反比例函数与等腰等直三角形结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练

专题27 反比例函数与等腰等直三角形结合
1. 如图，OA AB =，90OAB ∠=︒，双曲线k y x =经过点A ，双曲线k y x =-经过点B ，已知点A 的纵坐标为-2，则点B 的坐标为（ ）
A. )1+
B. ()
C. ()21+-
D. ()1
（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）
2. 如图，在平面直角坐标系中有一个等边ABC ，边长为4，O 为边BC 的中点，点A 在第二象限，边BC 与x 轴正半轴的夹角为45︒，过点A 的双曲线表达式为k y x
=，则k =_________．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）
3. 如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝k x
在第一象限的图象经过点B ．若OA 2﹣AB 2＝12，则k 的值为______
．
（2022春·浙江金华·八年级统考期末）
4. 如图，双曲线()0k y x x
=>经过等腰ABC 的两顶点A 、C ，已知AB AC ==AB //x 轴交y 轴于点B ，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，且OB CD =，则k 的值______．
（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）
5. 在平面直角坐标系中，直线12
y x =
经过点(),2A m ，反比例函数()0k y k x =≠的图像经过点A 和点()8,B n ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x 轴上找一点C ，ABC 为等腰三角形，求点C 的坐标．
（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）
6. 如图：AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，4= OAB S ，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象经过点A 交y 轴于点C ，反比例函数2(0)k y x x
=
>的图象也经过点A ．
（1）求反比例函数的解析式：
（2）若2CD AD =，求COD △的面积；
（3）当12y y <时对应的自变量的取值范围是__________（请直接写出答案）7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2m y m 0x
=
≠的图象相交于第一、象限内的()A 3,5，()B a,3-两点，与x 轴交于点C .
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当12y y >时，x 的取值范围；
（3）长为2的线段EF 在射线CO 上左右移动，若射线CA 上存在三个点P 使得PEF ∆为等腰三角形，求CE 的值.
（2021春·浙江湖州·八年级统考期末）
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +5与反比例函数y ＝k x
（x ＞0）的图象相交于点A （3，a ）和点B （b ，3），点D ，C 分别是x 轴和y 轴的正半轴上的动点，且满足CD ∥AB ．
（1）求a ，b 的值及反比例函数的解析式；
（2）若OD ＝1，求点C 的坐标，判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（3）若点M 是反比例函数y ＝k x
（x ＞0）图象上的一个动点，当△AMD 是以AM 为直角边的等腰直角三角形时，求点M 的坐标．
9. 当k 值相同时，我们把正比例函数1y x k 与反比例函数k y x
=叫做“关联函数”.
(1)如图，若k>0，这两个函数图象的交点分别为A ，B ，求点A ，B 的坐标（用k 表示）；
(2)若k=1，点P 是函数k y x =
在第一象限内的图象上的一个动点（点P 不与B 重合），设点P 的坐标为（1,m m
），其中m>0且m≠2.作直线PA ，PB 分别与x 轴交于点C ，D ，则△PCD 是等腰三角形，请说明理由；
(3)在(2)的基础上，是否存在点P 使△PCD 为直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
10. 如图，四边形OABC 为矩形，点B 坐标为（4，2），A ，C 分别在x 轴，y 轴
上，点F 在第一象限内，OF 的长度不变，且反比例函数k y x
=经过点B.（1）如图1，当F 在直线y = x 上时，函数图象过点B ，求线段OF 的长.
（2）如图2，若OF 从（1）中位置绕点O 逆时针旋转，反比例函数图象与BC ，AB 相交，交点分别为D ，E ，连结OD ，DE ，OE.
①求证：CD=2AE.
②若AE+CD=DE ，求k.
③设点F 的坐标为（a ，b ），当△ODE 为等腰三角形时，求（a+b ）2的值.
