2018-2019学年四川省泸州市泸县一中高二(上)期中数学试卷(文科)(附答案详解)

2018-2019学年四川省泸州市泸县一中高二（上）期中数
学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 椭圆
x 23
+y 2=1的焦点坐标是( )
A. (−√2,0)，(√2,0)
B. (−2,0)，(2,0)
C. (0,−√2)，(0,√2)
D. (0,−2)，(0,2)
2. 设点P 是椭圆
x 225
+
y 29
=1上的一点，且点P 到左焦点的距离是2，则点P 到右焦点的
距离是( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
3. 如果圆C ：(x −a)2+(y −3)2=5的一条切线的方程为y =2x ，那么a 的值为( )
A. 4或1
B. −1或4
C. 1或−4
D. −1或−4
4. 抛物线y 2
=4x 的焦点到双曲线x 2
−y 23
=1的渐近线的距离是( )
A. 1
2
B. √32
C. 1
D. √3
5. 过双曲线
x 23
−
y 26
=1的右焦点F 2，
倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，|AB|=( )
A.
165
√3
B. 16√3
C. 16
5
D. 16
6. 若x ，y 满足约束条件{y ≤x
x +y ≤1y ≥−1
，则2x +y 的最小值为( )
A. −3
B. 0
C. 3
2
D. 3
7. 已知椭圆
x 210−m
+
y 2m−2
=1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
8. 设点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l 过点P(1,2)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值
范围是( )
A. k ≤−1或k ≥5
B. −5≤k ≤1
C. −1≤k ≤5
D. k ≤−5或k ≥1
9. 已知直线l ：3x −4y +m =0和圆C ：x 2+y 2−4x −2y +1=0，且圆C 上至少存
在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( )
A. (−17,13)
B. (−17,−7)
C. (−17,−7)∪(3,13)
D. [−17,−7]∪[3,13]
10. 已知P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点，则P 到(0,2)的距离与到抛物线准线距离之和
的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. √5
D. √6
11. 直线y =k(x −2)+4与曲线y =1+√4−x 2有两个不同的交点，则实数k 的取值范
围是( )
A.
B.
C.
D. (0,5
12)
12. 倾斜角为π
4的直线经过椭圆
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该椭圆的离心率为( ) A. √2
3
B. √22
C. √33
D. √32
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线25x 2−16y 2=400的实轴长为______．
14. 圆C ：x 2+y 2+2x +2y −2=0，l ：x −y +2=0，求圆心到直线l 的距离______． 15. 已知三棱锥S −ABC 所在顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若SC =AB =
AC =1，∠BAC =120°，则球O 的表面积为______ ． 16. 已知椭圆C ：
x 29
+
y 24
=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别
为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则AN +BN =______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知圆C 的圆心在直线x +y +1=0，半径为5，且圆C 经过点P(−2,0)和点Q(5,1).求
圆C 的标准方程．
18. 已知直线l 经过抛物线y 2=6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．
(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|=9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
19.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为1的正方
形，侧棱PD=1，PA=PC=√2．
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)(文科)求点A到平面PBC的距离；
(理科)求二面角P−AC−D的正切值．
20.已知椭圆x2
25+y2
9
=1的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上有不同的三点A，B，C，且
BF2⊥Ox，|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列．
(1)求弦AC的中点M的横坐标；
(2)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m(k≠0)，求m的取值范围．
21. 已知椭圆C ：
x 23
+y 2=1，F 1，F 2为其左，右焦点．
(1)若点A(√2,2)，P 是椭圆上任意一点，求|PA|+|PF 1|的最大值；
(2)直线y =kx +√2与点Q 的轨迹交于不同两点A 和B ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1(其中O 为坐标原点)，求k 的值．
22. 从抛物线y 2=16x 上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为 E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)若直线y =x −4与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：OA ⊥OB ；
(3)若点F 为曲线E 的焦点，过点Q(2,0)的直线与曲线E 交于M ，N 两点，直线MF ，NF 分别与曲线E 交于C ，D 两点，设直线MN ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，求k 2
k 1
的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵x2
3
+y2=1，
∴a2=3，b2=1，焦点在x轴上，
∴c=√a2−b2=√3−1=√2，即椭圆x2
3
+y2=1的焦点坐标是(−√2,0)，(√2,0).故选：A．
根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，
∵x2
25+y2
9
=1，
∴a2=25，即a=5，
∵点P到左焦点的距离是2，即|PF1|=2，
又∵|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴|PF2|=8，即点P到右焦点的距离是8．
故选：D．
根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解．
本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式．
由题意，圆心到直线的距离d=
√4+1
=√5，即可求出a的值．【解答】
解：由题意，圆心到直线的距离d=
√4+1
=√5，∴a=−1或4，
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：∵抛物线方程为y2=4x
