2015年高考新课标Ⅰ卷文数试题+解析.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）
数学（文科）
一、选择题：每小题5分，共60分．
1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（ ） A ．(7,4)-- B ．(7,4) C ．(1,4)- D ．(1,4) 3．已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则z =（ ）
A ．2i --
B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i +
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
310 B ．15 C ．110 D ．120
5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12
，E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准
线与E 的两个交点，则AB =（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为162．立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）
A ．
172 B ．19
2
C ．10
D ．12 8．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．13
(,),44k k k Z ππ-
+∈ B ．13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
C ．13
(,),44k k k Z -+∈
D ．13
(2,2),44
k k k Z -+∈
9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．
8
10．已知函数1222,1,
()log (1),1,
x x f x x x -⎧- ≤=⎨-+>⎩且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）
A ．74-
B ．54-
C ．34-
D ．14
-
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一
个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 12．设函数()y f x =的图象与2
x a
y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13．数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．
14．已知函数3
()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,7)，则a = ．
15．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则3z x y =+的最大值为 ．
16．已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是C
左支上一点，A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题 17．（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos B ； （2）若90B =
，且a =
求ABC ∆的面积．
18．（本小题满分12分）
如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ， （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若120ABC ∠=，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -
求该三棱锥的侧面积． 19．（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t
）和
俯视图r
2r
A
B
C
D
G
E
正视图
俯视图
年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量(1,2,,8)i y i =数据作了初步处理，得到下
面的散点图及一些统计量的值
.
表中i w =8
1
18i i w w ==∑．
（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（2）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()
=
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-．
20．（本小题满分12分）
已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22
(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．
（1）求k 的取值范围；
（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN ．
21．（本小题满分12分） 设函数2()ln x
f x e
a x =-．
（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时2()2ln
f x a a a
≥+．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆22
2:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系．
（1）求12,C C 的极坐标方程． （2）若直线3C 的极坐标方程为π
(R)4
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）
数学（文科）答案
1．【答案】D 【解析】{8,14}A
B =，故选D ．
2．【答案】A 【解析】(3,1)AB =，BC =(7,4)BC AC AB =-=--． 3．【答案】C 【解析】1i
12i i
z +=+
=-． 4．【答案】C 【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，
(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，这3个数构成一组勾股数为(3,4,5)，共1个，∴所求的概
率是1
10
P =
． 5．【答案】B 【解析】依题意12,2
c c e a ===，∴4a =
，b ==．∴椭圆E 的方程为2211612x y +=， 由222
11612
x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得3y =±，∴6AB =．
6．【答案】B 【解析】∵
1284r π⨯=，∴16r π=2
111154343V Sh r π=⨯=⨯⨯⨯2516320320()35.556
1239
πππ=⨯=≈≈，35.556
22162
≈．． 7．【答案】B 【解析】∵844S S =，∴118743
84(4)22
a d a d ⨯⨯+=+， ∴118284(46)a a +=+，∴112a =．∴10119
92a a d =+=．
8． 【答案】D 【解析】22512()44
T ππ
ωπ===-，()cos()f x x πϕ=+．
∵()f x 在点1
(,0)4的图象特征是从左到右是下降趋势，
∴12,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，取4πϕ=，∴()cos()4
f x x ππ=+．