（2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期末）
11. 如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x
=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知点A 坐标为(3,1)，点B 的坐标为(2,)m -
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接OA 、OB ，求AOB 的面积；
（3）观察图象直接写出k ax b x
+>时x 的取值范围是 ；
（4）直接写出：P 为x 轴上一动点，当三角形OAP 为等腰三角形时点P 的坐标 ．
（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）
12. 如图，一次函数y ax b =+的图像与反比例函数k y x
=的图像交于M 、N 两点
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OM 、ON ，求三角形OMN 的面积
（3）连接OM ，在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，若不存在，说明理由
（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）
13. 如图1，一次函数()20y kx k =-≠的图像与y 轴交于点A ，与反比例函数()30y x x
=-<的图像交于点()3,B b -，连接OB ．
（1）b =___________，k =___________．
（2）若点P 在第三象限内，是否存在点P 使得OBP 是以OB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，C 是线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点C 且平行于y 轴的直线l 交该反比例函数的图像于点D ，连接OC ，OD ，BD ．若四边形OCBD 的面积为3，求点C 的坐标．
（2022秋·山东淄博·九年级统考期中）
14. 如图，在平面直角坐标系中，点B ，D 分别在反比例函数()60y x x
=-<和()0,0k y k x x
=>>的图象上，AB x ⊥轴于点A ，DC x ⊥轴于点C ，O 是线段AC 的中点，3AB =，2DC =．
（1）求反比例函数k y x
=的表达式；（2）连接BD ，OB ，OD ，求ODB △的面积；
（3）P 是线段AB 上的一个动点，Q 是线段OB 上的一个动点，试探究是否存在点P ，使得APQ △是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
15. 【模型建立】（1）如图一，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于D ，过点B 作BE ⊥ED 于E ．求证：AD ＝CE ．
【模型应用】（2）如图二，直线l 1：y ＝43
x ＋4与坐标轴交于点A 、B ，将直线l 1绕点B 顺时针旋转45°得到直线l 2，求直线l 2的函数表达式；【拓展探究】（3）如图三，一次函数483y x =
+的图象与坐标轴分别相交于点A 、
B ，点
C 在反比例函数(0)k y x x
=<的图象上，若△ABC 为等腰直角三角形，请直接写出k 的所有可能的值 ．
专题27 反比例函数与等腰等直三角形结合
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】过点A 作AM y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MA ⊥延长线于点N ，BN 交x
轴于点H ,证明AOM BAN ∆≅∆，得到,22k A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2,222k k B ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
，再根据B 点坐标在k y x
=-上取出k 的值.【详解】解析：过点A 作AM y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MA ⊥延长线于点N ，BN 交x 轴于点H .
∵OA AB
=∴AOM BAN ∆≅∆.
∴2AN OM ==.
∵A 在k y x
=上，∴0k <且,22k A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，∴2
k BN =-，∴22k BH BN HN AM OM =-=-=-
-.∵22
B N k x x AM AN ==+=-+，∴2,222k k B ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
.∵B 在k y x
=-上，∴2222k k k ⎛⎫⎛⎫-+--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得12k =--，22k =-+.
∴)
1B .
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，三线合一性质.通过构造全等三角形，用含k 的式子来表示B 点坐标，代入点坐标求得k 值.难度中等，计算需要仔细.
（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）
【2题答案】
【答案】-6
【解析】
【分析】如图所示，连接OA ，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，设AC 与y 轴交于点E ，求出OA 的长，再证明∠DAO =45°=∠AOD ，得到AD =OD ，即可求出
AD OD ==，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA ，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，设AC 与y 轴交于点E ，
∵边BC 与x 轴正半轴的夹角为45︒，
∴∠EOC =45°，
∵△ABC 是等边三角形，O 是BC 的中点，
∴AO ⊥OC ，即∠AOC =90°，122OB OC BC ==
=，
∴∠AOE =45°，OA =
=∴∠AOD =45°，
∴∠DAO =45°=∠AOD ，
∴AD =OD ，
在Rt △AOD 中，222A D O D O A +=，
∴AD OD ==，
