模拟题 原创 资格证 全国 笔试 数学 2019年下半年高中数学模拟题答案解析(1) 殷祥 20190906

2019年下半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力试题（高级中学）模拟题（1）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.【答案】C 。

【解析】考查函数的定义。

整体换元：()1
111111x x f f x x x
x -
-⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+，故本题选C 。

2.【答案】B 。

【解析】考查取整函数。

[]y x =表示不大于x 的最大整数，1;n n n n -+⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，所
以111111lim 0,lim 1x x n n
a b x x x x -+→→⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-==-== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故本题选B 。

3.【答案】选B 。

【解析】本题考查了空间解析几何中的曲面及其方程，椭圆抛物面：22
22x y z a b
+=，双曲抛物面：22
22x y z a b
-=。

故本题选B 。

4.【答案】C 。

【解析】考查矩阵混合运算。

矩阵不满足乘法的交换律，排除法，故本题选C 。

5.【答案】D 。

【解析】考查导数的极限定义。

()()()2000010lim lim x
x x f x f e f x
x ∆∆→∆→+∆--'==∆∆，利用等价无穷小代换，得01lim x x
∆→-=∞∆，即不存在，故本题选D 。

6.【答案】C 。

【解析】考查特征值。

求特征值需用特征方程，0A E λ-=，代入0λ=和矩阵10202010A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，102020010a =，2a =，故本题选C 。

7.【答案】A
【解析】本题主要考查课标的知识。

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的修养。

主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

④中的描述属于数学建模素养。

故本题选A 。

8.【答案】A
【解析】本题主要考查课标的知识。

演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事物应遵循的规律，即从一般到特殊的推理。

归纳推理是由个别、特殊到一般的推理，通过实验验证结论和通过观察猜想得到结论的推理都是归纳推理。

故本题选A 。

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 9.【答案】sin11cos1
- 【解析】分析下题目，可知求速度即是求1t =时刻的导数。

sin 1cos dy
dy t dt dx dx t dt
==-，sin111cos1dy t dx =-当=时, 1t =时刻的速度大小为sin11cos1
-。

10.【答案】+2+290x y z -=
【解析】求切平面方程，考虑用法向量的方法。

(0,0,0),(1,2,2),OP (1,2,2)P ο=u u u r 令球心则
(,,z)(1,2,2)M x y PM x y z =---u u u u r 则是切平面上任意一点，则
OP (1,2,2)(1,2,2)0PM x y z ⋅=---⋅=u u u r u u u u r
1(-1)+2(-2)+2(2)=0
+2+290x y z x y z -∴-=即
11.【答案】见解析。

【解析】取3R 上一组基为'''123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)e e e ===
'11
'22'32
(1,1,3)(1,2,4)(0,1,1)Ae Ae Ae εεε======
则{}
33123(R )R (,,)A Aa a εεε=∈=r r ，
123110110(,,)121011341000εεε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等变换 所以123rank(,,)2εεε=，又因为13,εε线性无关，所以3
13(R )(,)A εε=，将13,εε进行施密特正交化，可得()11,1,3α=，()()132311,471,,,111111αεαεαα⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
-，所以子空间{}
33(R )R A Aa a =∈r r 的一组正交基为()11,1,3α=，2471,,111111α⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。

12.【参考答案】高中数学课程的基础性的具有以下几点含义。

（1）高中数学课程在课程内容上包含了数学中最基本的部分。

在义务教育阶段后，为满足需求给学生提供更高水平的数学基础，面向全体学生提供了学生现阶段学习及未来发展所需要的数学基础知识，为学生的未来发展奠定基础。

（2）高中数学课程为学生进一步学习提供了选修内容。

高中数学设有选修、选择性必修和必修课程，必修课程为学生发展提供共同基础。

是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求，也是高考的内容要求。

选择性必修课程是供学生选择的课程，也是高考的内容要求。

选修课程为学生确定发展方向提供引导,为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择,为大学自主招生提供参考。

