2014年东北三省三校高考数学二模试卷(文科)

2014年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{4，8}B．{2，4，6，8}
C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}
2．（5分）已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）
A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i 3．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则数列{a n}的前10项和S10为（）A．（210﹣1）B．（210+1）C．（2﹣10﹣1）D．（2﹣10+1）4．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 6．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，且S
=，则b=（）
△ABC
A．1B．2C．3D．3
7．（5分）已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）
A．6B．5C．4D．3
8．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．平均数B．标准差C．众数D．中位数
9．（5分）已知某算法的流程图如图所示，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）
A．（13，14）B．（12，13）C．（14，13）D．（13，12）10．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象（）
A．关于直线x=0对称B．关于直线x=1对称
C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称
11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设
+=，+=，则下列各式成立的是（）
A．||＞||B．||＜||C．|﹣|=0D．|﹣|＞0 12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）
A．f（ln2014）＜2014f（0）
B．f（ln2014）=2014f（0）
C．f（ln2014）＞2014f（0）
D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）第13题～第21题为必考题，每
个试题考生都必须作答
13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，得到一般结论是．
14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为
15．（5分）设x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为．
16．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：
①AD1⊥C1P；
②若BD1⊥平面PAC，则λ=；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；
④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．
18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；
（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．
①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，
求X的分布列和数学期望．
19．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；
（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．
20．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，直线l：y=﹣1，动圆P与圆M相外切，
且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•=﹣16，求证：直线AB恒过定点．
21．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b 的值；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．
第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q
（1）求证：AC2=CQ•AB；
（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
2014年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{4，8}B．{2，4，6，8}
C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，∴（∁U A）∩（∁U B）={4，5，6，7，8}∩{1，2，3，4，8}={4，8}，
故选：A．
2．（5分）已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）
A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i
【解答】解：=，|z|==1，
∴+|z|==．
故选：D．
3．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则数列{a n}的前10项和S10为（）A．（210﹣1）B．（210+1）C．（2﹣10﹣1）D．（2﹣10+1）
+a n=0，得2a n+1=﹣a n，
【解答】解：由2a n
+1
则，则数列{a n}是公比q=的等比数列，
∵a2=1，
∴a1=﹣2，
则数列{a n}的前10项和S10==（2﹣10﹣1），
故选：C．
4．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣．
sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα）=（1+）=，故选：B．
5．（5分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：∵＜1，
∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，
∴x＞2或x＜﹣1，
∵p是q的充分不必要条件，
∴k＞2，
故选：B．
6．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，=，则b=（）
且S
△ABC
A．1B．2C．3D．3
【解答】解：∵cosA=，A为三角形内角，
∴sinA==，
由正弦定理化简sinC=3sinB，得c=3b，
=bcsinA=3b2•=，
∵S
△ABC
∴b=1．
故选：A．
7．（5分）已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则
等于（）
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：∵==，=﹣16，
∴．
∵D为边BC的中点，
∴====3．
故选：D．
8．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．平均数B．标准差C．众数D．中位数
【解答】解：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=x i﹣5，
则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，
只有标准差没有发生变化，
故选：B．
9．（5分）已知某算法的流程图如图所示，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）
A．（13，14）B．（12，13）C．（14，13）D．（13，12）
【解答】解：当x=7，y=6时，n=1，满足条件n＜5，x=7，y=8，n=2，
第二次运行，n=2，满足条件n＜5，x=9，y=10，n=3，
第三次运行，n=3，满足条件n＜5，x=11，y=12，n=4，
第四次运行，n=4，满足条件n＜5，x=13，y=14，n=5，
此时不满足条件n＜5输出x=13，y=14，
即输出的实数对为（13，14），
故选：A．
10．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象（）
A．关于直线x=0对称B．关于直线x=1对称
C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称
【解答】解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，
得到函数f（x）的图象的解析式为f（x）=2sin[2（x﹣）+]+2=2sin（2x﹣）+2．
∵f（x）+h（﹣x）=2sin（2x﹣）+2+2sin（﹣2x+）=2，
∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2×1﹣h（2×0﹣x）．
则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象关于点（0，1）对称．
故选：D．
11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设
+=，+=，则下列各式成立的是（）
A．||＞||B．||＜||C．|﹣|=0D．|﹣|＞0【解答】解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则
+==2，+==2，
∴|﹣|=0．．
故选：C．
12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）
A．f（ln2014）＜2014f（0）
B．f（ln2014）=2014f（0）
C．f（ln2014）＞2014f（0）
D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定
【解答】令g（x）=，则g′（x）==，
因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2014＞0，所以g（ln2014）＞g（0），即，
所以f（ln2014）＞2014f（0），
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）第13题～第21题为必考题，每
个试题考生都必须作答
13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，得到一般结论是13+23+33+43+…+n3=（）2，．