∴6k AD OD =-⋅=-，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）
【3题答案】
【答案】6
【解析】
【分析】设B 点坐标为（a ，b ），根据等腰直角三角形的性质得OA AC ，AB =
AD ，OC =AC ，AD =BD ，将OA 2-AB 2=12变形为AC 2-AD 2=6，利用平方差公式得到（AC +AD ）（AC -AD ）=6，所以（OC +BD ）•CD =6，则有a •b =6，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k =6．
【详解】解：设B 点坐标为(a ，b )
∵△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形
∴OA =AC ，AB AD ，OC =AC ，AD =BD
∵OA 2−AB 2=12
∴2AC 2−2AD 2=12
即AC 2−AD 2=6
∴(AC +AD )(AC −AD )=6
∴(OC +BD )⋅CD =6
∴a ⋅b =6
∴k =6
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平方差公式，等腰直角三角形的性质，利用点B 的坐标，将OA 2−AB 2=12转化为a ⋅b =6，是解题的关键所在．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）
【4题答案】
【答案】32-【解析】
【分析】设OB CD m ==，由题意可知()A m ,(,C m ，利用勾股定理得到
AC ==，求出m 的值，进一步可得k 的值．
【详解】解：设OB CD m ==，则()A m ，
∴k =，即y =
，
∴(,C m ，
AC ∴==
2)16m ∴-=，
解得：1244(m m =-=+，舍去)，
(
4,C ∴-，
()
432k ∴=-⨯=-
故答案为：32-．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，表示出A 、C 的坐标是解题的关键．
（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）【5题答案】
【答案】（1）8y x
=
（2）45,08⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0或()4+或()
4
【分析】（1）先把点(),2A m 代入12y x =求出m ，再把点A 的坐标代入k y x =求出k 即可；
（2）先求出点B 的坐标，设(),0C x ，再根据两点间的距离公式分三种情况建立方程求出x 即可．
【小问1详解】解：∵直线12
y x =经过点(),2A m ，∴122
m ⨯=，∴4m =，
∴()4,2A ，∵反比例函数()0k y k x =
≠的图像经过点A ，∴24
k =，∴8k ，∴反比例函数解析式为8y x =
．【小问2详解】∵反比例函数8y x =
的图像经过点()8,B n ，∴818
n ==，∴()8,1B ，
设直线AB 的解析式为y kx b =+，
∴4281k b k b +=⎧⎨+=⎩
，解得：143
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为134
=-+y x ，
设点(),0C x ，
∴AC ==，
BC =
=，
AB ==当点C 满足以下三种情况时，ABC 为等腰三角形：
①当AC BC =时，得：
=，解得：458
x =，∴45,08C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
②当AB BC =时，得：
=解得：14x =，212x =，
当12x =时，113123044y x =-
+=-⨯+=，即点C 此时在直线AB 上，不符合题意，舍去，
∴()4,0C ；
③当AB AC =时，得： =
解得：14x =+，24x =-
∴点C 的坐标为()4+或()
4．
综上所述，点C 的坐标为45,08⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0或()4+或()
4．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数及一次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的定义等知识．求出反比例函数解析式是解题的关键．
（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）
【6题答案】
【答案】（1）24(0)y x x
=>
（2）83
（3）02
x <<【解析】
【分析】（1）过点A 作AE OB ⊥，求出()22A ，
,进而即可求解；（2）先证明ADE CDO ，可得2CD OC OD AD AE ED
===，进而即可求解；（3）根据A 的坐标和函数图象直接写出答案即可．
【小问1详解】
解：过点A 作AE OB ⊥，
∵AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，4= OAB S ，
∴2AE OB =，142
OB AE ⋅=，∴2AE OE ==，
∴()22A ，
,∵反比例函数2(0)k y x x
=>的图象也经过点A ．∴22
k =
，4k =，∴24y x =；【小问2详解】
解：∵AE OB ⊥，
∴∥O
C A E ，∴ADE CDO ，∴2C
D OC OD AD A
E ED
===，
∵2AE OE ==，
∴4CO =，43
OD =，∴COD △的面积=14
84233⨯⨯=；
【小问3详解】
解：∵()22A ，
，∴当12y y <时对应的自变量的取值范围：02x <<，
故答案为：02x <<．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质和判定，求出函数图像的交点坐标，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
【7题答案】
【答案】（1）12y x =+，215y x =
；（2）5x 0-<<或3x >；（3【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用图象法，写出y 1D 的图象在y 2的图象上方的对应的自变量的取值即可．（3）如图2中，分别以E ，F 为圆心EF 为半径画圆，两圆在EF 的上方交于点N ，当点N 在射线CA 上时，射线CA 上存在三个点P 使得△PEF 为等腰三角形．解直角三角形求出CH ，EH 即可．
【详解】解：（1）∵A （3，5），B （a ，-3）在()2m y m 0x
=
