圆周运动,开普勒三定律,牛顿万有引力定律及其应用

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圆周运动，开普勒三定律，牛顿万有引力定律及其应用 开普勒的三大定律
第一定律（轨道定律）：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦 点上。

第二定律（面积定律）：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的时间内总是 扫过相等的面积。

第三定律（周期定律）：每个行星的椭圆轨道是半长轴的立方跟公 转周期
T"
行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时，公式中的 a 即为圆半
径。

开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定的实验基础，同时，开普 勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之一，从他所在的时代开始， 数学方程就成为表达物理规律的基本方式。

天体密度的测定
M M
O = ---- = -----------
3 应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该天体的半径或直径,
就可求出该天体的密度，即
例如：某登月密封舱在离月球表面 112k m 的空中沿圆形轨道绕月球运行，运行周期 为
120.5分钟，月球半径为1740km 应用万有引力公式算出月球质量为 w 一 GT 「
X 3 14-龙01112 K 13 +］加 X 1 炉尸
6 67X 10^* x （12O 5X 60）^
=7 19 X 1严（千克）
月球平均密度为
才里_= -- 上工 ---- =^126X103(千Q 常灯
3 uxn 7J1 X
F = G^
牛顿万有引力定律：
『
(9)
如果不易测知天体半径，也可用人造飞行器沿该天体的表面匀速率绕
密度为
m Z 3n V
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天体质量的测定
假定某天体的质量为 M 有一质量为m 的行星（或卫星）绕该天体做圆周运动, 圆周半径为r ，运行周期为T ,由于万有引力就是该星体做圆周运动的向心力，故 有
Q =厂疋 i^i 丁］ f
由此武»轴=笞二若冲悯丁扌时删可计幕出蕊体馬*M.
例如：测知月球到地球平均距离为 r=3.84 X 108m 月球绕地球转动周期 T=27.3日
=2.36 X 106秒，万有引力常量 G=6.67X 1O-11牛•米2/kg2，将数据代入上式可 吨-G*
厂
由此式可得M 曲a 竺ia &0X 1尸干克
G
近地点和远地点
求得地球质量约为 5.98 X 1024kg 。

球表面物体的重力近似等于万有引力，所以地球质量还可用下式粗算
由于地
人造地球卫星的轨道多数不是圆而是椭圆，地球的球心位于椭圆的一个焦点 上，如图所示，当卫星位于图中 P 点时，距离地球表面最近，此位置称为近地点, 长轴上的另一项点Q 则为远地点。

由开普勒定律可知卫星位于近地点时速率最大，位于远地点时速率最小，由于 近地点和远地点处曲率半径相同，所以
2
mil _ invp
小 mM mF J I 丁
由上面两式比得
vP : vQ=LOQ LOP
此式说明同一颗卫星在近地点和远地点速率之比等于它们与地球中心距离的倒 数。

近地点速率大，远地点速率小。

在此，不要误认为 I 0P I 0C 是卫星在近地点
和远地点的曲率半径。

人造地球卫星
设某物体以速度V 沿地球表面绕地球中心做圆周运动，它做匀速圆周运动的半 径是地球半径R0,促使它做圆周运动的向心力即为万有引力且近似等于重力，故 有
^^ =罔2=如 X 10* 工 7 l» = g （千#/秒）
这说明沿地球表面飞行的物体若要不落回地面，必须每秒钟飞行 8km 在牛顿时代，使物体达到这样大的速度还不可能，直到 1957年，原苏联利 用多级火箭发射成功了人类第一颗人造地球卫星。