令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得13
24,44
k x k k Z -<<+∈，故选D ．
9．【答案】C
10．【答案】A 【解析】依题意12231
a a -⎧-=-⎨≤⎩或2log (1)3
1a a -+=⎧⎨>⎩，解得7a =，
则27
(6)(1)224
f a f --=-=-=-
． 11． 【答案】B 【解析】该几何体为半圆柱和半球组合而成，2
2
2
11620(2)2(2)2()2
r r r r r ππππ+=++⨯+⨯，解得2r =．
12．【答案】C 【解析】设(,)x y 是()y f x =上任一点，点(,)x y 关于关于直线y x =-对称的点为(,)y x --，
∴2
y a
x -+-=，∴2log ()y a x -+=-，∴2log ()y a x =--．
∴22(2)(4)log 2log 4231f f a a a -+-=-+-=-=，∴2a =． 13．【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴
1
2n n
a a +=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴12(12)
2212612
n n n S +-=
=-=-，∴6n =． 14．【答案】1
【解析】2
()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，(1)2f a =+，切线方程为(2)(31)(1)y a a x -+=+-，
∴7(2)(31)(21)a a -+=+-，解得1a =． 15．【答案】4
16．
【答案】(3,0)F ，左焦点为(3,0)F '-．APF ∆周长为
||||||||(||2)||PA PF AF PA PF a AF '++=+++(||||)17||1732PA PF F A ''=++≤+=，
即当,,F P A '三点共线时，APF ∆周长最小．直线F A '
的方程为y =+，
由22
18y y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩
，解得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
或7x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，
点(2,-到直线FA
：0y +-=
的距离d =
=
，
∴111522APF S FA d ∆=
⋅=⨯= 17．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵2sin 2sin sin B A C =，∴由正弦定理可得22b ac =．
又a b =，可得2
221
cos 24
a c
b B a
c +-=
=． （2）由（1）知2
2b ac =．∵90B =，∴222
a c
b +=．
∴22
2a c ac +=
，∴a c ==
．∴211
122
ABC S ac ∆==⨯=．
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥． BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥．
∵BD BE B =，∴AC ⊥平面BED ．∵AC ⊂平面AEC ,∴平面AEC ⊥平面BED ．
（2）设AB x =，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=
，∴AG GC x ==
，2
x GB GD ==． ∵AE EC ⊥，∴在Rt AEC ∆
中，122
EG AC x =
=． ∵BE ⊥平面ABCD ,∴EBG ∆为直角三角形，
∴2
BE x =
==．
∴3
111()332E ACD ACD V S BE AC GD BE x -∆=
⋅=⨯⋅⋅=．
∵3E ACD V -=
，∴
3
324
x =，故2x =
．∴AE EC ED ===． ∴1
32
EAC S EA EC ∆=
⋅=
，EAD ECD S S ∆∆==E ACD -
的侧面积为3+ 19．（本小题满分12分）
【解析】（1
）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型．
（2
）令w =
y 关于w 的线性回归方程式．
由于2
8
1
8
1
()()
108.8
=
681.6
()
i
i
i i i w w y y d w w ==--=
=-∑∑，56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=， ∴y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+,因此
y 关于x 的回归方程为100.6y =+ （3）（ⅰ）由（2）知，当49x =
时，
年销售量y 的预报值100.6y =+，年利润z 的预报值576.60.24966.32z =⨯-=．
（ⅱ）根据（2）的结果知，年利润z
的预报值0.2(100.620.12z x x =+-=-+
． 13.6
=6.82
=
，即46.24x =时，z 取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 20．（本小题满分12分）
【解析】（1）依题意设，直线l 的方程为1y kx =+．∵l 与
C 1<．
∴2
3830k
k -+<
，解得
4433k -+
<<．∴k
的取值范围为44(33
． （2）设()1122,,(,)M x y N x y ．由22
1(2)(3)1
y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩，得22
(1)4(1)70k x k x +-++=．
∴121222
4(1)7
,11k x x x x k k
++=
=++． 1212OM ON x x y y ⋅=+1212(1)(1)x x kx kx =+++21212(1)()1k x x k x x =++++2
4(1)
81k k k
+=
++． ∵12OM ON ⋅=，∴
2
4(1)
8121k k k ++=+，解得1k =，
∴l 的方程是1y x =+．故圆心C 在l 上，∴2MN =．
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2(0)x
a
f x e x x
'=->． 当0a ≤时，()0f x '>，()f x '没有零点； 当0a >时，∵2x
e 单调递增，a
x
-单调递减，∴()f x '在(0,)+∞单调递增，又()0f a '>， 当b 满足04a b <<
且1
4
b <时，()0f b '<，∴当0a >时，()f x '存在唯一零点． （2）由（1），可设()f x '在(0,)+∞的唯一零点为0x ，
当0(0,)x x ∈时，()0f x '<；当0()x x ∈+∞，
时，()0f x '>． 故()f x 在(0,)+∞单调递减，在0()x +∞,单调递增，∴0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ． 由于0
2020x a e
x -
=，0020022
ln ln ln ln ln 222x x a a x e x e a
==-=-- ∴0
200002()ln (ln 2)2x a f x e a x a x x a =-=
---0022ln 2a x a a x a =+
+22
ln 2ln a a a a a
≥=+． 故当0a >时，2
()2ln
f x a a a
≥+． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．
（2）将4
πθ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=
，得240ρ-+=
，解得12ρρ=
故12ρρ-=
MN =2C 的半径为1，∴2C MN ∆的面积为1
2
．。