≠的图象上，∴m=15，a=-5，
∴A （3，5），B （-5，-3），
把A ，B 的坐标代入y 1=kx+b 中，得3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
，解得： 12
k b =⎧⎨=⎩1215
2,∴=+=y x y x （2）观察图1可知：当y 1＞y 2时，x 的取值范围为：x ＞3或-5＜x ＜0．
（3）如图2中，分别以E，F为圆心EF为半径画圆，两圆在EF的上方交于点N，当点N在射线CA上时，射线CA上存在三个点P使得△PEF为等腰三角形．
作NH⊥EF于H．
∵NE=EF=NF，NH⊥EF，
∴EH=HF=1，，
∵直线AC的解析式为y=x+2，
∴∠ACF=45°，
∴
∴-1
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（2021春·浙江湖州·八年级统考期末）
【8题答案】
【答案】（1）a＝2，b＝3，
6 y
x =
（2）平行四边形ABCD是矩形，见解析
（3）（5，1.2），
【解析】
【分析】（1）把A和B分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，再把A（3，2）代
入
k
y
x
=，得：k＝6，故反比例函数解析式为
6
y
x
=；
（2）由于CD∥AB，可设CD的解析式为y＝﹣x+m，由OD＝1得D的坐标为（1，0），将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，得C的坐标为（0，1），由A，
B，C，D可算出AB CD
==AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形，过点B作BE⊥y轴于点E得E，由△BEC和△COD都等腰直角三角形证出∠BCD＝90°，即可得平行四边形ABCD是矩形；
（3）分∠MAD＝90°或∠AMD＝90°两种情况计算，当∠MAD＝90°时，通过作辅助线构造△MAQ≌△ADP得PD＝AQ＝2，QM＝AP，设M的坐标为（5，n），由M在反比例函数得5n＝6，得n＝1.2，得M（5，1.2）；当∠AMD＝90°时，同理可求．
【小问1详解】
把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，
得：a＝2，b＝3，
把A（3，2）代入
k
y
x
=，得：k＝6，
∴反比例函数解析式为
6
y
x =；
【小问2详解】
∵CD∥AB，
∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，∴D的坐标为（1，0），
∴-1+m=0，得m=1，
∴直线CD的解析式是y=-x+1，
当x=0时，y＝﹣x+1=1，
∴C的坐标为（0，1），
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴AB CD
==
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），
∴BE＝CE＝2，
∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
【小问3详解】
①当∠MAD＝90°时，
过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，
∵∠MAD ＝90°，
∴∠MAQ +∠PAD ＝90°，
∵DP ⊥直线l 于点P ，
∴∠PAD +∠PDA ＝90°，
∴∠AQM ＝∠PDA ，
在△MAQ 与△ADP 中，
CPA AQM MAQ PDA AD AM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MAQ ≌△ADP （AAS ），
∴PD ＝AQ ＝2，QM ＝AP ，
设M 的坐标为（5，n ），
∴5n ＝6，则n ＝1.2，
∴M （5，1.2）；
②当∠AMD ＝90°时，同理，过点M 作直线l ∥y 轴，过点A 作AP ⊥直线l 于点P ，过点D 作DQ ⊥直线l 于点Q ，
可得：△MAP ≌△DMQ ，
∴PM ＝DQ ，QM ＝AP ，
设M 的坐标为（3+n ，n ），
∴n （3+n ）＝6，
解得：1n =
2n =，
∴M ，综上所述：M 的坐标为（5，1.2）
，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【9题答案】
【答案】（1）点A 坐标为（-k ，-1），点B 坐标（k ，1）；（2）△PCD 是等腰三角
形；，理由见解析；（3）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）联立两个函数解析式即可；
（2）先求出点C和点D的坐标，然后根据两点距离公式得到PC=PD即可；（3）过点P作PH⊥CD于H，根据等腰直角三角形的性质可得CD=2PH，可求m 的值；然后再点P不与B重合即可解答．
【详解】解：（1）∵两个函数图象的交点分别为点A和点B，
∴
1
y x
k
k
y
x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，解得：
1
x k
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
x k
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
∴点A坐标为（-k，-1），点B坐标（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形，理由如下：
∵k=1
∴点A和点B的坐标为（-1，-1）和（1，1），
设点P的坐标为（m，1
m
）
∴直线PA解析式为：
11m y x
m m
-=+
∵当y=0时，x=m-1，
∴点C的坐标为（m-1，0）
同理可求直线PB解析式为：
11m y x
m m
+ =-+
∵当y=0时，x=m+1，
∴点D的坐标为（m+1，0）
∴PC==
，PD==
∴PC=PD
∴△PCD是等腰三角形；
（3）如图：过点P作PH⊥CD于H ∵△PCD直角三角形，PH⊥CD，∴CD=2PH，
∴m+1-（m-1）=2×1
m
，解得m=1
∴点P的坐标为（1，1），
∵点B（1，1）与点函数
k
y
x
=在第一象限内的图象上的一个动点P不重合
∴不存在点P使△PCD为直角三角形．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、等腰直角三角形的性质、两点距离公式等知识点，掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．【10题答案】
【答案】（1）OF =4；（2）①证明见解析；② k=10；③或36-
.
