《高级宏观经济学》习题和答案5

4.6
假定一个人只存活两期，并且拥有效用函数12ln ln C C +。

a) 假定这个人的劳动收入在其生命的第1期为1Y ，第2期为0。

因此，其第2期消费为
()()111r Y C +-；收益率r 可能是随机的。

i. 求这个人在选择1C 时的一阶条件。

ii.
假定r 从确定变为不确定，且[]E r 没有任何变化，问1C 如何对这一变化作出反应？
b) 假定这个人的劳动收入在第1期为0，第2期为2Y 。

因此，其第2期的消费为
()211Y r C -+。

2Y 是确定的；r 可以是随机的。

i. 求这个人在1C 时的一阶条件。

ii. 假定r 从确定变为不确定，且[]E r 没有任何变化，问1C 如何对这一变化作出反应？
答：
a) 实际利率可能是随机的，所以可以表示为()r E r ε=+，其中ε是均值为0的扰动项。

max ()12ln ln U C E C =+
将表达式代入，所以()(
)()11
1
ln ln 1U C E E r Y C ε⎡⎤=+++-⎣⎦
对两边求导可得：
()()()()()()1111/1/11/10U C C E E r E r Y C εε⎡⎤∂∂=+-++++-=⎣⎦
化简后便有()1111/1/0C E Y C --=⎡⎤⎣⎦ 从而得到11/2C Y =
上述过程表明，1C 并不受r 是否为确定性的影响。

即使r 是随机变量，个人仅消费第一期收入的一半而将另一半储蓄起来。

b) max ()12ln ln U C E C =+，()2211C Y r C =-+
所以有()121ln ln 1U C E Y Er C ε=+-++⎡⎤⎣⎦ 对两边求导可得：
()()112/1/1/0U C C E E r C ε⎡⎤∂∂=-++=⎣⎦
根据公式[]()()()cov ,E XY EX EY X Y =+
因为()2211C Y r C =-+，所以易知()()
2cov 1,1/0E r C ε++>
如果r 是确定的，所以()r E r =，所以()()()()
1211/1/1C E r Y E r C ⎡⎤=+-+⎣⎦ 化简后得到：()()
11/21C Y E r =+。

如果r 是随机的，根据詹森不等式有[][]221/1/E C E C >，
()()()()()()()
2221/11/cov 1,1/E E r C E E r E C E r C εεε⎡⎤++=+++++⎡
⎤⎣⎦⎣⎦ ()()
()()
()()()()
222111/1/1/1E E r E C E E r E C E r Y Er C εε>++⎡⎤⎣⎦>++⎡⎤⎣⎦=+-+
所以可以得到：()()
11/21C Y E r <+。

当r 不确定的时候，第一期的最优消费变小了，
消费者更加谨慎。

4.7
a) 用推导方程4.23时使用的论证方法证明：家庭最优化要求：
()()(){}
111/11/1t t t t t t b l e E w r b w l ρ-+++-=+-⎡⎤⎣⎦。

b) 证明这一条件可从4.23和4.26中得出。

答：
a) 家庭的总效用函数为()0
,1/t t t t t U e u c l N H ρ∞
-==
-⎰
，()(),1ln ln 1t t t t u c l c b l -=+-
假设家庭在t 期增加其劳动供给l ∆，这不会改变终生的效用。

()()///1t t t t U l e N H b l ρ-∂∂=--，所以t 期增加劳动供给l ∆的成本（效用减少）为：
()()//1t t t e N H b l l ρ--∆⎡⎤⎣⎦
这一变化增加了t 期的收入，为t w l ∆，家庭的人口增长率为n e ，所以在t+1期增加的人均收入为()11n
t t e
r w l -++∆⎡⎤⎣⎦。

如果消费路径不变，财富的增加可以导致劳动供给的减少，所以可以减少t+1期的劳动
供给为：()111/n t t t e r w l w -+++∆⎡⎤⎣⎦，所以导致t+1期的效用增加为：
()()()()11111//11/t n
t t t t t t E e N H b l e r w l w ρ-+-++++⎡⎤⎡⎤-+∆⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 终生效用不变，所以有：
()()//1t t t e N H b l l ρ--∆=
⎡⎤⎣⎦
()()()111111/1t n t t t t t t N b E e e r w l w H l ρ-+-++++⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦-⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦
化简后便有：()()(){}
111/11/1t t t t t t b l e E w r b w l ρ
-+++-=+-⎡⎤⎣⎦
b) 考虑t 期的家庭，假设家庭成员降低当前的消费为c ∆，将增加的财富用于增加下一期
的消费。