∴2p=4，可得p
2
=1，抛物线的焦点F(1,0)
又∵双曲线的方程为x2−y2
3
=1
∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=√3，
双曲线的渐近线方程为y=±b
a
x，即y=±√3x，化成一般式得：√3x±y=0．
因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=√3×1±0|
√3+1=√3
2
故选：B．
根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F(1,0).由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±√3x，化成一般式得：√3x±y=0，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．
本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由双曲线的方程得F1(−3,0)，F2(3,0)，直线AB的方程为y=√3
3
(x−3)①
将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6x−27=0，解之得x1=−3，x2=9
5
．
将x1，x2代入①，得y1=−2√3，y2=−2√3
5
，
故|AB|=(
5√
5
)=16√3
5
．
故选：A．
确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.【答案】D
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立方程组解得A(2,−1)，令z=2x+y，
化为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过
A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．
故选：D．
由约束条件作出可行域，令z=2x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的简单性质．
先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．
【解答】
解：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2
(√m−2)2+x2
(√10−m)2
=1，
由题意，长轴在y轴上，
可得m−2>10−m>0，
解得6<m<10，
若焦距为4，
则(√m−2)2−(√10−m)2=22，解得m=8，故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：k PA=−3−2
2−1=−5，k PB=−2−2
−3−1
=1．
∵直线l过点P(1,2)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤−5．
故选：D．
利用斜率计算公式、斜率的意义即可得出．
本题考查了斜率计算公式、斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A
【解析】解：由题设知圆C：x2+y2−4x−2y+
1=0的圆心C(2,1)，半径r=2，
过圆心C(2,1)且平行于直线l：3x−4y+m=0
的直径所在的直线方程是3x−4y−2=0，
直线3x−4y−2=0与直线l：3x−4y+m=0
的距离是d=|m+2|
√32+(−4)2
，
由题设条件知|m+2|
5
<3，
解得m∈(−17,13)．
故选：A．
先求出圆心和半径，再设过圆心C(2,1)且平行于直线l：3x−4y+m=0的直径所在的直线方程是3x−4y−2=0，直线3x−4y−2=0与直线l：3x−4y+m=0的距离是d，由题设条件列出不等式，由此可知m的取值范围．
本题考查直线和圆的位置关系，解题时要注意两条平行线的距离公式的合理运用．10.【答案】C
【解析】解：由题得：如图：
依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物
线的焦点为F，
A(0,2).F在准线上的射影A″
∵抛物线y2=4x，∴F(1,0)，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距
离为：
|PA″|=|PF|，
则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=√5．故选：C．
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点(0,2)的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点(0,2)的距离与P到焦点F的距离之和．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，属于较综合的中档题．
要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，由于曲线y=1+√4−x2表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有两个不同的交点；当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率结合图象得出k的取值范围．
【解答】
解：∵y=1+√4−x2，
即x2+(y−1)2=4(y≥1)，
表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，
直线l：y=k(x−2)+4恒过定点A(2,4)，斜率为k，
根据题意画出图形，如图所示：
当直线l与半圆相切，C为切点时，
圆心到直线l 的距离d =r ，即|3−2k|
√k 2+1=2， 解得：k =5
12；
当直线l 过B(−2,1)点时，直线l 的斜率为4−1
2−(−2)=3
4，
则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为(5
12,3
4]． 故选A ．
12.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查椭圆的性质的应用，考查向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，选择合适的方程，代入椭圆方程，可以简化运算，提高做题速度，属于中档题．
将直线AB 的方程x =y +c 代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得椭圆的离心率； 【解答】
解：设直线AB 的方程为：x =y +c ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x =y +c b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2
，
整理得：(a 2+b 2)y 2+2b 2cy −b 4=0， y 1+y 2=−2b 2c a 2+b 2，y 1y 2=−b 4
a 2+
b 2， 由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
即(c −x 1,−y 1)=2(x 2−c,y 2)， 则−y 1=2y 2， 解得：y 1=−4b 2c a 2+b 2
，y 2=
2b 2c a 2+b 2
，
则−
4b 2c a 2+b
2×
2b 2c a 2+b
2=−
b 4
a 2+
b 2
，
整理得：8c 2=a 2+b 2， ∴2a 2=9c 2，
椭圆的离心率e =c
a =√2
3，
故选A ．
13.【答案】8
【解析】解：双曲线25x2−16y2=400的标准方程为：x2
16−y2
25
=1，可得a=4，
所以双曲线的实轴长为8．
故答案为：8．
利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
14.【答案】√2
【解析】解：圆C：x2+y2+2x+2y−2=0，配方为：(x+1)2+(y+1)2=4，可得圆心C(−1,−1)．