【解析】
【详解】分析（1）由y=k
x
经过点B (2,4).，求出k的值，再利用F在直线y = x，求
出m的值，最后利用勾股定理求解即可;(2) ①利用反比例函数k的几何意义可求解;
②Rt△EBD中，分别用n表示出BD、BE、DE，再利用勾股定理解答即可; ③分三种情况讨论即可：OE=OD；
OE=DE；OD=DE.
详解：（1）∵F在直线y=x上
∴设F（m，m）
作FM⊥x轴
∴FM=OM=m
∵y=k
x 经过点B (2,4).
∴k=8 ∴∴
∴22216OF FM OM =+=∴OF =4；（2）①∵函数k
y x
=
的图象经过点D ，E ∴OC CD OA AE k ⋅=⋅=，∵ OC=2，OA=4∴CO=2AE ②由①得：CD=2AE ∴可设：CD=2n ，AE=n ∴DE=CD+AE=3n BD=4-2n ， BE=2-n
在Rt △EBD ，由勾股定理得：222DE BD BE =+∴()()2
2
29422n n n =-+-
解得n =
410k n ∴==-
③CD=2c ，AE=c 情况一：若OD=DE
∴()()22
244422c c c +=-+-
∴10c =-
∴440k c ==-
()2
22216296a b a b ab k ∴+=++=+=- 情况二：若OE=DE
()()22
216422c c c +=-+-
∴c =
410k c ∴==-
∴()2
22216236a b a b ab k +=++=+=-情况三：OE=OD 不存在.
点睛：本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的解析式求点的坐标，利用勾股定理得到方程，进而求出线段的长，注意解题时分类讨论的思想应用.
（2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期末）
【11题答案】
【答案】（1）3
y x
=，11
22
y x =-； （2）5
4
AOB S =
（3）3x >或20x -<<
（4）
)
或()
0，0)或(6,0)或5,03
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；（2）根据两三角形面积和可得结论；
（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应x 的取值；
（4）存在三种情况：OA OP =，OA AP =，AP OP =，根据点A 的坐标综合图形可得点P 的坐标．【小问1详解】
解： 点A 坐标为(3,1)把点A 的坐标代入k
y x
=
中得：3k =∴反比例函数的解析式是：3y x =
把点B 的坐标为(2,)m -代入3y x
=中，得：23m -=，32
m =-
3
(2,)
2
B ∴--把A 、B 两点的坐标代入y ax b =+中得：31322a b a b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：12
12a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
∴一次函数的解析式为：11
22
y x =
-；【小问2详解】
解：如图1，当0y =时，1102
2
x -=，1x =，
(1,0)C ∴，
11351112224
AOB AOC BOC S S S ∴=+=
⨯⨯+⨯⨯= ；【小问3详解】解：由图象得：k
ax b x
+>时x 的取值范围是：3x >或20x -<<；【小问4详解】
解：当AOP ∆是等腰三角形时，存在以下三种情况：①当OA OP =时，如图2
，
(3,1)A ，
OA ∴=
1(P ∴，
0)或2P 0)；②当OA AP =时，如图3，
(6,0)P ∴；
③当OP AP =时，如图4，过A 作AE x ⊥轴于E ，
设OP x =，则AP x =，3PE x =-，
222AP AE PE ∴=+，
2221(3)x x ∴+-=，
53
x =，
5
(3
P ∴，0)；
综上，P 的坐标为
)
或()
0，0)或(6,0)或5,03
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．
（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）
【12题答案】
【答案】（1）反比例函数的解析式是3
y x
=，一次函数的解析式是2y x =-． （2）三角形MON 的面积是4．
（3）所有符合条件的点Q 的坐标是)
或()6,0或503⎛⎫ ⎪⎝⎭
．【解析】
【分析】（1）把N 的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M 的坐标代入解析式，求出M 的坐标，把M 、N 的坐标代入y ax b =+，能求出一次函数的解析式；
（2）求出MN 与x 轴的交点坐标，求出MOC △和NOC 的面积即可；
（3）符合条件的有3个①OM OQ =，②OM MQ =，③MO OQ =，再利用勾股定理列方程求解即可．【小问1详解】
解：把()13N --，代入k
y x
=得：()133k =-⨯-=， ∴3
y x
=，
把()3M m ，代入得：1m =，
∴()31
M ，，
把()13N --，，()31M ，代入y ax b =+得： 3
31a b a b -+=-⎧⎨+=⎩，
解得：1
2a b =⎧⎨=-⎩
，
∴2y x =-，
答：反比例函数的解析式是3
y x
=，一次函数的解析式是2y x =-．【小问2详解】
如图，设MN 交x 轴于C ，
由2y x =-，当0y =时，2x =，
