人教版_数学Ⅰ_131函数的最大小值

课题：§ 1.3.1 函数的最大(小)值
教学目的：( 1)理解函数的最大(小)值及其几何意义； (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值．
教学过程：
一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
(1) f (x) 2x 3 (2) f (x) 2x 3 x [ 1,2]
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(3) f (x) x2 2x 1 (4) f (x) x22x 1 x [ 2,2]
二、新课教学
(一)函数最大(小)值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x € I，都有f(x) < M ;
(2)存在x o € I，使得f(x 0) = M
那么，称M 是函数y=f(x) 的最大值( Maximum Value )．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值( Minimum Value )的定义．(学生活动)
② 函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x o€ I，使得f(x o) = M ;
②2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x€ I，都有f(x) < M ( f(x) > M ).
2．利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
②1利用二次函数的性质( 配方法 )求函数的最大(小)值
②2利用图象求函数的最大(小)值
②3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上单调递增，在区间[b, c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b 处有最大值f(b) ；
如果函数y=f（x）在区间［a, b］上单调递减，在区间［b, c］上单调递增则函数y=f （x）在x=b处有最小值f（b）;
（二）典型例题
例1.（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值. 解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立
适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值.
巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形
木料，如果矩形一边长为x,面积为y 试将y表示成x的函
数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面
面积最大？
例2.（新题讲解）
旅馆定价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）住房率（%）
16055
14065
12075
10085
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系.
设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为（160 x）元时，住房率为（55 — 10）%，于是得
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x y=150 • (160 x) • (55 10)% .
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x 由于(55 10)% w 1，可知0 w x w 90.
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因此问题转化为：当0w x w 90时，求y的最大值的问题.
将y的两边同除以一个常数0.75，得y i=—x2+ 50 x + 17600 .
由于二次函数y 1在X =25时取得最大值，可知y也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160—25=135 （元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为
13668.75 （元）.
所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
2
例3.（教材P37例4）求函数y 在区间［2，6］上的最大值和最小值.
X 1
解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式.
巩固练习：（教材P38练习4）
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明•画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值T作差T变形T定号T下结论
四、作业布置
1 .书面作业：课本P45习题1 . 3 （A组）第6、7、8题.
提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方
向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，
经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
B ------------ A
C」。