4.23表明：
()111
11t t t t e E r c c ρ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
4.26表明
1t t t c w
l b =-，1111t t t c w l b
+++=-，代入到4.23中得到： ()()(){}
111/11/1t t t t t t b l e E w r b w l ρ-+++-=+-⎡⎤⎣⎦
4.8
一个经简化且具有加性技术冲击的真实经济周期模型。

考虑一个人数固定且人们都长生不老的经济。

代表性个人最大化
()()0/1t
t t u C ρ∞
=+∑的期望值，0ρ>。

即期效用函数的形
式为()2
t t t u C C C θ=-，0θ>。

假定C 总是在使得()0u C '>的区间里。

产量是资本的线性函数再加上一个扰动项：t t t Y AK e =+。

无折旧，因此1t t t t K K Y C +=+-，且利率为A 。

假定A=ρ。

最后，扰动服从一阶自回归过程：1t t t e e φε-=+，其中11φ-<<，t ε是均值为0的独立同分布的外来冲击。

a) 求把1t C +的期望与t C 联系起来的一阶条件（欧拉方程）。

b) 猜想消费函数具有如下形式：1t t t C K e αβγ+=++。

若是这样，请把1t K +表示为t K 和
t e 的函数。

c) 参数,,αβγ须取何值才能使a ）中的一阶条件对t K 和t e 的所有值都成立？
d) 一次性的t ε冲击对Y 、K 和C 的路径有何影响？ 答：
a) 假定个人个人降低t 期的消费C ∆，将增加的财富用于下一期的消费。

()()212t t t t t u C C C u C C θθ'=-⇒=-
t 期的效用成本为()[]1/112t
t C C ρθ⎡⎤+-∆⎣⎦
t+1期的的预期效用增加为()[](){}
1
11/1121t t E C A C ρθ++⎡⎤+-+∆⎣
⎦
因此有()[]1/112t t C C ρθ⎡⎤+-∆⎣⎦
()[](){}
1
11/1121t t t E C A C ρθ++⎡⎤=+-+∆⎣
⎦
化简后便有[]1t t t C E C +=，消费服从随机游走。

b)
1t t t C K e αβγ+=++，将方程t t t Y AK e =+，1t t t t K K Y C +=+-代入得到
()()111t t t K A K e αβγ+=-++-+-
c) 将其代入到[]1t t t C E C +=中有：[]11t t t t t K e E K e αβγαβγ++++=++
化简（其中[]1t t t E e e φ+=）得到：
()()()11t t t t K e A K e αβγαββββγφβ++=-++-++-⎡⎤⎣⎦
()
()()
110,,1A A A A ααββββαβγφγβγφβ=-⎧⎪
=+-⇒===
⎨-+⎪=+-⎩
（舍去0,0βγ==的解） d)
1t t t A C AK e A φ⎛⎫
=+ ⎪-+⎝⎭，111t t t K K e A φφ+⎛⎫-=+ ⎪-+⎝⎭
假设t 期存在一次性的正的冲击()1t A εφ=-+，之后恢复为0。

t 期：t K 不受影响，而()1t t t Y A K e A φ∆=∆+∆=-+，存在冲击时产出高出()1A φ-+，
消费的变化为()1t t t A
C A K e A A φ⎛⎫∆=∆+∆= ⎪ ⎪-+⎝⎭
，存在冲击时消费高出A
t+1期：
()11t t e e A φφφ+∆=∆=-+，所以有：
()1111t t t K K e A φφφ+⎛⎫
-∆=∆+∆=- ⎪-+⎝⎭
()1111t t t Y A K e A φφ+++∆=∆+∆=+-
()1111t t t A
C A K e A A φ+++⎛⎫∆=∆+∆= ⎪ ⎪-+⎝⎭
t+2期：
()2211t t e e A φφφ++∆=∆=-+
()2
211111t t t K K e A φφφ+++⎛⎫-∆=∆+∆=- ⎪-+⎝⎭
()22221t t t Y A K e A φφ+++∆=∆+∆=+-
()2
221t t t A
C A K e A A φ+++⎛⎫∆=∆+∆= ⎪ ⎪-+⎝⎭
综上分析，所以有：()1,1n
n t n t n Y A K φ
φφ++∆=+-∆=-，t n C A +∆=
01φ<<时，冲击发生后资本存量上升()1φ-，接着它继续上升直到达到新的长期水
平1上。

