高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像优化训练北师大版必修42017082537

1.8 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1 x )的最小正周期是
（
） 1.(高考辽宁卷，文 2)函数 y=sin( 3
2
A.
B.π
C.2π
D.4π
2
1 x )的最小正周期 T=
解析：y=sin(
3
2
=4π
2
1 2 答案：
D
2.将 y=sinx 的图像变换为 y=3sin （
2x
)的两种变换方法如下，请在
“
”处填上变
3
换方法.
法一：y=sinx
y=sin2x
y=sin(2x+
)y=3sin(2x+
3
法二：y=sinxy=sin(x+ )y=sin(2x+ )y=3sin(2x+ ).
3 3
3
3
）； 1
图像上所有点横坐标缩短到原来的
图像上所有点向左平移 个单位
解法一：y=sinx
y sin 2x
y=sin2x 图
2
6 纵会标不变
像 上 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 y=sin ［ 2 （ x+
6
图像上所有点纵坐标伸
3
y=3sin(2x+
工到原来的 倍
).
3
横坐标不变
6
) ］ =sin(2x+
3
）
图像上所有点向左平移 个单位
解 法 二 ： y=sinx
y=sin(x+
3
3
)
1
2
图
像上所有点横坐标缩短到原来
的
图像上所有点横坐标缩短到原来的
纵坐标不变
y=sin(2x+ )
).
图像上所有点纵坐标伸
长到
原来的
3
倍
y=3sin(2x+
3
3 横坐标不变
3.已知函数 y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜
）在一个周期内的简图（如图
2
1-7-1），求其相应的函数表达式，并说明它是 y=sinx 经过怎样的变换得到的.
图 1-7-1
11
，所以 ω=2.又易知 A=2，所以 y=2sin （2x+φ）.将点
2 解：因为 T=
(
)
12 12
（
）=0.由|φ|< 得
，0）带入上式得 0=2sin ［2×（ ）+φ］，即 sin （φ- 12 12 6
2
1
φ=
6，所以y=2sin（2x+
6
）.
它的图像可由y=sinx的图像作如下变换得到：
y=sinx 图像上所有点y=sin(x+
向左平移
66
图像上所有点横坐标缩短为
)
1
原来的,纵坐标不变
2
y=sin(2x+
6
)
长到y=2sin(2x+ 图像上所有点纵坐标伸
原来的2倍,横坐标不变6
).
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.为了得到函数y=3sin（x- ）（x∈R）的图像，只需把y=3sinx上所有的点（）
5
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
5 5
3
3
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
55
解析：三角函数图像的平移变换，应遵循法则：“加左减右”，且移动的单位数仅对一个x而言.据由y=sinx的图像得到y=sin（x+φ）的图像的步骤可知，应把y=3sinx图像上所有的点
向右平移个单位，即可获得y=3sin（x- ）的图像.故选B.
5 5
答案：B
2.函数y=3sin（x+
5）图像上的点进行_____________变换，就可得到函数y=3sin（2x+
5
）的图像（x∈R）( )
A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的
C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的1
2
1
2
，纵坐标不变
，横坐标不变
解析：横向伸缩变换又称周期变换，即周期发生了变化，因此，可先据周期的变大（小）确定横坐标的变化.由y=sinx的图像得到y=sinωx的图像，应是将y=sinx图像上所有点的横坐标
1
变为原来的倍（0＜ω＜1时，伸长；ω＞1时，压缩）.故由y=3sin（x+
1
（2x+ ）应是横坐标缩短为原来的.所以选B.
52
答案：B
3.下列函数中，周期为的是（）
2
1x
A.y=sin（）
B.y=sin（
4x ）433
1x
C.y=sin（）
D.y=sin（2x+ ）
233
2
解析：y=Asin（ωx+φ）的周期，注意运用T= 求时需ω＞0.
答案：B
4.设y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于（）5
）变为y=3sin
2
A.0
B.
4 C.
2
D.π
解析：函数的奇偶性，可用定义，还可借助于图像.f（x）为偶函数，则从代数式上应有f （-x）=f（x），从图像上应有图像关于y轴对称.
答案：C
5.正弦函数在一个周期内的图像如图1-7-2所示，求函数的表达式.
图1-7-2
T3
解：由题图可知振幅A=2，又
24
零点为（.
，0），代入可得φ=
44所以y=2sin(x+ ).
