高考数学二轮复习专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(解析版)

专题13圆锥曲线压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．
【核心考点目录】
核心考点一：轨迹方程
核心考点二：向量搭桥进行翻译
核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译核心考点四：斜率之和差商积问题核心考点五：弦长、面积范围与最值问题核心考点六：定值问题核心考点七：定点问题核心考点八：三点共线问题核心考点九：中点弦与对称问题核心考点十：四点共圆问题核心考点十一：切线问题核心考点十二：定比点差法核心考点十三：齐次化核心考点十四：极点极线问题
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆2
2112
x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的
两点，且点0,21Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．
【解析】（1
）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,
2
2
2
2
2
1144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛
⎫=+-=--=-+≤
⎭
+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-
时取等号，故PH
的最大值是11
.（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆2
2112
x y +=联立,可得
22
130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,A x y x y ，所以1221221
1231412k x x k x x k ⎧
+=-⎪+⎪
⎪⎨⎪=-
⎛⎫⎪
+ ⎪⎪⎝⎭⎩
，因为直线111
:1y PA y x x -=+与直线132
y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x =
=+-+-,同理可得,222224422(21)1
D x x x x y k x ==+-+-.
则
224||(21)1
C D x CD x k x =-=+-
==
6623155
5
k ==⋅⨯+，
当且仅当316k =
时取等号，故
CD 的最小值为5
.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线22
22
:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近
线方程为y =．(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且
1210,0x x y >>>．过P 且斜率为的直线与过Q M .从下面①
②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴b
a
=b =，
∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．
∴C 的方程为：2
2
13
y x -=；
（2）由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；
总之，直线AB 的斜率存在且不为零.
设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,
则条件①M 在AB 上，等价于()()2
000022y k x ky k x =-⇔=-；
两渐近线的方程合并为2230x y -=,
联立消去y 并化简整理得：()
2222
3440
k x k x k --+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2
3422
26,2233
N N N x x k k
x y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,
则条件③AM BM =等价于()()()()2
2
2
2
03030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：
()()()()3403434034220
x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，
()()34
0340343
4
220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,
即2
00283
k x ky k +=-；
由题意知直线PM
的斜率为直线QM
∴由
))10102020,y y x x y y x x -=--=-,
∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ
的斜率)12012
1212
2x x x y y m x x x x +--=
=--,
直线)00:PM y x x y =-+,
即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,
即
)
3y
y +-=中，
得：(
)()
00003y y ⎡⎤-+=⎣⎦,
解得P
的横坐标：100x y x ⎛⎫=
+⎪⎪⎭
,
同理：200x y ⎛⎫=-⎪⎪⎭
，
∴0
012012002222
000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-=++-=--⎪--⎭
∴0
3x m y =
,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：
条件①M 在AB 上，等价于()2
002ky k x =-；
条件②//PQ AB 等价于003ky x =；
条件③AM BM =等价于2
00283
k x ky k +=-；
选①②推③:
由①②解得：22
000022
28,433
k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：
由①③解得：20223k x k =-，2
0263
k ky k =-，
∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：
由②③解得：20223k x k =-，2
0263
k ky k =-，∴02623x k -=-，
∴()2
002ky k x =-，∴①成立.
3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；
(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当
αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为2
p
x =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32
p
MF p +
=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设2222
31241234,,,,,,,4444
y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，
由214x my y x
=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，由斜率公式可得
12221212444MN y y k y y y y -=
=+-，3422
34344
44
AB y y k y y y y -==+-，直线112:2x MD x y y -=
⋅+，代入抛物线方程可得()121
4280x y y y --⋅-=，
130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，
所以()34124422
MN
AB k k y y y y =
==++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22
MN AB k k α
β==
=，若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，设220MN AB k k k ==>，则
(
)2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--=
=≤+++，当且仅当
12k k =
即2
k =时，等号成立，
所以当αβ-
最大时，2
AB k =
，设直线:AB x n =+，
代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，
所以直线:4AB x =+.[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN 的斜率存在.
设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =-由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得：()
2222240k x k x k -++=，121x x =,同理，124y y =-.