【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：
13+23=（1+2）2=32，
13+23+33=（1+2+3）2 =62，
13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，
则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，
故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2，
14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为
【解答】解：由三视图得该几何体是三条侧棱互相垂直的三棱锥，长方体的一个角，三条棱长分别为3，4，5，
几何体扩展为长方体，三棱锥的外接球与扩展的长方体的外接球相同，对角线的长度就是外接球的直径，
设几何体外接球的半径为R，
∴2R==5，
即R=，
故外接球的体积是=．
故答案为：．
15．（5分）设x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为3．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x﹣4y得y=，
平移直线y=，则由图象可知当直线y=，经过点A（1，0）时直线
y=的截距最小，此时z最大．
此时z=3×1﹣4×0=3，
故答案为：3．
16．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：
①AD1⊥C1P；
②若BD1⊥平面PAC，则λ=；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；
④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为②④．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：如图①中，AD1与C1P是共面直线，是相交直线，∴①不正确；
对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；
对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，PA=PC=，AC=a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，）不正确；
对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），
∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵==（﹣2，﹣2，2），∴=+（﹣2，﹣2，2）=（1，1，2）．
==（﹣2，1，2），=（1，﹣2，2）∴cos∠APC==0，∠APC=90°．
若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．正确，
故答案为：②④
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．
【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…（2分）
又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，
﹣a n=5a n+1，…（4分）
∴a n
+1
∴，∴数列{a n}是首项为，公比为q=﹣的等比数列，∴．…（6分）
（Ⅱ）解：，…（8分）
∴==（），…（10分）
∴
=
=．…（12分）
18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；
（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．
①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，
求X的分布列和数学期望．
【解答】（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，
第四组的频率是0.100×2=0.2，
第五组的频率是0.050×2=0.1．…（3分）
（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，
而第三组共有100×0.3=30个，
∴甲乙两产品同时被选中的概率为p==．…（7分）
②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（x=2）==，
∴X的分布列为：
…（10分）
EX==．…（12分）
19．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；
（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：AC∩BD=O，连结MO，
∵A1M=MA，AO=OC，
∴MO∥A1C，
∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，
∴A1C∥平面BMD …（4分）
（Ⅱ）解：设C1H为C1到平面BDD1B1的距离，
∵BD⊥A1A，BD⊥AC，A1A∩AC=A，
∴BD⊥平面A1AC，
∴BD⊥A1O，
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴AO=AC=，
∵AA1=2，∠A1AC=60°，
∴A1O⊥AC，
∵AC∩BD=O，
∴A1O⊥平面ABCD，…（8分）
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∴点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O=3 …（10分）
∵A1O••2=•C1H••2•2，
∴C1H=…（12分）
20．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，直线l：y=﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•=﹣16，求证：直线AB恒过定点．
【解答】（Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y=﹣1相切，且与定圆M：x2+（y﹣2）2=1外切
所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y=﹣2的距离相等
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y=﹣2为准线的抛
物线
故所求P的轨迹方程为：x2=8y．…（4分）
（Ⅱ）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB代入到x2=8y中得x2﹣8kx﹣8b=0，
所以x1+x2=8k，x1x2=﹣8b…（6分）
又因为•=x1x2+y1y2=x1x2+=﹣8b+b2=﹣16，
∴b=4，…（10分）
∴恒过定点（0，4）．…（12分）
21．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b 的值；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．
【解答】解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），
∴，g'（x）=2ax﹣1．…（2分）
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴，解得．…（4分）
（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0
则，…（5分）
∴当x＞1时，y＜0；当﹣＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣时，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（7分）
∴F（x）最大值为F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．
∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e
∴f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，
令G（x）=blnx﹣x2，则，
由=0，得x=，
∵x∈（1，e b）且b＞2e，
∴，e b＞，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜，由G′（x）＜0，得，
∴G（x）在上单调递增，在上单调递减
∴当x=时，，…（10分）
∵b＞2e，∴，∴，∴
又∵G（1）=﹣1＜0G（e b）=blne b﹣e2b=b2﹣e2b=（b+e b）（b﹣e b）＜0，
∴方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内有两个实根．…（12分）
第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q
（1）求证：AC2=CQ•AB；
（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．
【解答】（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，
又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，
因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，
所以△ACB∽△CQA，所以，
所以AC2=CQ•AB…（5分）
（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，
由AB=，BP=2得，PC=6，
AP为圆O的切线
又因为AQ为圆O的切线…（10分）
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，
根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．
（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为
=，
当且仅当，即（k∈Z）时取等号．
∴Q点到直线l距离的最小值为．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实
数x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3
所以﹣≤a+b+c≤
所以：|a+b+c|≤；…（5分）
（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）
若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，
则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）。