44
=π，所以周期T=2π，进而ω=
2
2
=1.再据第一个
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1
3 1.函数y=cosx的图像经过怎样的变换才能变成函数y=cos（x+
1
A.向左平移个单位
B.向左平移
33
1
C.向右平移个单位
D.向右平移
33）（x∈R）的图像( ) 个单位
个单位
解析：平移变换时，一是看准平移的方向；二是确定平移的单位数.根据题意知应把y=cosx的
图像向左平移答案：B 1
3
个单位.故选B.
2.已知函数y=f（x），现将y=f（x）图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2
1
倍，然后把整个图像沿着x轴向左平移个单位，得到y= sinx的图像，则函数f（x）的解
2 2
析式为( )
1x 1x
A.f（x）= sin()
B.f（x）=
sin(2)
22222
1x1x
C.f（x）= sin()
D.f（x）=
sin(2)
22222
1
解析：依题意，函数y= sinx 的图像沿x 轴向右平移个单位后，所得的函数是y=
22
1x11x
sin()，可得函数y= sin(2) .再将其图像上点的横坐标变为原来的.则y= 22222
3
1x sin(2
22)
，即y=f（x）.故选D.
答案：D
3.方程2sin2x=x-3的解有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：在同一坐标系下，画出y=2sin2x和y=x-3的图像，如下图，易知有3个交点.故方程有3 个实数解.所以选C.
答案：C
14
4.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x= 时取得最大值，当x= 时取得最小
929 1
值
，则该函数的解析式为（）
2
x 1
A.y=2sin（- ）
B.y= sin（3x+ ）
362 6
11x
C.y= sin（3x- ）
D.y= sin（- ）
26236
1T 4
3
22
1
,
解析：由题意，知A= ,∴T=.∴ω==3.
2299933T
11
将（）视为第一个最高点，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+ ）.故选B.
,
9262
6 答案：B
5.函数y=sin（2x+5 ）的图像的一条对称轴方程是（）
2
A.x=
B.x=
2 4
5
C.x=
D.x=
84
5
解析：函数y=sin（2x+ ）的对称轴垂直于x轴，有很多条，它们通过图像的最高点或最低
2
点，即使函数取得最大值或最小值.所以一一代入验证，可得 x=
符合要求.故选 A. 2
答案：A
6.函数 y=cos （x+ 1 3
）（x ∈R ）（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析：除了用定义判断某一函数的奇偶性之外，还可用图像加以深化理解.如 y=cos （x+φ） 若为奇函数，则 φ 可取哪些值，不妨结合图像解决.由奇偶函数的定义或图像，易知 y=cos
4
（x+ 1 3
）既不是奇函数又不是偶函数.故选 C. 答案： C
7.函数 y=sin （ -2x ）的单调减区间为_______________.
3
解析：令 t =
2x
，易知原函数的单调减区间即是 y=sint 的单调增区间.
3
由 2kπ- ≤t≤2kπ+ （k∈Z ），知
2 2
2kπ- ≤2x - ≤2kπ+ （k∈Z ），
2 3
2
5
∴kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z ）.
12
12
5
因此函数 y=sin （ -2x ）的减区间为［kπ-
，kπ+
］（k ∈Z ）.
3
12
12
5
答案：［
k
,k
］（k ∈Z ）
12 12
8.如图 1-7-3，弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的
高度之间的函数关系式是 h=2sin （t+ ），t∈［0，+∞）.
4
图 1-7-3
画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题. （1）小球开始振动（即 t=0）时的位置在哪里?
（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少? （3）经过多长时间小球往复振动一次? （4）小球每 1 s 能往复振动多少次? 解：因为函数 h=2sin （t+ 简图如下.
4
），t∈［0，+∞）的最小正周期是 T=2π，它在［0，2π］上的
（1）小球开始振动（即 t=0）时，h=2sin （0+
4 ）=2sin 2
4
. （2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是 2和-2. （3）小球往复振动一次，即是一个周期 2π s.
（4）小球每1 s能往复振动的次数，即频率f=
1
T
1
2
.
5
9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜ 2
)的图像的一个最高点为（2， 2 2 ）， 由 这个最高点到相邻最低点，图像与 x 轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式. 解：已知图像最高点为（2， 2 2 ），∴A= 2 2 .
又据题意知从最高点到相邻最低点时交 x 轴于（6，0），
T ∴ =6-2=4，即 T=16
4
2 ∴ω= T 8
2
∴y= 2 2 sin( x+φ),代入最高点坐标， 2 2 2
sin( 2 )
. 8 8
∴sin （ +φ）=1. 4
∴φ= .
4
∴函数解析式为 y= 2 sin( 2 )
2
.
8
6。