产出在冲击发生后上升()1A φ-+，接着继续下降直到达到新的长期水平A 。

10φ-<<时，资本和产出震荡，在长期水平上不断上下波动，最终稳定于1和A 上。

4.9
一个经简化且具有偏好冲击的真实经济周期模型。

考虑习题4.8中的情境，但假定没有技术
扰动且即期效用函数为()()2
t t t t u C C C v θ=-+。

t v 是均值为0的独立同分布的外来冲击。

a) 求把1t C +的期望与t C 联系起来的一阶条件（欧拉方程）。

b) 猜想消费函数具有如下形式：t t t C K v αβγ=++。

若是这样，请把1t K +表示为t K 和t
v 的函数。

c) 参数,,αβγ须取何值才能使a ）中的一阶条件对t K 和t v 的所有值都成立？ d) 一次性的t v 冲击对Y 、K 和C 的路径有何影响？ 答：
a) 假定个人个人降低t 期的消费C ∆，将增加的财富用于下一期的消费。

()()()()2
12t t t t t t t u C C C v u C C v θθ'=-+⇒=-+
t 期的效用成本为()()1/112t
t t C v C ρθ⎡⎤+-+∆⎡⎤⎣⎦⎣⎦
t+1期的的预期效用增加为()()(){}
1111/1121t t t E C v A C ρθ+++⎡⎤+-++∆⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
因此有()()1/112t t t C v C ρθ⎡⎤+-+∆⎡⎤⎣
⎦⎣⎦ ()()(){}
1
111/1121t t t t E C v A C ρθ+++⎡⎤=+-++∆⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
化简后便有[]1t t t t C v E C ++=， b)
t t t C K v αβγ=++，将方程t t Y AK =，1t t t t K K Y C +=+-代入得到：
()11t t t K A K v αβγ+=-++--
c) 将其代入到[]1t t t t C v E C ++=中有：[]11t t t t t t K v v E K v αβγαβγ+++++=++
化简（其中[]10t t E v +=）得到：
()()11t t t t t K v v A K v αβγαββββγ+++=-++--
()
()1110,,11A A A ααββββαβγγβγ
=-⎧⎪
=+-⇒===-⎨
+⎪+=-⎩
（舍去0,1βγ==-的解） d)
11t t t C AK v A ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，111t t t K K v A +⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
假设t 期出现一次性的正的冲击1t v A =+，之后恢复为0。

t 期：t K 不受影响，t t Y AK =也不受影响。

消费降低了1。

t+1期：
和没有冲击时相比，1t K +提高了1，产出提高了A ，1t C +提高了A 。

t+2期：
各个量保持在新的水平上。

具体如图4.9所示：
4.10
4.3节模型的平衡增长路径。

考虑无任何外来冲击时的4.3节模型。

令*
*
*
*
,,,y k c G 分别表示/,/,/,/Y AL K AL C AL G AL 的平衡增长路径值；令*w 表示/w A 的值；*l 表示/L N 的值；*
r 表示r 的值。

a) 使用方程4.1-4.4、4.23、4.26以及*
*
*
*
*
*
,,,,,y k c w l r 在平衡增长路径上不变这一事实，
求关于这6个变量的6个方程。

b) 若考虑4.7节中所假定的参数值，则在平衡增长路径上，消费和投资在产量中会各占多
大份额，资本与年产量之比又会是多少？ 答：
a) 首先，密集形式的生产函数为：*
*y k
α=…………①
根据资本的积累方程：1t t t t t t K K Y C G K δ+=+---，两边除以t t A L 得到：
******n g e k k y c G k δ+=+---…………②
对实际工资方程()[]*
1/,/t t t t t t t w K A L A w w A α
α=-=，得到：
()**1w k αα=-…………③
均衡增长路径上()
1*
*r k ααδ--=-…………④
根据4.26有
1t t t c w
l b
=-，***,/t t t t c c l A w w A ==，得到：
***
*
1c l w l b
=-…………⑤ 根据4.23，
()111
11t t t t e E r c c ρ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
此处均衡路径上没有不确定性，所以有 *1g r e ρ++=…………⑥
b) 假设如下的参数变量：
**1/3,0.005,0.0025,0.025,0.015,1/3g n r l αδ======（季度数据）
由④可得：*24.0563k = 再代入①可得：*
2.8868y =
均衡路径上政府购买占产出比例为0.2，所以*
*
/0.20.5774G G AL y === 根据②可以求得：* 1.5269c =
消费在产出中的份额：*
*
//0.5289C Y c y == 投资在产出中的份额：/10.52890.20.2711I Y =--= 资本与年产出之比：*
*
/4/4 2.083K Y k y == 4.11
通过寻找社会最优来求解真实经济周期模型。

