山东省青岛市2008年7月高一期末统一考试(数学必修2,4,5).1

高一数学试题 2008、7
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

C. 3490x y -+=
D. 34110x y -+= 或 3490x y --= 5. 若0,a b <<则下列不等式不能成立的是
A ．11
a b
>
B ．22a b
> C ．0a b >> D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6.两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离分别为(km)a 、2(km)a ， 灯塔A 在C 北偏东
30o ,B 在C 南偏东30o ,则A 、B 之间相距
A ．3(km)a
B (km)
C (km)
D ．2(km)a
7. 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足 A 1=+b a
B 1=-b a
C 0=+b a
D 0=-b a
8. 如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不
包括边界），若向量12OP aOP bOP u u u v u u u v u u u u v =-，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数,a b 满足
A.0,0a b <>
B. 0,0a b ><
C. 0,0a b <<
D. 0,0a b >>
9.
函数2
2()cos ()sin ()1x x f x ππ=-++-是
高一数学试题
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.已知0m >，向量(,1)a m =v ，若2a =v
，则m 等于 ；
14. 已知数列{n a }的前n 项和2
91n S n n =-+（*N n ∈），则其通项n a = ；
15. 若13
cos(),cos()55
αβαβ+=
-=，.则tan tan αβ= ；
16.对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<
恒成立，则a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共７４分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题12分） 已知2
1)4
tan(
=
+απ
. 求：(Ⅰ)αtan 的值；
(II)α
αα2cos 1cos 2sin 2+-的值.
选做题（以下A 、B 两组试题分别供不同学校的学生作答，误答者不得分）
A 组试题(1中、2中、9中、15中、17中、19中、39中、58中的学生答) 20A . （本小题12分）
直线l 过点(2,1)P ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点.
(Ⅰ)当三角形AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (II)当PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程. 21A ．（本小题12分）
在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知向量(cos ,)p B b =u v
，(cos ,2)q C a c =-v ，且p u v 和q v
是共线向量.
(Ⅰ)求角B 的大小； (II)求函数2
32sin cos()2
C A
y A -=+的最大值及最大值时角A 的大小. 22A ．（本小题14分）
21B ．（本小题12分）
在△ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，且满足sin sin sin a A b B c C +=. (Ⅰ)求角C ；
(II)若9BA BC ⋅=u u u v u u u v ，且3AB CA ⋅=-u u u v u u u v
，求角B .
22B ．（本小题14分）
在数列{}n a 中，15a =，点()13
(,)N 4
n n a n a n *+-
∈在直线41y x =+上. (Ⅰ)证明：数列{}n a n -是等比数列；
(II)令 前n 项和n S .
{}2,n n n n n n c n b a c b =+=-，设求数列的
高一数学参考答案及评分标准 2008、7
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1、D ；
2、A ；
3、C ；
4、B ；
5、B ；
6、B ；
7、D ；
8、C ；
9、A ；10、D ；11、B ；12、B
二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13
14、()()712-102n n a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩
；15、12
；16、(－2 , 2] 三、解答题：本大题共6小题，共７４分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

α
π
tan tan
+ 于是 541cos 22cos 2
=-=αα
5
3
cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα …………………………10分
代入得
65
5
41109532cos 1cos 2sin 2
-=+-
-
=+-ααα …………………………12分 18.解：(Ⅰ)设(,)OP x y =u u u v . ∵点P 在直线OM 上， ∴OP uuu v 与OM u u u u v 共线，而(2,1)OM =u u u u v ，
∴20x y -=，即2x y =，有(2,)OP y y =u u u v
…………………………2分
∵(12,7)PA OA OP y y =-=--u u u v u u u v u u u v ，(52,1)PB OB OP y y =-=--u u u v u u u v u u u v
， ∴(12)(52)(7)(1)PA PB y y y y ⋅=--+--u u u v u u u v
，
即2
52012PA PB y y ⋅=-+u u u v u u u v
. ……………………………4分
又8PA PB ⋅=-u u u v u u u v ， ∴2
520128y y -+=-，……………………6分 所以2y =，4x =，此时(4,2)OP =u u u v
. ………………………………8分 (II)
(3,5),(1,1)PA PB =-=-u u u v u u u v .
的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+= 取最大值. …………10分
解方程组⎩⎨
⎧=+=+.
4028,
60105y x y x
得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2
答：生产甲、乙两种产品均为4件，公司的收益最大，最大收益是25.2万元. …………12分 20A ．解：
(Ⅰ) 设所求的直线方程为100x y
,a ,b ,
a b +=>> 代入点P(2,1)，
得2118
ab a b +=≥≥得…………………………2分 从而此时 ………………4分 从而直线方程为： …………………6分 (II)由题意，可设直线l 为1(2)y k x -=-(0)k <， 分别令0y =和0x =得1
(2,0)A k
-
，(0,12)B k -…………………………8分
(II)∵2()3
C A B A π
π=-+=
- 22sin cos(2)3y A A π
=+-…………8分
1cos 2cos
cos 2sin
sin 23
3
A A A π
π
=-++
11cos 222A A =-+1sin(2)6
A π=+-…………10分
当26
2A π
π
-
=
即3
A π
=
时，所求函数有最大值2 …………………12分
1
4,2
AOB ab S ∆=≥
22A ．解：(Ⅰ)Q 三点)3
,1(
),,2(),2,1(n
n n B a A M n n n -共线 322,1
1n n a n n
-∴-=-- 21n a n ∴=-………………………………………4分
(II)由（Ⅰ）知 ()
1
21612n n n n b --=+-⋅λ⋅，要使得都有1n n b b +>恒成立
∴()()1
121211612612n
n n n n n n n b b -++-+-=+-⋅λ⋅---⋅λ⋅
从而直线方程为 ………………6分 (II)设所求的直线方程为100x y
,a ,b ,
a b +=>> 代入点P(2,1)，
得21
18
ab a b +=≥≥得…………………………8分 从而此时 …………………10分 从而直线方程为 …………………12分 21B.解：(Ⅰ)因为C c B b A a sin sin sin =+
所以由正弦定理得2
2
2
a b c +=…………………………………………3分
8151
0x y --=1
4,2
AOB ab S ∆=≥
即△ABC 为直角三角形
2
C π
∴=
…………………………………………6分
(II)由题意知，cos 9,ac B =且cos 3bc A =…………………………8分 两式相除，cos 3cos a B
b A
=，由正弦定理得，sin cos 3sin cos A B B A =……………10分
又由（Ⅰ）知：2
A B π
+=
22cos 3sin B B ∴=
21tan ,(0,)32
B B π
∴=∈Q。