在近地点 在远地点
Q
P （ ®
卫星不可能恰好沿地球表面飞行，设卫星距地面高度为 h ,地球半径为
球质量为M 卫星飞行速度为V 。

C Mm mv G ---------- 5-= -------- (%+h)2 切+h
'由上式求得
v =
知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小，例如我国 1970年4月24日发射的第一颗人造地球卫星距地面平均高度约为 1412km
星飞行的平均速率约为 “竺.临的cm 尸
珀斗 h
« 4+ 14） x10*
不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表:
圆周运动及应用测试
的吊绳较短，系B 的吊绳较长.若天车运动到 P 处突然停止，则 两吊绳所受的拉力FA 和
FB 的大小关系为
（
A. FA>FB B . FA<FB
C. FA = FB= mgD . FA = FB>mg
解析：天车运动到P 处突然停止后，A B 各以天车上的悬点为圆心做圆周运 动，线 速度相同而半径不同，由F — mg= m 得：F = mg+ m 因为m 相等，v 相等，
R,地
所以卫
J"
1.如图 1所示, 单项选择题（本题共5小题，每小题7分，共35分） 天
车下吊着两个质量都是 m 的工件A 和B ，系A
2.如图2所示，OO 为竖直轴，MN 为固定在00上的水
平光滑杆，有两个质量相同的金属球 A B 套在水平杆上,
而LA<LB ,所以FA>FB , A 选项正确.
AJ_
ft. —U
厂
答案：A
AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细线, 00 当 时
上.当绳拉直时,
转 轴
C 端固定在转轴
A 、
B 两球转动半径之比恒为2 :
的 角 速 度
()
B . B
C 先断
1，
逐 图2
C .两线同时断
A. AC 先断
哪根线先断
解析：对A 球进行受力分析，A 球受重力、支持力、拉力 力的分 力提供A 球做圆周运动的向心力，得：水平方向 FAcos a = mrA D 2，
同理，对B 球：FBcos
mrB w 2，由几何关系，可知 cos a =， cos
D .不能确定
FA 三个力作用，拉 所以：===.由于AOBC ,所以FA>FB,即绳AC 先断.答案：A
3. (2010 •临沂模拟)如图3所示，某同学用硬塑料管和一个质量为
m 的铁质螺丝
帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并沿水 平方向做半径为r 的匀速圆周运动，则只要运动角速度大小合适，螺丝帽恰好不 下滑.假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为 擦力. 则在
动 管 使 是
卩，认为最大静摩擦力近似等于滑 同学手
丝帽恰好不下滑时 转 动塑料
图3
分析正确的
A. B. C. D. 螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡 螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心 此时手转动塑料管的角速度CD =
若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动
解析：由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大 静摩擦 力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有
m# Ff = uFN=
卩m 3 2r ，得3=，选项A 正确、B 、C 错误；杆的转动速度增大时，杆对螺丝 帽的弹力增大，最大静摩擦力也增大，螺丝帽不可能相对杆发生运动，故选项 错误.
[a
I
答案：A
4.如图4所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触 面互不打滑，大轮半径是小轮半径
的 2倍.A B 分别为大、 小轮边缘上的点，C 为大轮上一条半径的中点.则
B .大轮转动的角速度是小轮的 D .质点
加速度aB = 4aC 两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，
vA = vB ，而rA = 2rB ，故
由&门=得==，C 错误；由an = 3 2r 得==2，则=4，D 正确.
D
w
——花“/
5. （2010 •茂名模拟）如图5所示，在倾角 a = 30°的光滑斜面
上，有一根长为L = 0.8 m 的细绳，一端固定在 0点，另一端系一质量为 m= 0.2 kg 的小球，小球沿斜面做圆周运动.若要小球能通过最高点 的最小速度是
（）
解析：通过A 点的最小速度为vA = = 2 m/s ，则根据机械能守恒定律得：
mvS = mv/2+ mgL 解得vB = 2 m/s ，即C 选项正确. 答案：C
、双项选择题（本题共5小题，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有两 个选项 正确，全部选对的得7分，只选一个且正确的得2分，有选错或不答的得0分）
A.两轮转动的角速度相等 C.质点加速度aA = 2aB
解析：
3 A = 3 B ，
A 、
B 错误；
答案：
A ，则小球在最低点B
图5
A. 2 m/s
B. 2 m/s
D . 2 m/s
6.如图6所示，一小物块在开口向上的半圆形曲
面内以某一速率
此摩擦作用使物块下滑时 ()
率保持不变，故加速度为 图6
B.物块所受合外力大小不变，方向改变
C •在滑到最低点以前，物块对曲面的压力越来越大 D.在滑到最低点以前，物块受到的摩擦力越来越大
解析：物块下滑速率不变，可理解为物块的运动是匀速圆周运动的一部 分，物块所
受合外力充当所需的向心力，故合外力大小不变，而方向改变，向心加速度不为 零；设下滑过程中物块和圆心的连线与竖直方向的夹角为 0，对物块进行受力分
析可得
L ____________ FN- mgcos 0= m 其中0越来越小，所以FN 越来越大；Ff =
mgsin 0， 0越来越小时，
Ff 越来越小，故选项 B C 正确.答案：BC
7.如图7所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员 离开地面在