考虑4.5节的模型，为了简单，假定n g A ==
0N ==。

价值函数(),t t V K A 是代表性个人的一生效用的预期现值，它是资本存量和技术
的函数。

a) 直观解释为什么价值函数必须满足：
()()(){}
11,,max ln ln 1,t t
t t t t t t t C l V K A C b l e E V K A ρ-++=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 该条件通常被称为贝尔曼方程。

给定该模型的对数线性结构，我们猜想()V 具有如下的形式：()0,ln ln t t K t A t V K A K A βββ=++，其中各参数待定。

将这一猜想及1t K +=
t t Y C -和[]1ln ln t t A t E A A ρ+=代入贝尔曼方程可得：
()()(){}
0,,max ln ln 1ln ln t t
t t t t K t t A A t C l V K A C b l e Y C A ρ
βββρ-=+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

b) 求t C 的一阶条件。

证明它意味着/t t C Y 不依赖于t K 或t A 。

c) 求t l 的一阶条件。

使用这一条件和b ）中的结果证明t l 不依赖于t K 或t A 。

d) 将生产函数和b ）、c ）中关于最优t C ，t l 的结果代入上面()V 的方程，并证明所得表
达式的形式为()0
,ln ln t t K t A t V K A K A βββ'''=++。

e) K β和A β为何值才能使K K
ββ'=和A A ββ'=？ f)
/C Y 和l 的值为多少？它们与4.5节中0n g ==情形下/C Y 和l 的取值相同吗？
答：
a) 从直观角度解释，在t 期最大化其一生的效用得到的值函数，相当于在t+1期最大化终
生的效用得到的值函数的期望贴现到当期，然后加上最大化t 期所获得的效用。

b) 猜测解的形式为：()0,ln ln t t K t A t V K A K A βββ=++，代入得到
()()[]{}
011,,max ln ln 1ln ln t t
t t t t t K t A t C l V K A C b l e E K A ρβββ-++=+-+++⎡⎤⎣⎦ []()1ln ln t t t t E K Y C +=-，[]1ln ln t t A t E A A ρ+=
()()(){}
0,,max ln ln 1ln ln t t
t t t t t K t t A A t C l V K A C b l e E Y C A ρβββρ-=+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以t C 一阶条件为：
()()1///1/1t K t t t t K C e Y C C Y e ρρββ--=-⇒=+不依赖于t K 或t A 。

c)
t l 的一阶条件为：
()()()()()1/1/1/1/t K t t t t t K t t t t b l e Y C K A l e Y C Y l ραααρβαβα----⎡⎤⎡⎤-=--=--⎣⎦⎣⎦
因为(
)
/1/1t t K C Y e ρ
β-=+，所以有
()
()()11/1t K l b e ρ
ααβ--=
⎡⎤-++⎣⎦
，所以人均劳动供给不依赖于t K 或t A 。

d) 将消费和人均劳动供给的最优选择代入值函数，可以发现
()()()(){}
,ln /1ln /11t t t K K V K A Y e b b e b ρρ
βαβ--⎡⎤⎡⎤=++-+++⎣⎦⎣⎦
(){
}
0ln /1ln K K t K A A t e
e Y e A ρ
ρρ
βββββρ---⎡⎤+++⎣⎦
化简后得到：()0
,ln ln t t K t A t V K A K A βββ'''=++ 其中()()()
1,11K
K A K A A e e e ρ
ρ
ρ
βαββαββρ---''=+=-++ e) ()()()()()()()/11111/11K K K K A A K A A A A e e e e e e ρρρρ
ρρβααββαβββαββρβααρ------⎧⎧=-'==+⎪⎪
⇒⎨⎨
⎡⎤'==-++=---⎪⎪⎩⎣⎦⎩
f)
代入到/t t C Y 的表达式可以得到/1t t C Y e ρα-=-
代入到t l 的表达式中可以得到()()(
)1/11t l b e
ρ
ααα-⎡⎤=--+-⎣
⎦
它们与4.5节中0n g ==情形下/C Y 和l 的取值相同。

4.14
a) 如果t
A 一致为0，而且如果ln t Y 按4.39变化，那么最终ln t Y 会达到什么路径？ b) 将t
Y 定义为ln t Y 与a ）中得到的路径之差。