∴圆心到直线l的距离d=
√2
=√2．
故答案为：√2．
配方可得圆心，利用点到直线的距离公式即可得出．
本题考查了点圆的标准方程、到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】5π
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥外接球球心位置是解题关键，属于较难题．
【解答】
解：取BC中点D，连接AD并延长AD到E，使得AD=DE，连接CE、BE，过E作GE//SC，如图所示：
可知EC=EA=EB=1，且GE⊥平面ABCE，
显然三棱锥S−ABC的外接球球心O在直线GE上，
设OC=OA=OB=OS=R，并过O作OF⊥SC于F，
由题意可得：
OF=CE=1，SF=SC−FC=SC−OE=1−√OC2−CE2=1−√R2−1，
在Rt△OFS中，由勾股定理得：OS2−OF2=SF2，
即R2−1=(1−√R2−1)2，解得R=√5
，
2
)2=5π．
故球O的表面积S=4πR2=4π×(√5
2
故答案为：5π．
16.【答案】12
【解析】解：设MN的中点为D，椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，∵F1是MA的中点，D是MN的中点，∴F1D是△MAN的中位线；
∴AN=2F1D，同理BN=2F2D；
∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)，∵D在椭圆上，∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：
|DF1|+|DF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：12．
根据已知条件，作出图形，MN 的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a 即可求出|AN|+|BN|． 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设圆C ：(x −a)2+(y −b)2=25，
点C 在直线x +y +1=0上， 则有a +b +1=0，
圆C 经过点P(−2,0)和点Q(5,1)， 即：{
(−2−a)2+(0−b)2=25
(5−a)2+(1−b)2=25，
解得：a =2，b =3． 故(x −2)2+(y −3)2=25．
【解析】直接利用圆的方程建立方程组，进一步确定结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由y 2=6x ，准线方程为x =−1.5，焦点F(1.5,0)．
直线l 的方程为y −0=tan60°(x −1.5)，即y =√3x −
3√3
2
． 与抛物线方程联立，消y ，整理得4x 2−20x +9=0，其两根为x 1，x 2，且x 1+x 2=5．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x1+x2=8．
所以，线段AB的长是8．
=4.5
(2)|AB|=p+x1+x2=9，则|AB|
2
∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．
【解析】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题．
(1)由y2=6x，得准线方程、焦点F(1.5,0).直线l的方程为y−0=tan60°(x−1.5)，与抛物线方程联立，消y，整理得4x2−20x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5，由抛物线的定义可知线段AB的长；
(2)|AB|=p+x1+x2=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离．
19.【答案】(1)证明：因为PD=DC=1，PC=√2，
所以PD2+DC2=PC2，
故PD⊥DC，
同理PD⊥DA，
又DC∩DA=D，DC，DA⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD；
(2)证明：由(1)可知，PD⊥平面ABCD，
因为AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC，
又底面是ABCD正方形，
所以BD⊥AC，
又BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PDB，
故AC⊥平面PDB，
又AC⊂平面PAC，
故平面PAC⊥平面PBD；
(3)解：(文科)因为底面是ABCD正方形，
所以AD//BC，
又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD//平面PBC，
则点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，
取PC的中点M，连接DM，
因为PD=DC，
所以DM⊥PC，
又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
则PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
又DM⊂平面PCD，
所以BC⊥DM，
又PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PCB，
则DM⊥平面PCB，
故D M即点D到平面PBC的距离，
又△PCD是直角三角形，PC=√2，M为PA中点，
，
所以DM=√2
2
．
故点A到平面PBC的距离为√2
2
(理科)设AC、BD相交于点O，连接PO，
由(2)可知，AC⊥平面PDB，
因为DO⊂平面PDB，PO⊂平面PDB，
故AC⊥DO且AC⊥PO，
所以∠POD即为二面角P−AC−D的平面角，
，
在Rt△PDO中，PD=1，DO=√2
2
所以tan∠POD=√2，
故二面角P−AC−D的正切值为√2．
【解析】(1)利用勾股定理证明PD⊥DC，PD⊥DA，由线面垂直的判定定理证明即可；
(2)利用PD⊥平面ABCD，可证PD⊥AC，又BD⊥AC，由线面垂直的判定定理证明AC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理证明即可；
(3)(文科)利用线面平行的判定定理证明AD//平面PBC，点A到平面PBC的距离等于点D 到平面PBC的距离，取PC的中点M，连接DM，由线面垂直的判定定理证明DM⊥平面PCB，从而DM即点D到平面PBC的距离，在三角形中求解DM即可；
(理科)设AC、BD相交于点O，连接PO，由二面角的平面角的定义可知∠POD即为二面
角P−AC−D的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可．
本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理的应用，面面垂直的判定定理的应用，点到平面距离的求解以及二面角的求解，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，F2(4,0),|F2B|=9
5
，
设A(x1,y1)，C(x2,y2)，
由焦半径公式，得|F2A|=5−4
5x1,|F2C|=5−4
5
x2，
因为|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，
所以(5−4
5x1)+(5−4
5
x2)=2×9
5
，
由此有x1+x2=8，
所以弦AC的中点的横坐标x=4．
(2)将x=4代入y=kx+m(k≠0)，故M(4,4k+m)，
则k OM=y1+y2
x1+x2=4k+m
4
，又k AC=y1−y2
x1−x2
=−1
k
，
将x1，y1和x2，y2分别代入椭圆方程x2
25+y2
9
=1，两式相减得k=−25m
64
，
所以，4k+m=−9m
16，点M(4,−9m
16
)．
又由点M(4,−9m
16)在椭圆x2
25
+y2
9
=1内，故42
25
+(−
9m
16
)2
9
<1，
解得−16
5<m<16
5
，即m∈(−16
5
,16
5
).
