =-⎧⎨=⎩
∴该抛物线的解析式为228y x x =--+
（2）该抛物线的对称轴上存在点Q ，使得QAC 的周长最小．
如解图所示，作点C 关于抛物线对称轴的对称点H ，连接HA ，
交对称轴于点Q ，连接CO AC 、，
点C 关于抛物线对称轴的对称点H ，且HA ，交对称轴于点Q
QH QC ∴=，
QAC ∴的周长为AC CQ AQ AC QH AQ AC AH ++=++=+， Q 为抛物线对称轴上一点，
QAC ∴的周长AC CQ AQ AC AH ++≥+，
∴当点Q 处在解图位置时，QAC 的周长最小．
在228y x x =--+中，当0x =时，8y =，
()0,8C ∴，
()()2,0,4,0A B -，
∴抛物线的对称轴为直线1x =-，
点H 是点C 关于抛物线对称轴直线1x =-的对称点，且()0.8C ．
设过点()()2,0,2,8A H -两点的直线AH 的解析式为：()2y k x =-，
()2,8H -在AH 直线上，
48k ∴-=，解得：2k =-，
AH ∴直线的解析式为：()2224y x x =--=-+，
抛物线对称轴为直线1x =-，且AH 直线与抛物线对称轴交于点Q ，
∴在24y x =-+中，当1x =-时，()2146y =-⨯-+=，
()1,6Q ∴-，
∴在该抛物线的对称轴上存在点Q ，使得QAC 的周长最小，当QAC 的周长最小时，Q 点的坐标为()1,6-
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，能正确理解题意是解题关键．
23、（1）该公司这一天销售A 、B 两种快餐各400份，240份；（2）B 种快餐最低可以按原销售价打8.5折出售
【分析】（1）设学校第一次订购A 种快餐x 份B 种快餐y 份，根据“两种快餐共计640份，该公司共获利2160元”列出方程组进行求解；
（2）设B 种快餐每份最低打a 折，根据利润不少于3280元列出关于a 的不等式，解出a 的最小值.
【详解】（1）设销售A 种快餐x 份，则B 种快餐（640-x ）份。

（8-5）x +（10-6）（640-x ）＝2160
解得：x ＝400 640-x ＝240份
∴该公司这一天销售A 、B 两种快餐各400份，240份
（2）设B 种快餐每份最低打a 折。

（8×
0.95-5）×400×2+（0.1a ×10-6）×240×2≥3280 解得：a ≥8.5
∴B 种快餐最低可以按原销售价打8.5折出售
【点睛】
本题考查一元一次不等式和二元一次方程组的实际应用，解题关键是读懂题意，根据题中所述找出其中的等量和不等量关系，难度一般．
24、（1）2y x
=，y =x +1；（2）2． 【解析】试题分析：（1）根据两点纵坐标的和，可得b 的值，根据自变量与函数的值得对关系，可得A 点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．
试题解析：解：（1）由题意，得：1+b +（﹣2）+b =1，解得b =1，一次函数的解析式为y =x +1，当x =1时，y =x +1=2，即A （1，2），将A 点坐标代入，得1k =2，即k =2，反比例函数的解析式为2y x
=； （2）当x =﹣2时，y =﹣1，即B （﹣2，﹣1）．
BC =2，S △ABC =12BC •（y A ﹣y C ）=12
×2×[2﹣（﹣1）]=2． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用纵坐标的和得出b 的值是解（1）题关键；利用三角形的面积公式是解（2）的关键．
25、（1）①50︒；②EC AB ∥；（2）AB EC ∥；（3）AE 的最小值3．
【解析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明40ABC ︒∠=，40ECB ︒∠=，推出ABC ECB ∠=∠即可．
（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P ．利用圆周角定理证明1402
BCE BPE ︒∠=∠=即可解决问题． （3）因为点E 在射线CE 上运动，点P 在线段AD 上运动，所以当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值3AB ==．
【详解】（1）①如图②中，
∵80BPE ︒∠=，PB PE =， ∴50PEB PBE ︒∠=∠=， ②结论：AB EC ∥．
理由：∵AB AC =，BD DC =， ∴AD BC ⊥，
∴90BDE ︒∠=，
∴905040EBD ︒︒︒∠=-=， ∵AE 垂直平分线段BC ， ∴EB EC =，
∴40ECB EBC ︒∠=∠=， ∵AB AC =，100BAC ︒∠=， ∴40ABC ACB ︒∠=∠=， ∴ABC ECB ∠=∠，
∴AB EC ∥．
故答案为50，AB EC ∥．
（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P ．
∵AD 垂直平分线段BC ，
∴PB PC =， ∴1402
BCE BPE ︒∠=∠=， ∵40ABC ︒∠=，
∴ AB EC ∥．
（3）如图④中，作AH CE ⊥于H ，
∵点E 在射线CE 上运动，点P 在线段AD 上运动，
∴当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值3AB ==．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
26、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC ，由已知得出∠ADC=∠AFB ，证出CD ∥BF ，得出AB ⊥BF ，即可得出结论；
（2）设⊙O 的半径为r ，连接OD ．由垂径定理得出PD ＝PC ＝12
CD 5OP=r-1在Rt △OPD 中，由勾股定
理得出方程，解方程即可．
【详解】解:（1）证明：∵弧AC＝弧AC，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠AFB＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠AFB，
∴CD∥BF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∵AB是圆的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD．如图所示：∵AB⊥BF，CD＝25，
∴PD＝PC＝1
2
CD＝5，
∵BP＝1，
∴OP＝r﹣1
在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（5）2
解得：r＝1．
即⊙O的半径为1．
【点睛】
本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理和平行线的判定与性质等知识，解题的关键熟练掌握圆周角定理和垂径定理．。