请推导4.40。

答： a)
()
1t t t t Y K A L α
α-=，两边取对数得到()()ln ln 1ln ln t t t t Y K A L αα=+-+
1ˆˆ,t t t
t L lN K sY -==，所以上式可以写为： ()()
1ˆˆln ln ln 1ln ln ln t t t t Y s
Y A l N ααα-=++-++ ln ,ln t t t
A A gt A N N nt =++=+ ，代入上式得到： ()()()()()
1ˆˆln ln ln 111ln t t t
Y s Y A gt A l N nt ααααα-=++-++-+-++ 化简后得到：
()()()
()()()()1ˆˆln ln 1ln ln 11t t t
Y n g t s A l N n g Y n g t A ααααα--+=+-++-++-+-+-⎡⎤⎣⎦ 令()()
()ˆˆln 1ln Q s
A l N n g ααα=+-++-+，所以方程可以写为： ()()()()1ln ln 11t t t Y n g t Q Y n g t A αα--+=+-+-+-⎡⎤⎣⎦
1ln ln ,0t t t
Y Y n g A --=+= （均衡增长路径上） 所以可以得到()()*
ln /1t Y Q n g t α=-++
b) 定义*ln ln t t t
Y Y Y =- ，所以有()()ln /1t t Y Y Q n g t α=---+ 同理有()()()11
ln /11t t Y Y Q n g t α--=---+- 所以可以得到：()11t t t
Y Y A αα-=+- 4.15
资本的对数线性运动方程4.52的推导。

考虑资本的运动方程：()11t t t t t t t t K K K A L C G K α
αδ-+=+---。

a) i. 证明()()111ln /ln 1/t t t t t K K r K K +++∂∂=+。

（令,,,t t t t A L C G 不变） ii.
证明在平衡增长路径上取值的1ln /ln t t K K +∂∂为(
)*
1/n g
r
e
++。

b) 证明：()
()11231231t t t t t t K K A L G C λλλλλλ+=++++---
其中(
)()()()()
*
*
**1231/,1/,//n g n g n g
r
e r e r G Y e λλαδαλδα+++=+=-+=-+，
并且()*
/G Y 表示无外来冲击时平衡增长路径上的G 与Y 之比。

c) 使用b ）中的结果和方程4.43~4.44推导4.52，其中：
()121231KK LK CK b a a λλλλλ=++---； ()()212311KA LA CA b a a λλλλ=++---； ()231231KG LG CG b a a λλλλλ=++---。

答： a) i.
证明：
()
11t t t t t t t t t t t t t K K Y C G K K K A L C G K α
αδδ-+=+---=+---
()()111111
ln 11/ln t t t t
t t t t t t t t t K K K Y K r K K K K K K K δ++++++⎡⎤∂∂∂==+-=+⎢⎥∂∂∂⎣⎦
ii. 证明：
没有外来冲击的均衡增长路径上，资本的增长率为n g +，所以
()*1ln 1/ln n g t bgp
t
K r e K ++∂=+∂…………①
b) 证明：
()()111111
1ln 1ln t t t t t t t t t t t t t Y K K A A
K A L A A K K K ααααα--+++++-∂∂==-=
∂∂ 均衡增长路径上()
*t t Y r K αδ=+，所以
()()()()
**11
11ln ln t t bgp
n g
t
t r K r K A K e
αδαδα+++-+-+∂=
=
∂…………②；
()()111111
1ln 1ln t t t t t t t t t t t t t Y K K L L
K A L L L K K K ααααα--+++++-∂∂==-=
∂∂ ()()()()
**11
11ln ln t t bgp
n g
t
t r K r K L K e
αδαδα+++-+-+∂=
=
∂…………③；
11111ln ln t t t t t
t
t t t t t t
K K G G Y G G G K K K Y +++++∂∂==-=-∂∂ ()()
*
*1/ln ln t bgp
n g
t
r G Y K G e
δα+++∂=-
∂…………④；
1111
ln ln t t t t t t t t K K C C
C C K K ++++∂∂==-∂∂，
()*11
1ln ln n g t t t t bgp
t
t Y G K e K K C K δ+++⎡⎤
----∂⎣
⎦=-∂…………⑤；
定义：()()()()()*
*
**1231/,1/,//n g
n g n g r
e
r e r G Y e λλαδαλδα+++=+=-+=-+
所以()()()()*
*
*
123
/1111n g n g
r G Y r e e δαλλλα++⎡⎤+--+⎣⎦
---=-+
()*
//t t t t r
Y K Y K δα+=∂∂=，1n g t t K e K ++=，()*t t Y r K αδ=+
()()***12311
111n g n g t t t t t t t
t t Y G K e K e K r K G Y Y K K δαλλλ++++⎡⎤
-----++-+⎣
⎦---=
=-
所以有
1123ln 1ln t bgp
t
K C λλλ+∂=---∂…………⑥；
根据对数线性化，得到： 111
1
1
1
ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln t t t t t t bgp t bgp t bgp t bgp t bgp t
t
t
t
t
t
K K K K K K K A L G C K A L G C ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因此得到： ()
()11231231t t t t t t K K A L G C λλλλλλ+=++++--- …………⑦
c) 证明：
t Lk t LA t LG t L a K a A a G =++ t Ck t CA t CG t C a K a A a G =++
将其代入到⑦中，便得到1t KK t KA t KG t K b K b A b G +=++
其中：
()121231KK LK CK b a a λλλλλ=++---， ()()212311KA LA CA b a a λλλλ=++---， ()231231KG LG CG b a a λλλλλ=++---。