（3）高中数学课程为学生适应未来社会生活、高等教育和职业发展等提供必需的数学基础。

例如，大学阶段理工科类的学生需要更多的数学知识，二高中数学课程为大学数学的学习提供了必备的数学基础知识。

（4）高中数学课程为学生学习其他学科的课程，如高中物理、化学、级数等，提供了必要的知识准备。

13.【参考答案】学生学习评价的方式多样，评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等。

（1）口头测验。

是指在教学过程中，教师通过与学生之间的言语互动，及时的了解学生的学习情况，找出问题并及时纠正。

（2）书面测验。

是指教师对学生的作业或者其他测验报告所做的书面性评价。

可以了解学生知识的掌握程度。

（3）书面评语评价。

教师对学生的作业或者其他活动报告所做的书面性评价，评价形式不仅仅是分数或是等级，评价用语一般以鼓励性为主，用以帮助学生认识和解决问题。

（4）课后访谈。

是指教师通过课后与学生的沟通交流了解学生数学学习情况的一种评价方式。

及时的了解学生的学习情况并帮助学生解决问题。

（5）建立成长记录袋。

是指将学生学习数学的学习过程记性而形成的书面存档。

这种评价方式随时的了解学生的学习成长过程，也可以有效的帮助学生建立
今后的学习目标和方向。

三、解答题（本大题1小题，10分）
14.答案：（1）222(4)y z x +=-（2）64π
【解析】（12'012yy +=整理可得3'x y y
=-代入点P （1,3）可得3(1)(1)y x -=--，可得切线方程为x +y -4=0,绕x
轴旋转一周只要将方程中的y 替换为222(4)y z x +=-
（2）旋转的图形是一个底面半径为4，高为4的圆锥，根据圆锥的体积公式可得：2164(4)433
V ππ=⨯⨯= 四、论述题（本大题1小题，15分）
15.【参考答案】函数是数学课程的主线，它贯穿于整个中学数学课程中，方程、不等式、数列等内容均与函数有非常密切的关系。

①函数与方程。

中学数学课程中一元二次方程的求解问题可以转化成对应函数的零点问题例如，求方程2430x x ++=的实数根问题，可以转化成求函数243y x x =++与x 轴交点的横坐标的值，即求函数的零点问题。

由此可以看出，方程可看做函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与x 轴的交点问题。

利用函数的整体性质可以研究方程的根的性质，判断根的个数，并根据根所在的区间。

②函数与不等式。

用函数的观点看，不等式的解集就是使函数图像在x 轴上方或下方的区域。

中学数学课程中的一元二次不等式的求解问题，可以借助二次函数的图像找到不等式的解集。

例如，求不等式2430x x ++<的解集，可以通过画图像243y x x =++，找到使函数值小于0的所有x 组成的集合，而这个集合就是不等式的解集。

③函数与数列。

数列是一种特殊的函数，它的定义域为自然数集或自然数子集。

数列是离散的函数，表现在坐标系中是一些离散的点的集合。

中学数学课程主要涉及等差数列和等比数列，等差数列的通项公式是一次函数的离散化，等差数列的前n 项和公式是二次函数的离散化。

等比数列的通项公式以及前n 项和公式都是指数函数的离散化，因此可以借助函数的性质来研究数列。

例如，求等差数列的前n 项和24n S n n =-在第几项取得最小值，可以将其转化为求函数24y x x =-的顶点横坐标问题，根据函数的顶点坐标公式可知，当x =2时函数y 取得最小值，即24n S n n =-在第2项取得最小值。

总之，在方程、不等式、数列等内容中，可以用函数思想思考、解决问题，用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16.【参考答案】（1）学生甲是直接利用等差数列的求和公式（1）进行求解
1(1)2
n n n S na d -=+ （1） 学生乙是将公式（1）进行整理，得到其变为2211(1)1()222
n n n n S na d d a d n An Bn -=+=+-=+ 经过这样的变形，把前项和n S 看成n 的二次函数的形式，从而进行求解。

对比两位同学的求解方式，可以发现甲同学的计算运算量比较大，计算过程中容易出现错误；乙同学经过问题的转换，利用“二次函数”这一模型，将问题的求解运算量降低很多，计算上比较简洁。

