2016届高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)专题05平面向量(第02期)(解析版)

第五章 平面向量
一、填空
1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知2||||=
=OB OA ，
且1=⋅OB OA ，若点C 满足1||=+CB OA ，则||OC 的取值范围是 ．
【答案】-【解析】 试题分析：
1||||cos ,1,cos ,,cos ,23
OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB π
⋅=⨯⨯<>=<>=<>=，以O
为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),O A B ,令326
(
,),6OP OA OB OP =+==, ||1
OA CB OA OB OC OP OC +=+-=-=,则点C 的运动轨迹是以点P 为圆心，1为半径
的圆，而
6
OP =||OC 的取值范围为
2. 【江苏省如东高级中学
2016届高三上学期期中考试数学试题】在ABC ∆中，若
5,12,||||AB AC AB AC BC ==+=，则
||
BA BC
BC ⋅的值为________
【答案】
25.13
3. 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知)sin (cos αα，
=m ，)12(，=n ，⎪⎭
⎫
⎝
⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)2
32sin(πα ▲ .
【答案】725
-
【解析】
试题分析：2cos sin 1m n αα⋅=+=,sin 12cos αα=-,由22sin cos 1αα+=得
()2212cos cos 1αα-+=即25cos 4cos 11
αα-+=，又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，解得4cos 5α= 237
sin(2)cos 212cos 225πααα+
=-=-=-
4. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】 已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，0)，则|2a
＋b |＝________． 【答案】13．
【解析】()23,2a b +=-，
()
23a b +=
-=．
5. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在ABC ∆中，
3AB AC ==，1
cos 3
BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .
【答案】2- 【解析】 试
题
分
析
：
2221
()()[()]()()
3333
AD BC AC CD BC AC CB BC AC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-22211
6132
333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-
6. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】已知向量a =(1，2)，b = (x ，-2)，且a ⊥(a -b )，
则实数x = ▲ ． 【答案】9 【解析】
试题分析：由题意得2
()5(4)909.a a b a a b x x x ⋅-=-⋅=--=-=⇒=
A
B C D
第11题
7. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x
轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ． 【答案】[7,11]
8. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】向量
a ＝(1,2)、
b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，
则实数k ＝_________． 【答案】－13 【解析】
试题分析：由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－1
3.
9. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋1
2·→
AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→
DC ＝ ． 【答案】3 【解析】
试题分析：设正ABC ∆边长为a ，11
()22
DC AC AD AC AB AC AC AB =-=-+=-，所以2
2214DC AC AC AB AB =
-⋅+2221cos 43a a a π=-+，即23
34
a =，2a =，11()()22DA DC AB AC AC AB ⋅=-+⋅-22213
344
AB AC a =-==．
10. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】（本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与
b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；
（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．
【答案】（1）k ＝－13±1336；（2）当k ＝－2
3时，|k a －2b |取得最小值为23． 【解析】
试题分析：（1）k a －b 与a －k b 垂直的条件是(k a －b )·(a －k b )＝0，由此可得k 值；（2）要求|k a －2b |取得最小值，可以把|k a －2b |平方化为向量的平方，从而化为k 的二次函数，可得最小值．
试题解析：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0． ∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0． ∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分 （2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．
∴当k ＝－2
3时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分
二、解答
1. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n . (1) 求B ；
(2) 若b ＝13，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝
33926，求a .
【答案】（1）B ＝π
3
；（2）1．
【解析】 (1) 因为m ∥n ，所以a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，(2分)
因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝1
2，(4分)
B ∈(0，π)(5分)
故B ＝π
3
.(6分)
(2) 因为A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，5π6，(7分)
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝33926，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝51326
，(9分)
所以sin A ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6－π6＝3926，(11分)
在△ABC 中，由正弦定理可得：a sin A ＝b
sin B
，(13分)
解得a ＝1.(14分)
2. 【泰州市
2016届高三第一次模拟考试】在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量
(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．
（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；
（2）若⊥m n ,a b >，求tan
2A B
-的值． 【答案】（1）详见解析（2）tan 12
A B
-=
试题解析：证明：（1）因为cos cos a A b B =，
所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分 （2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2
A B π
-=
，…12分
所以
tan
tan 124A B π
-==.
……………14分
1.3. 【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知P 是ABC ∆内一点，且满足条件23AP BP CP ++=0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP =p ，用p 表示
CQ .
【答案】2CQ p =【解析】
试题分析：利用向量三角形法则，将条件23AP BP CP ++=0转化为一组不共线向量CQ （)CP 及()AQ BQ ,即3230AQ QP BQ CP +++=，
从而0,20,22QP CP QC CP CQ CP p +=+=== 试题解析：解：QP AQ AP += ，QP BQ BP +=，
03)(2)(=++++∴CP QP BQ QP AQ .0323=+++∴CP BQ QP AQ .
又B Q A ,, 三点共线，Q P C ,,三点共线，∴令BQ AQ λ=，QP CP μ=.
323=+++∴CP BQ QP BQ μλ，
0)33()2(=+++QP BQ μλ. ......................6分 又BQ ，QP 为不共线的向量，20,
330.λμ+=⎧∴⎨+=⎩
解得2λ=-，1μ=-. .....................................................8分
CP QP PQ ∴=-=，故22CQ CP PQ CP p =+==. ..............10分。