空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为 G 的女运动员做圆锥摆运
动时和水平冰面的夹角约为30° ，重力加速度为g ，估算该女运动
员
7
A.受到的拉力为G B .受到的拉力为2G C 向心加速度为g
D .向心加速度为2g 解析：设女运动员受到的拉力大小为
F ,分析女运动员受力情况可知，
Fsin30 ° = G,
Fcos30°= ma 向，可得：F = 2G, a 向=9，故 B 、C 正确. 答案：BC
开始下滑，曲面内各处动摩擦因数不同, 速率保持不变，则下列说法正确的是
A . 因物块下滑速 零
解析：两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所 需的向 心力相同，由F = mo 2r 可知，旋转半径满足：r 甲：r 乙=M 乙：M 甲=
1 : 2，
又r 甲+ r 乙=0.9 m ，贝U r 甲=0.3 m ，r 乙=0.6 m.两人的角速度相同，
:V 乙=1 : 2.
F = M 甲o 2r 甲可得3= 2 rad/s.故选项 B D 正确.
（2010 •阳江模拟）如图9所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道
内做圆周运动，管道内侧壁半径为
R,小球半径为r ，则下列说法中正确的是（）
A. 小球通过最高点时的最小速度 vmin =
B. 小球通过最高点时的最小速度 vmin = 0
C 小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用 力 图9 D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 解析：由于圆
形管道可提供支持力，故小球通过最高点时的速度可以为零. 小球在
8. （2010 •惠州联考）甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计
做圆周运动， 如图8所示. 数 为 是
已知M 甲=80 kg ,
皿
乙=40 kg ，两人相距0.9 m ，弹簧测力计的示
96 （
A.两人的线速度相同，约为 列 判 断 中 正 确 的
图8
40 m/s B .两人的角速度相同，为 2 rad/s
C •两人运动半径相同，都是
乙为0.6 m
0.45 m D .两人运动半径不同，甲为
0.3
答案:
水平线ab 以下的管道中运动时，重力方向竖直向下，而向心力指向圆心，故内侧 管壁不会对小球有作用力，而在水平线 ab 以上的管道中运动时，如果小球的速度 较小，如在最高点的速度 V W 时，最高点的外侧管壁对小球无作用力，故 确，A 、D 错误.
答案：BC
A/
wwhFg'g 10.如图10所示，放置在水平地面上的支架质量为 M 支架顶端用 细线拴着的摆球
质量为 m 现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中， 支架始终不动，以下说法正确的是（）
当摆球运动到最低点时，由机械能守恒得 由牛顿第二定律得：FT - mg= 对支架M 由
受力平衡，地面支持力 支架对地面的压力FN2= 3mg^ Mg
非选择题（本题共2小题，共30分）
（15分）（2009 •广东高考）如图11所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 转
筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 R 和H,筒内壁A 点的高度为筒高的一 图11
B 、
C 正
A.在释放前的瞬间，支架对地面的压力为 （m+ Mg B . Mg
C. 摆球到达最低点时，
D. 摆球到达最低点时， 在释放前
的瞬间，支
图10
支架对地面的压力为 支架对地面的压力为
架对地面的 压力为
解析：在释放前的瞬间绳拉力为零 (耐Mg (3
m H M) g FN1= Mg mg 矗
②由①②得绳对小球的拉力 FN= M 叶3mg 由牛顿第三定律知， 故
选项B D 正确.
答案：BD
11. 00 动，
①
FT = 3mg
求:
m 的小物块.
(1) 当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小； (2) 当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的 角速
度.
解析：(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的 夹角为
0 .
由平衡条件有Ff = mgdn 0 有 cos 0 = ，sin 0 =故有 Ff =，FN=
(2)分析此时物块受力如图所示，由牛顿第二定律有
其中 tan 0 =，r =，可得 3 =.答案：(1)
(2)
12. (15分)(2010 •青岛模拟)如图12所示,
细 线，一端系着一个质量为0.18 kg 的小球，拉住线的另一端， 使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转 速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的 3倍
时，细线断开，线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大 40
N ，求：(1)线断开前的瞬间，线受到的拉力大小； 动的线速
度；
(3) 如果小球离开桌面时，速度方向与桌边缘的夹角为 m 求
小球飞出后的落地点距桌边缘的水平距离.
解析：(1)线的拉力提供小球做圆周运动的向心力，
向心力为
F0，线断开的瞬间，角速度为 3，线的拉力为 FT . F0 = 03 02R
m 3 2R
②
由①②得==
③ 又因为FT = F0 + 40 N
FT = 45 N
⑵ 设线断开时小球的线速度为V ，由FT =得,
v = = m/s = 5 m/s
FN= m (cos 0
由图中几何关系
mgan 0 = mr w 2.
—根长0.1 m 的
图12
(2)线断开的瞬间，小球运 60 ，桌面咼出地面
0.8
设开始时角速度为
由③④得
(3)设桌面高度为h,小球落地经历时间为t，落地点与飞出桌面点的水平距离为x.由h = gt 2 得t = = 0.4 s x= vt = 2 m
则小球飞出后的落地点到桌边缘的水平距离为I = xs in60 = 1.73 m.
答案：(1)45 N (2)5 m/s (3)1.73 m。