5.3
标准凯恩斯主义模型中的政府预算。

a) 平衡预算乘数。

假定计划支出如下：()()
e E C Y T I i G π=-+-+。

i.
G 和T 相同的增加如何影响IS 曲线的位置？具体而言，在i 给定的情况下，对Y 的效应是什么？ ii.
G 和T 的相同的增加如何影响AD 曲线的位置？具体而言，在P 给定的情况下，对Y 的效应是什么？
b) 自动稳定器。

假定税收收入T 不是外生的，而是收入的函数：()(),0T T Y T Y '=>。

在这一变化下，找出()T Y '的增加是如何影响以下各项的： i. IS 曲线的斜率。

ii. P 给定的情况下，G 和M 的变化对Y 的效应。

答：
a) 平衡预算乘数。

i.
IS 曲线：()(
)e
Y C Y T I i G π
=-+-+，对G 求导，得：
1Y T dY
dY dT C dG
dT dG -⎡⎤
=-+⎢⎥⎣⎦
G 和T 相同的增加如意味着dT dG =，所以有：
11Y T dY
dY C dG
dG -⎡⎤
=-+⎢⎥⎣⎦
，化简后得到： 1i fixed
dY
dG
=，IS 曲线的水平移动数量等于政府购买的变化。

ii.
IS 曲线：()(
)e
Y C Y T I i G π
=-+-+，对G 求导，得：
1e Y T i dY
dY dT di C I dG
dT dG dG π--⎡⎤
=-++⎢⎥⎣⎦
G 和T 相同的增加如意味着dT dG =，所以有：
11e
Y T i dY
dY di C I dG
dG dG π--⎡⎤
=-++⎢⎥⎣⎦
LM 曲线：()/,M P L i Y =对G 求导，得：
0i
Y
di dY
L L dG dG
=+ 联立方程组，可以求得：
111/e Y T
P fixed
Y T Y i
i C dY
dG
C I L L π----=
<-+
所以AD 曲线的水平移动数量要小于政府购买的变动数量，即小于IS 曲线的移动数量。

b) 自动稳定器。

i.
()(),,,e Y E Y i G T Y π=-，对利率i 求导可得：
()
e Y T i dY dY dY
E E E T Y di di di π-'=++， 化简后求得IS 曲线的斜率为：
()
1e
Y T IS i E E T Y di dY E π-'--=
()()
/0e
IS
T
i di dY E T Y E π-∂=-
<'∂，所以()T Y '的增加导致IS 曲线的斜率变小，从而使得其更加陡峭。

ii.
情形一：G 的增加。

()(),,,e Y E Y i G T Y π=-，对G 求导得到：
()
e Y G T i dY dY di dY
E E E E T Y dG dG dG dG
π-'=+++ ()/,M P L i Y =对G 求导，得：0i Y
di dY
L L dG dG
=+ 联立求得：
(
)
()
01/e G
P fixed
Y Y i T i E dY
dG
E E L L E T Y π-=
>'-+-
(
)()
()
()() 2
/01/e P fixed
G
T Y Y i T i dY dG
E E T Y E E L L E T Y π-∂-=
-<'∂⎡⎤
'-+-⎣⎦
所以，当G 增加的时候，会导致收入Y 的增加，但是此时税收同样增加，从而()T Y '增加，从而导致收入Y 的减少，因此和没有税收的情形相比，收入的增加减少了。

情形二：M 的增加。

()(),,,e Y E Y i G T Y π=-，对M 求导得到：
()
e Y T i dY dY di dY
E E E T Y dM dM dM dM
π-'=++
()/,M P L i Y =对M 求导，得：
1i Y
di dY
L L P dM dM
=+ 联立求得：
()
() 01/e
e i P fixed
i Y Y i T i E dY dM
PL E E L L E T Y ππ--=
>⎡⎤'-+-⎣⎦
(
)()
()
()
()
() 2
2
/01/e e P fixed
i T i i Y Y i T i dY dM
E PL E T Y PL E E L L E T Y ππ--∂--=
<'∂⎡⎤
'-+-⎣⎦
所以，当M 增加的时候，会导致收入Y 的增加，但是此时税收同样增加，从而()T Y '增加，从而导致收入Y 的减少，因此和没有税收的情形相比，收入的增加减少了。

