高中数学课时检测6两条直线的交点含解析苏教版选择性必修第一册

两条直线的交点
[A 级 基础巩固]
1．直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( )
A ．(2，0)
B ．(2，1)
C ．(0，2)
D ．(1，2)
解析：选C 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， 即直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0，2)．
2．若直线2x ＋3y －k ＝0与直线x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k 的值为( )
A ．－24
B ．6
C ．±6
D ．24
解析：选C 法一：联立方程得⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，消去y 得x ＝k 2－363＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠－32. 由题意知k 2－363＋2k
＝0，解得k ＝±6. 法二：显然k ≠0，在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k 3
， 在x －ky ＋12＝0中，令x ＝0，得y ＝12k ，由题意可得12k ＝k 3
，解得k ＝±6. 3．(多选)下列各直线中，与直线2x －y －3＝0平行的是( )
A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0，a ≠－2)
B ．y ＝2x
C ．2x －y ＋5＝0
D ．2x ＋y －3＝0
解析：选ABC 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 项错误．其余的A 、B 、C 均满足斜率相等且截距不相等，故选A 、B 、C.
4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为
( )
A ．24
B ．20
C ．0
D ．－4 解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25
＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.
5．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，这个定点是( )
A ．(2，3)
B ．(－2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2，0)
解析：选B 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，
直线过定点(－2，3)． 6．三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10相交于一点P ，则实数a 的值为________，点P 的坐标为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，又点(4，－2)在直线ax ＋2y ＋8＝0上，所以4a ＋2×(－2)＋8＝0，解得a ＝－1.
答案：－1 (4，－2)
7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________．
解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35
，y ＝－75.
又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝13
， ∴直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋35，即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝0
8．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，则k 的取值范围是________．
解析：联立两直线的方程⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝
2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1， ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧－12<k <12，－12<k <－16， 即－12<k <－16
.
则k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
，－16. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
，－16 9．判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标．
(1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0；
(2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12
； (3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12
. 解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－103
，y ＝143，所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0， ①y ＝13x ＋12
， ② ②×6并整理得2x －6y ＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．
(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12
， ② ②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，
所以两直线无公共点，l 1∥l 2.
10．求经过直线l 1：3x ＋4y －5＝0与直线l 2：2x －3y ＋8＝0的交点M ，且满足下列条件的直线方程：
(1)与直线2x ＋y ＋5＝0平行；(2)与直线2x ＋y ＋5＝0垂直．
解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝5，2x －3y ＝－8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以交点M 的坐标为(－1，2)． (1)斜率k ＝－2，由点斜式求得所求直线方程为y －2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＝0.
(2)斜率k ＝12，由点斜式求得所求直线方程为y －2＝12
(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [B 级 综合运用]
11．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A ．(1，3)
B ．(－1，3)
C ．(3，1)
D ．(3，－1)
解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0
和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此所求定点为(3，－1)．故选D.
12．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．
解析：解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b ，得b ＝2.
答案：2
13．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l 的方程为________________________．
解析：法一：联立⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋2＝0，3x －4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝10， 所以两直线的交点坐标为(14，10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y －10＝x －14或y －10＝－(x －14)，
即x －y －4＝0或x ＋y －24＝0.
法二：设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ
＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1，解得λ＝－1或λ＝－57
，所以所求的直线方程为x －y －4＝0或x ＋y －24＝0.
答案：x －y －4＝0或x ＋y －24＝0
14．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，求a 应满足的条件．
解：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1.
②若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1.
③若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1.
当a ＝1时，l 1，l 2与l 3三线重合，当a ＝－1时，l 1，l 2平行．
④若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1， 将l 2，l 3的交点(－a －1，1)的坐标代入l 1的方程，
解得a ＝1(舍去)或a ＝－2.
所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.
[C 级 拓展探究]
15．已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？
解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2， 故当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0表示一条直线，该直线恒过定点P (－2，2)．。