（对公式进行变形，从二次函数的角度是理解等差数列求和的一种技巧，在较少运算的同时，深刻理解知识点。

）
（2）【参考答案】结论是成立的。

推导过程如下：
2n S An Bn =+，由题意可知：22(1)(2)p q S Ap Bp q S Aq Bq p ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩
由(1)-(2)得：22()(),(+)+1A p q B p q q p A p q B -+-=-=-得
所以1(+)(3)B A p q =--，将(3)带入(1)得，2(+)Ap p Ap p q q --=
()(),p q Apq p q A pq
-+=-+=即 将()p q A pq -+=带入到(3)得：2()1p q B pq
+=-+ 所以22
2()()()()()[1]()p q p q p q S A p q B p q p q p q pq pq +-++=+++=++-++ ()p q p q p q S S -+=--=--
所以p q p q S S S +=--，结论得证。

（本题目解题方法不唯一，也可以采取特例的方法验证，但是如上写出推到过程是最具有说服力的一种答案。

建议考生详细深入研究答案。

）
六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17.【参考答案】（1）①问题一：在生活中，检测某奶粉配料成分是否违法质量安全情况时，食品工作人员一般抽取部分产品进行检测。

你认为这样的抽样方法科学吗？你还能举出生活中需要这种抽样方法的其他例子吗？
【设计意图】为了让学生初步了解生活中运用统计方法的实例，可以使其感受简单随机
抽样的价值。

让学生感受数学与生活的密切联系，引导学生举出实例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

问题二：某单位领导要了解全体员工的身体肥胖状况，随机抽取20名职工，统计这20名职工的肥胖情况，最后估计全体员工的身体肥胖状况，你认为这种抽样方法有什么优缺点，在随机抽样过程中应该注意什么？
【设计意图】运用生活中实例进行教学，可以使学生感受简单随机抽样的价值。

让学生感受数学与生活的密切联系，加深学生对简单随机抽样方法的理解。

②实例：经客户反映，某奶粉配料成分有三聚氰胺的使用问题。

针对该问题，食品卫生工作人员需要核对该生产商生产奶粉的质量安全问题，但是，对所有产品逐一检查，显然不太符合实际操作，人力物力财力都是非常大的。

因此，工作人员可以随机抽取部分奶粉进行卫生检测。

【设计意图】运用生活中实例进行教学，可以使学生感受简单随机抽样的价值。

让学生感受数学与生活的密切联系，加深学生对简单随机抽样方法的理解。

③教师活动：在1936年美国总统选举前，某杂志工作人员做了一次民意测验，即调查兰顿和罗斯福谁将成为下一届总统。

该调查者通过电话薄和车辆登记簿上面的名单（只有少数富人拥有）给一大批人发了调查表，通过分析调查表数据，从而做出预测。

问题一：该杂志工作人员运用了什么抽样方法？研究的总体和样本分别是什么？该抽样方法具有什么特征？
【设计意图】运用生活中实例进行教学，通过提出问题，可以使学生感受简单随机抽样的价值，加深对随机抽样方法运用的理解，进一步明确简单随机抽样的特征，为接下来知识的探究做铺垫。

问题二：该杂志工作人员通过抽样调查做出的的预测是兰顿将在选举中获胜。

但实际情况是罗斯福在选举中获胜，你知道杂志工作人员的预测错误原因是什么吗？可以从抽样样本角度考虑，是否样本具有代表性？
【设计意图】实际结果与预测结果不一致。

引起学生的思考与研究，进一步培养学生的发现问题，解决问题的能力。

问题三：通过刚刚讨论发现，该抽样样本中的被调查者是富人阶层，只占选票中的少数。

所以该工作人员所抽取的样本不具有代表性。

因此，我们在运用简单随机抽样进行调查时，应该注意什么问题？
【设计意图】通过实际案例，让学生深刻理解简单随机抽样选取样本的重要性，提高学
生数学思考意识，掌握知识运用时的注意点。

（2）①教学重点：学生了解简单随机抽样的意义，理解简单随机抽样的特点，掌握随机抽样的两种方法，抽签法和随机数表法，能够利用简单随机抽样解决实际问题。

②教学难点：理解简单随机抽样的概念及其方法的选择性。

③简单随机抽样是学生高中阶段接触统计的第一个知识点，统计知识的初步学习和统计思维的培养为后续教学内容奠定重要的基础。

后续内容有其他抽样方法，赝本估计总计的相关内容，均涉及“总体”“样本”等概念，学生这一部分内容的学习，均为后续的学习做铺垫。

学生学习简单随机抽样，感受其特点及其适用范围，为后续学习“系统抽样”“分层抽样”等抽样方法也奠定了重要的基础。