上述两种情形表明了收入税的自动稳定器的作用。

当实施货币政策或者财政政策的时候（G 、M 的变化），存在收入税的情形下对产出的冲击要小于没有收入税的情形。

5.8
假定价格给定，且有：（1）浮动汇率和完美的资本流动性；（2）固定汇率和完美的资本流动性；（3）浮动汇率和不完美的资本流动性。

在以上几种不同的情形下，以下这些变化是如何影响收入、汇率和净出口的？假定静态汇率预期，并假定计划支出由罗默《高级宏观经济学》267页注释①中的表达式给出。

a) 在i 和Y 给定的情况下，货币需求下降。

b) 外国利率上升。

c) 该国采取贸易保护主义政策，因此在真实汇率给定的情况下的净出口比以前更高。

答：
计划支出表达式：()(
)()*
/e
E C Y T I i G NX P
P πε=-+-++
i.
对于浮动汇率和完全资本流动，有：
*IS 曲线：()()()**/e Y C Y T I i G NX P P πε=-+-++
*LM 曲线：()*/,M P L i Y =
ii.
对于固定汇率和完全资本流动，*IS 曲线仍为上式，汇率方程为：εε=
iii. 对于浮动汇率和不完全资本流动，有：
**IS 曲线：()()()*e Y C Y T I i G CF i i π=-+-+--
LM 曲线：()/,M P L i Y =
a) 在i 和Y 给定的情况下，货币需求下降。

i.
由于/M P 不变，利率等于国际利率水平也不变，所以此时货币需求的下降必然导致收入Y 的上升以使得货币市场实现均衡，所以*
LM 曲线向右移动而*IS 曲线不发生变化。

所以此时ε上升（本币贬值），净出口增加。

如图5.8.1所示。

ii.
货币需求的下降不会影响*IS 曲线。

名义汇率仍然固定在εε=。

央行必须降低货币供给来配合货币需求的降低。

因此，收入和净出口不变。

如图5.8.2所示。

iii. **IS 曲线不受影响。

LM 曲线向下移动，所以利率下降。

如图5.8.3所示，可知收入Y
上升。

国内利率下降导致资本流出，所以净出口上升，因为价格不变，所以名义汇率必须上升，即本币贬值。

b) 国外利率上升。

i.
国外利率的上升，导致实际货币需求减少，所以*
LM 曲线向右移动。

同时国外利率的上升会导致*IS 曲线向上移动。

如图5.8.4所示，名义汇率上升（本币贬值），国民收入上升。

由于价格不变，所以净出口上升。

ii.
由于国外利率的上升，所以*IS 曲线向左移动，同时固定汇率的政策使得名义汇率水平不变。

中央银行将调整货币供给，所以如图5.8.5所示，国民收入降低。

汇率不变使得净出口不变。

iii. LM 曲线不受影响，国外利率的上升会使得国内资本流出，因此净出口必须增加以保
持国际收支平衡。

由于计划支出的增加导致**IS 向右移动，国民收入上升。

如图5.8.6所示。

但是此时国内利率也上升了，因此会导致资本的流入，所以必须要分析*i i -的变化：
()()()**e Y C Y T I i G CF i i π=-+-+--，对*i 求导可得：
()*****1e Y T i dY dY di di C I CF i i di di di di π--⎡⎤'=+---⎢⎥⎣⎦
()/,M P L i Y =，对*i 求导可得**
0i
Y di dY
L L di di
=+ 联立方程组后可以求得：()()[]***11/e Y T i Y
i CF i i di
di CF i i I C L L π--'-=
<'---- 所以*i i -下降所以最后的总效应是资本的流出，因此净出口必须上升以保持国际收支平衡，所以名义汇率必须上升，本币贬值。

