偏导数的应用 (2)

一、偏导数的几何应用
1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为
()()()x x t y y t z z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
假定(),(),()x t y t z t 均可导,'
'
'
000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为
000
x x y y z z x y z
---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得
000
x x y y z z x y z t t t
---==
∆∆∆∆∆∆ 当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程
000
'
''000()()()
x x y y z z x t y t z t ---==
向量'''
000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向
余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=
【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程.
解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''
()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向
量'
'
'
{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为
100
011
x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为
0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=
即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线和法平面方程.
解 把x 看作参数,此时曲线方程为
sin 2
x x y x x z ⎧=⎪⎪
=⎨⎪⎪=⎩ '''1
1,cos 1,2
x x x x x y x z ππππ=======-=
在点,0,
2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
处的切线方程为 0
21
11
2
z x y π
π---==-
法平面方程为
1()(0)()022
x y z π
π---+-=
即 4425x y z π-+=
2.曲面的切平面与法线 设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为
(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有
[(),(),()]0F x t y t z t =
此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为
0''''''
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt
==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲
线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为
'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=
过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为
000
'''000000000(,)(,)(,)
x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==
若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令
(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=
于是
''''',,1x x y y z F f F f F ===-
这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为
''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=
法线方程为
000
''0000(,)(,)1
x y x x y y z z f x y f x y ---==-
【例3】求椭球面2
2
2
326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.
解 设2
2
2
(,,)326F x y z x y z =++-
''''
''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4
x y z x
y
z
F x y z x F x y z y F x y z z F F F ======
故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为 2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-= 即
3260x y z ++-=
法线方程为
111
132x y z ---==
【例4】 求旋转抛物面22
z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.
解 由2
2
z x y =+得
''(1,1)
(1,1)
(1,1)22,(1,1)22x y f x
f y
---==-==-
切平面方程为 22(1)2(1)z x y -=--+ 即
222x y z --=
法线方程为
112
221
x y z -+-==
--
二、多元函数极值
1. 二元函数的极值
【例5】 曲面z =
在点(0,0)有极小值0z =.
【例6】 曲面2
2
44z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.
与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.
定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点
(,)x y 都有
00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)
则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数
(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.
2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验
定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存
在,则必有'
'
0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.
证明
不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一
邻域内的任一点(,)x y ,有
00(,)(,)f x y f x y ≤
在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有
'00(,)0x f x y =
同理可证
'00(,)0y f x y =
与一元函数类似,使一阶偏导数'
'
0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数
(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶
偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验
定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,
且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''
000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则
(1) 当2
0B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;
当2
0B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ;
(2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值;
(3) 当2
0B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值. 综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:
(1) 先求出偏导数''''''
,,,x y xx yy
f f f f ; (2) 解方程组'
'(,)0
(,)0
x y f x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;
(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:''''''
,,xx xy yy A f B f C f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.
【例7】 求函数33
(,)3f x y x y xy =+-的极值.
解 先求偏导数
'2'2''
''''(,)33,(,)336,3,6x y xx
xy
yy
f x y x y f x y y x f x f f y
=-=-==-=
解方程组22330
330
x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).
在驻点(0,0)处,''''''
(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -= 90>,于是(0,0)不是函数的极值点.
在驻点(1,1)处,''
''
''
2
(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.
3.最大值与最小值
如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.
如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】
求函数(,)f x y =2
2
:1D x y +≤上的最大值.
解 在D 内(22
1x y +<),由
''0,0x y f f =
==
=
解得驻点为(0,0),(0,0)2f =.
在D 的边界上(2
2
1x y +=
)
221
(,)2y f x y +===<
故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =. 【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料? 解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.
该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有
xyz a =
22S xy xz yz =++
消去z ，得表面积函数
22a a S xy y x
=+
+ 其定义域为0,0x y >>
由'
2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩
，求得驻点为.
由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,
于是必为S 的最小值点,
此时
a z xy
==
即长方体长、宽、高分别为
,容器所需铁皮最少,其表
面积为S =. 【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为
22(,)221000C x y x xy y =+++
产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为
(,)200300R x y x y =+
因此,公司的利润函数为
22(,)(,)(,)
200300221000
P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----
令''(,)200220(,)300240x y
P x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50).
利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''
(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，
显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为2
2,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。

由此可见，当产品,A B 的周产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为
(50,50)11500P =（元）
三、条件极值 如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。

但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值. 条件极值问题的解法有两种,一是将条件极值转化为无条件极值,如例9就是求22S xy xz yz =++在自变量满足约束条件xyz a =时的条件极值.当我们从约束条件中解出
a z xy =
代入S 中,得22a a
S xy y x
=++,就成了无条件极值,于是可以求解.但实际问题中的许
多条件极值转化为无条件极值时,时很复杂甚至是不可能的.下面介绍条件极值的另外一种更一般的方法——拉格朗日乘数法. 设(,)x y 是函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的条件极值问题的极值点,如果
函数(,)f x y ,(,)x y ϕ在点(,)x y 的邻域内有连续偏导数(不妨设'
(,)0y x y ϕ≠),则一元函数
(,())()z f x y x z x ==在点x 的导数
0dz
dx
=.由复合函数微分法,有 ''(,)(,)0x y dy
f x y f x y dx
+=
由于()y y x =是由(,)0x y ϕ=所确定的,所以
''
(,)(,)
x y x y dy
dx x y ϕϕ=- 代入上式,消去
dy
dx
,得 ''
''(,)(,)(,)0(,)x x
y
y x y f x y f x y x y ϕϕ⎛⎫
+-= ⎪ ⎪
⎝⎭
即
'''
'(,)(,)(,)0(,)y x x y f x y f x y x y x y ϕϕ⎛⎫+-= ⎪ ⎪
⎝⎭
令''(,)
(,)
y y
f x y x y λϕ-
=,则有
''
''
(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩
(*)
称满足方程组(*)的点(,)x y 为可能的极值点.
我们构造一个函数
(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+
则(*)等价于
'''
'''
'(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y x y L x y f x y x y L x y x y λλλϕλλϕλϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪==⎩
于是,用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤:
(1) 构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+,λ称为拉格朗日乘数; (2) 解方程组
'''
'''
'(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y x y L x y f x y x y L x y x y λλλϕλλϕλϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪==⎩
得点(,)x y ,为可能极值点；
(3) 根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值. 【例11】求平面上点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离. 解 设点00(,)x y 到直线上动点(,)x y 的距离为d ,则问题归结为求距离函数22200()()(,)d x x y y f x y =-+-=在约束条件0Ax By C ++=之下的极小值.
构造拉格朗日函数
2200(,,)()()()L x y x x y y Ax By C λλ=-+-+++
解方程组
'0'
0'(,,)2()0(,,)2()0(,,)0x y L x y x x A L x y y y B L x y Ax By C λ
λλλλλ⎧=-+=⎪=-+=⎨⎪=++=⎩ 得
00,2
2
x x A y y B λ
λ
=-
=-
代入0Ax By C ++=,得
0022
2()
Ax By C A B
λ++=
+ 由于最短距离是存在的,所以
2
2
2
2
222
2200222
()
222()()()
d A B A B Ax By C A B A B λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
++=++
所以
d =
小结: 学习了多元函数的几何应用,多元函数极值及条件极值.求二元函数的极值与求一元函数的极值有许多类似之处，只需按求极值的步骤去做即可。

求多元函数的条件极值是本章的一个难点。

解决这类问题的关键是根据题意选择适当的自变量，建立目标函数，确定约束条件，然后求辅助函数，转化为无条件极值.。