【解析】(1)设A(x1,y1)，C(x2,y2)，求出|F2A|，|F2B|，|F2C|，通过|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，求解弦AC的中点的横坐标．
(2)将求出M(4,4k+m)，求解OM，AC的斜率，利用平方差法，求解k，推出M坐标，利用M在椭圆内，列出不等式，求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)|PA|+|PF1|=|PA|−|PF2|+2√3≤|AF2|+2√3=2+2√3
故(|PA|+|PF1|)max=2+2√3
(2)将y=kx+√2代入x2
3
+y2=1得(1+3k2)x2+6√2kx+3=0．
由直线与椭圆交于不同的两点，得{1+3k 2≠0
△=(6√2k)2−12(1+3k 2)=12(3k 2−1)>0即
k 2>1
3
．
设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =−6√2k
1+3k 2,x A x B =3
1+3k 2．
由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得x A x B +y A y B =2． 而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +√2)(kx B +√2)=(k 2+1)x A x B +√2k(x A +x B )+2=(k 2
+1)3
1+3k 2−√2k 6√2k
1+3k 2
+2=5−3k 2
3k 2+1．
于是
5−3k 23k 2+1=1.解得k =±
√6
3
． 故k 的值为±√6
3
．
【解析】(1)根据椭圆的性质，即可求出
(2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A ，B 的横坐标的和与积，再由列式求得k 值．
本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．
22.【答案】(1)解：设垂线段的中点G(x,y)，P(x 0,y 0)是抛物线上的点，垂足E(x 0,0)， ∵G 是PE 的中点，∴x 0=x ，y =1
2y 0， 有x 0=x ，y 0=2y ，
∵点P 在抛物线上，∴y 02=
16x ，即4y 2=16x ， ∴y 2=4x ，
∴所求曲线E 的方程为：y 2=4x ；
(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
由{y =x −4y 2=4x ，消去y 得x2−12x +16=0， ∴由韦达定理可知：x 1+x 2=12，x 1⋅x 2=16．
∴y 1⋅y 2=(x 1−4)(x 2−4)=x 1⋅x 2−4(x 1+x 2)+16=16−4×12+16=−16． ∴k OA ⋅k OB =y 1y 2x 1x 2
=
−1616
=−1，
∴OA ⊥OB ；
(3)解：设直线MN 的方程为x =my +2，M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4). 联立{x =my +2y 2=4x ，得y 2−4my −8=0．
△=16m 2+32>0，y 3+y 4=4m ，y 3y 4=−8． ∵点M 在抛物线E ：y 2=4x 上，∴点M 的坐标(y 3
24
,y 3)，
∴k MF =
4y 3
y 3
2−4，
∴直线MF 的方程为：y −0=4y 3
y 3
2−4(x −1)，即x =
y 3
2−44y 3
y +1，
与y 2=4x 联立，解得C(1
4y 3
2,−1
y 3
)，同理可得D(1
4y 4
2,−1
y 4
)，
∴k 1=y 3−y 4
y 32
4−y 424
=
4
y 3+y 4，k 2
=
1y 3−1
y 414y 42−14y 3
2=
4y 3+y 4
．
∴k 2k 1
=4．
【解析】(1)设出垂线段的中点为G(x,y)，P(x 0,y 0)是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可求曲线E 的方程；
(2)将直线y =x −4代入抛物线方程，求得x 1+x 2，x 1⋅x 2，代入直线方程求得y 1⋅y 2，
由k OA ⋅k OB =y 1y 2
x 1x 2
=
−1616
=−1即可证明OA ⊥OB ；
(3)设直线MN 的方程为x =my +2，M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y 的方程，利用根与系数的关系求得M ，N 的纵坐标的和与积，分别写出MF ，NF 的方程，与抛物线方程联立求得C ，D 的坐标，求得直线MN ，CD 的斜率k 1，k 2，则k 2
k 1
的值可求．
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，属于中档题．。