c) 该国采取贸易保护主义政策，因此在真实汇率给定的情况下的净出口比以前更高。

i.
*LM 曲线不受影响。

净出口的增加导致*IS 曲线向右移动。

所以国民收入不变，名义
汇率下降，本币升值。

本币升值导致净出口重新下降，最终的效果是净出口不变，贸易保护政策不会改善经常项目。

如图5.8.7所示。

ii.
*IS 曲线向右移动，名义汇率固定不变。

因此，国民收入上升，净出口上升。

如图5.8.8
所示，贸易保护政策可以起作用。

iii. 此时两条线都不受到影响，所以收入不变，净出口不变。

所以名义汇率必须下降，本币
升值以抵消贸易贸易保护政策的影响。

5.11 考虑开放经济中带有5.3节不完美的资本流动性的总需求模型。

此处没有方程5.22所作出的简化。

除通常的假设外，再假设**//,0,0e Y P P P P i NX E NX NX εεπ-≥≥≤和1Y Y E NX -<。

a) 推导出**IS 曲线斜率的表达式。

b) 当我们沿着**IS 曲线向下移动时，ε是上升、下降还是保持不变？
c) “更大的资本流动性（即()CF ' 的一个更大值）使**IS 曲线更平坦”这一说法仍然正
确吗？ 答： a)
()*,,,,/e Y E Y i G T P P πε=-，两边对Y 求导数可得：
*/1e
Y i P P
di d E E E dY dY
πεε
-=++ ()()**,,,,/0e CF i i NX Y i G T P P πε-+-=，两边对Y 求导数可得：
()
**/0e Y i P P di di d CF i i NX NX NX dY dY dY
πεε-'-+++= 联立方程组，可以求得**IS 曲线斜率为：
()()****
*// *
/10e e
e P P Y Y P P IS i i i P P
NX NX E E di
NX E dY
CF i i NX E εεπππε---⎡⎤-+-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦=<'-+-
，**IS 曲线向右下方倾斜。

b) 联立方程组同样可以求得：
()**
**
** /0e Y
i IS IS P P
di
CF i i NX NX d dY
dY
E πεε
-⎡⎤'--+-⎣⎦=
>
所以沿着**IS 曲线移动，Y 和汇率ε上升，本币贬值。

c)
()()()*****/ /2
**
/10e e
e P P
Y Y IS P P i i i P P NX di NX E E dY CF i i NX E CF i i NX E εεπππε---⎛⎫+-∂ ⎪⎝⎭=>'∂-⎡⎤
'-+-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
因此资本流动性的增加会引起**IS 曲线斜率增加，**IS 曲线变得更加平坦。

5.12
在5.4节的情形1的分析中，假定就业由劳动力需求决定。

一个更为现实的假设也许是，既定真实工资下的就业等于需求和供给中最小的一个，这通常称为短边规则。

a) 在下列情形下，画图说明在这一假设下劳动力市场的情况。

i. P 处于产生最大可能产量的水平。

ii.
P 高于产生最大可能产量的水平。

b) 在这一假设下，总供给曲线的形状。

答： a) i.
P 处于产生最大可能产量的水平，此时就业和产出都处于最大水平。

劳动需求曲线和劳动供给曲线相交，不存在失业。

如图5.12.1所示。

ii.
P 高于产生最大可能产量的水平，此时实际工资较低，所以劳动需求大于劳动供给，根据短边规则，此时就业由劳动供给决定，产出比上面的情形要低。

如图5.12.1所示。

b)随着价格上升到*P之前，就业量由劳动需求决定，所以随价格的上升产出增加；当价
P之后，就业量由劳动供给决定，所以随着价格的上升产出减少。

如图5.12.2格高于*
所示，AS曲线为向后弯曲的。

5.13
Y。

说明此时劳动考虑5.4节情形2中的总供给模型，假定总需求在价格水平为P时为MAX
力市场中的情况。

答：
有效劳动需求和有效劳动供给相交在需求曲线变为垂直以前的情况下，即使有效劳动需求向右方移动，此时交点仍然不变，所以产出和就业不会发生改变，如图5.13所示。

5.14
假定生产函数为()Y AF L =，其中()()0,0,0F F A '''><> ，假定A 下降。

在5.4节的每一个总供给模型下，这个负的技术冲击如何影响AS 曲线？
答：
在模型1中，凯恩斯模型中企业雇佣劳动力直到劳动的边际产品等于实际工资，即劳动由下式决定：()/AF L W P '=。

在价格给定的情况下，实际工资不变，所以随着A 的下降，劳动的边际产量必须上升，所以劳动需求降低，所以产出减少，所以AS 曲线向左移动。

在模型2中，粘性价格、可变工资和竞争性劳动市场。

在P P =处，AS 曲线保持水平直到MAX Y 。

其中MAX Y 为边际成本等于固定价格时的产出水平。

当A 下降的时候，MAX Y 会下降，所以劳动需求曲线向左移动。

所以AS 曲线仍然是水平的，但是MAX Y 下降了。

如图5.14所示。

在模型3中，粘性价格、可变工资和劳动市场的不完美性。

此时的情况和模型2中相同。

在模型4中，粘性工资、可变价格和不完全市场。

价格等于边际成本加成，()()
W P L AF L μ='。

A 的下降会提高边际成本，所以在L 不变的时候，价格水平必然上升，所以AS 曲线向上移动，无论AS 曲线本身是向上倾斜、向下倾斜还是水平的。