∴()20C ，
， 2OC =， ∴MON △的面积是11
2123422MOC NOC
S S =+=⨯⨯+⨯⨯= ， 答：三角形MON 的面积是4．【小问3详解】
设()()0>0Q x x ，
，而()31M ，，()00O ，，∴22QO x =，2223110MO =+=，()()2
2
223131QM x x =-+=-+，如图，MOQ △为等腰三角形，
当OM OQ =时，则210x =，
∴x =（负根舍去）
Q 的坐标是
)
；
当OM MQ =时，则()2
3110x -+=，解得：6x =（0x =舍去）
Q 的坐标是()60，
；当OQ QM =时，则()2
231x x =-+，解得：53
x =
，Q 的坐标是503⎛⎫ ⎪⎝⎭
，； 答：在x 轴的正半轴上存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，所有符合条件的点Q
的坐标是
)
0或()60，
或503⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．【点睛】本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，注意分类讨论思想的运用．
（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）
【13题答案】【答案】（1）1，1-
（2）()1,3--或()4,2--
（3）()
2-【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点O 为直角顶点时；②当点B 为直角顶点时；分别求解即可；
（3）由1
()2
CDB CDO O B OCBD S S S CD x x =+=⋅+ 四边形，即可求解．【小问1详解】
解：∵点()3,B b -在反比例函数()3
0y x x
=-<的图像上，∴1b =，即()3,1B -．
∵一次函数2y kx =-的图像过点()3,1B -，∴132k =--，解得1k =-．故答案为：1，1-；【小问2详解】解：存在．理由如下：
若OBP 是以OB 为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：①当点O 为直角顶点时，
如图，过点O 作1OP OB ⊥且1OP OB =，分别过点B 、1P 作y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，
∴190BEO OFP ∠=∠=︒，1
90BOE OBE BOE POF ∠+∠=∠+∠=︒，∴1OBE POF ∠=∠，又∵1OB OP =，
∴()1AAS BEO OFP ≌△△，
∴1
1OE PF ==，3BE OF ==，∴()
11,3P --
②当点B 为直角顶点时，
如图，过点B 作2BP OB ⊥，且2BP OB =，连接12PP ，
∴四边形21OBP P 是正方形，
∴12OB PP ∥，12OB PP =，
∴()24,2P --．
综上，点P 的坐标为()1,3--或()4,2--．
【小问3详解】
解：∵点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），
∴设点()(),230C m m m ---<<，则点3,D m m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则()11323322CDB CDO O B OCBD S S S CD x x m m ⎛⎫=+=⋅-=-++⨯= ⎪⎝⎭
四边形△△，
解得1m =2m =，
故点C 的坐标为()
2．
【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键．
（2022秋·山东淄博·九年级统考期中）【14题答案】
【答案】（1）()40y x x
=> （2）5 （3）存在，62,5⎛⎫- ⎪⎝
⎭或122,5⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,2-【解析】
【分析】（1）先求出点D 的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；（2）分别算出ACDB S 四边形，ABO S ，DCO S △的面积，利用
ABO ACBD OBD DCO S S S S =--四边形△△△即可得到答案；
（3）分三种情况，当90QPA ∠=︒，PQ PA =时；当90AQP ∠=︒，PQ AQ =时；当90PAQ ∠=︒，PA AQ =时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知3AB =，
∵点B 在反比例函数()60y x x =-
<的图象上，∴2OA =，
∵O 是线段AC 的中点，∴2CO AO ==，
∵2DC =，
∴点D 的坐标为()2,2，
∴224k =⨯=，∴反比例函数的表达式为()40y x x =
>；【小问2详解】解：∵()()113241022
ACDB S AB CD AC =⨯+⨯=⨯+⨯=四边形，1632ABO S =
⨯-=△，1422
DCO S =⨯=△，∴10325ABO ACBD OBD DCO S S S S =--=--=四边形△△△；
【小问3详解】
解：存在
分三种情况，∵()2,3B -，
∴直线OB 的表达式为32
y x =-．①如图1，当90QPA ∠=︒，PQ PA =时，
设点3,2Q a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则2PQ a =+∵45PAQ ∠=︒
∴AQ 平分PAO ∠．∴322a a +=-，解得45
a =-∴33462255
a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭∴62,5P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭；②如图2，当90AQP ∠=︒，PQ AQ =时，设点3,2Q a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭．
∵AQ 平分PAO ∠，
∴322
a a -=+，∴45
a =-∴33462255
a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭∴361222255PA a ⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭∴122,5P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭；③如图3，当90PAQ ∠=︒，PA AQ =时，点Q 与点O 重合，
∴2AQ AP ==，
∴2PA =，
∴()2,2P -，
综上所述，存在点P 使得APQ △是等腰直角三角形，其坐标为62,5⎛⎫- ⎪⎝
⎭或122,5⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,2-．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点P 的坐标．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
【15题答案】
【答案】（1）见解析；（2）y ＝
17
x ＋4；（3）－112、－84、－49【解析】
【详解】（1）根据ABC 为等腰直角三角形，AD ED ⊥，BE ED ⊥，可判定ACD CBE ≌，从而得结论；
（2）根据CBD BAO ≌，求得73C -（，），最后运用待定系数法求直线2l 的函数表达
式；
（3）根据ABC 为等腰直角三角形分三种情况：以A ，B ，C 三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C 的坐标，根据=k xy 可得结论．解：（1）如图1，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴CB ＝CA ，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．
又∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，
∴∠D ＝∠E ＝90°，∠EBC ＋∠BCE ＝90°，
∴∠ACD ＝∠EBC ，
在△ACD 与△CBE 中
D E ACD EBC CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ）
∴AD ＝CE ；
（2）∵直线y ＝43
x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，∴A （0，4）、B （－3，0），
如图2
，
图2
过点B 做BC ⊥AB 交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，
在△BDC 和△AOB 中，
CBD BAO CDB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△AOB （AAS ），
∴CD ＝BO ＝3，BD ＝AO ＝4，
∴OD ＝OB ＋BD ＝3＋4＝7，
∴C 点坐标为（－7，3），
设l 2的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，C 点坐标代入，
得374k b b =-+⎧⎨=⎩
，解得174
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴l 2的函数表达式为y ＝
17
x ＋4；（3）分三种情况：
①如图3，90CAB ∠=︒，过点C 作CE x ⊥轴于E
，
当0x =时，8y =，
当0y =时，
4803
x +=，∴6x =，
∴6OA =，8OB =．
∵ABC 是等腰直角三角形，
∴AB AC =，90BAC ∠=︒，
由（1）同理可得()CEA AOB AAS ≌，
∴6CE OA ==，8AE OB ==，∴146C -（，），
∴14684k =-⨯=-；
②如图4，90ABC ∠=︒，过点C 作CF y ⊥轴于F ，
由（1）同理可得()CFB BOA AAS ≌，
∴8CF OB ==，6BF OA ==，
∴814C -（，），
∴148112k =-⨯=-；
③如图5，90ACB ∠=︒，过点C 作GH y ∥轴，过点B 作BG x 轴，
同（1）可得BGC CHA AAS ≌（），
∴CG AH =，BG CH =，
设AH m =，
则6BG CH m ==+，
∴86OB m m ==++，
∴1m =，
∴77C -（，），
∴7749k =-⨯=-．
综上，k 的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案为：-112、－84、-49．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．。