直线MD :1
1(2)2
y y x x =
--,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =.代入抛物线方程可得:138y y =-,所以322y y =，同理可得412y y =，
由斜率公式可得：
()()21432143212121
.22
114AB MN y y y y y y k k x x x x x x ---=
===--⎛⎫- ⎪⎝⎭
（下同方法一）若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
设220MN AB k k k ==>，则
(
)2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--=
=≤+++，当且仅当
12k k =
即2
k =时，等号成立，
所以当αβ-最大时，2
2
AB k =
，设直线:AB x n =+，
代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以
直线:4AB x =+.[方法三]：三点共线
设2222
31241234,,,,,,,4444
y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
设(),0P t ,若P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ，所以22
122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，化简得124y y t =-，
反之，若124y y t =-,可得MN 过定点()
,0t
因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =-，
由M 、D 、A 三点共线，得138y y =-，由N 、D 、B 三点共线，得248y y =-，则3412416y y y y ==-，AB 过定点（4,0）
（下同方法一）若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
设220MN AB k k k ==>，则
(
)2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--=
=≤+++当且仅当
12k k =
即k =所以当αβ-
最大时，2
AB k =
，所以直线:4AB x =+.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
4．
（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫
⎪⎝⎭
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =
．证明：直线HN 过定点．
【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫
⎪⎝⎭
，
则41
914
n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1
3m =，14n =，
所以椭圆E 的方程为：22
143
y x +=.
（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2
:23
+=AB y x ，
①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22
134
x y
+=，
可得(1,)3M -
，(1,)3
N ，代入AB 方程223y x =-
，可得
(3,)3T -，由MT TH =
得到(5,)3
H --.求得HN
方程：(22y x =-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22
(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()
1222
1228234444234k y y k k k y y k ⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩
，且12212
24(*)34
k
x y x y k -+=
+联立1
,2
23y y y x =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时12
22112
:()36y y HN y y x x y x x --=
-+--，
将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，
综上，可得直线HN 过定点(0,2).
-5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1
x y
C a a a -=>-上，直线l 交C
于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；
(2)
若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．
【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线22
22:1(1)1
x y
C a a a -=>-上，
所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线2
2:12
x C y -=．
易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，
联立22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()
222
124220k x mkx m ----=，所以，2121222422
,2121
mk m x x x x k k ++=-=--，
()()
222222Δ16422210120m k m k m k =-+->⇒-+>且22
≠±k ．
所以由0AP AQ k k +=可得，
212111
022
y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，
所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛
⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭
，
化简得，()2
844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，
所以1k =-或12m k =-，
当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）
知，2
12220x x m =+>，
当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=
，所以tan 2α=
2tan 0αα+-
，解得tan 2
α=
（负值舍去）此时PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B 均在双曲线右支时，
因为tan PAQ ∠=，所以(
)tan βα-=
tan 2α=-，
2tan 0αα-=
，解得tan α=（负值舍去），
于是，直线):21PA y x =-+
，直线):21QA y x =-+，
联立)2221
1
2
y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩
可得，
)
2
3241002x x ++-=，
因为方程有一个根为2
，所以103P x -=
，P y
=5
3
，
同理可得，103Q x +=
，Q y
=5
3
-．所以5
:03PQ x y +-=，163
PQ =，点A 到直线PQ
的距离3d ==，
故PAQ △
的面积为1162339
⨯⨯=
．［方法二］：
设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭
，由tan PAQ ∠=
tan 2PAQ ∠=由2PAQ απ+∠=
，得tan AP k α==
111
2
y x --
联立1112y x --，及221112
x y -=
得1103x -=
，153y =，
同理，2x =
2y =12203
x x +=，12689x x =
而1||2|AP x =-
，2||2|AQ x -，
由tan PAQ ∠=
sin PAQ ∠=
，
故12121
16||||sin 2()4|.2
9
PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++=
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 优解；
法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
【方法技巧与总结】
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
【核心考点】
核心考点一：轨迹方程
【规律方法】
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
的一条渐近线为y =，
(1)求双曲线方程；
(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+
，求点M 的轨迹方程.
【解析】（1
）由渐近线为y =
知，
b
a
=
(),0c 到
直线y =
2
=
=，所以2c =，224a b +=②，联立①②，解得2
1a =，2
3b =，则双曲线方程为2
2
13
y x -=.
（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，
点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()
22
3240k x kx ---=，
设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122
122Δ023403k x x k x x k ⎧
⎪>⎪
⎪
+=⎨-⎪
-⎪
⋅=<⎪-⎩
解得k <<由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()122
1212
2236
23k x x x k y y y k x x k ⎧
=+=⎪⎪-⎨
⎪=+=++=⎪-⎩
两式相除得
3x k y =，即3x k y =代入26
3y k
=-得22230y y x --=，
又k <<2y
，所以点M 的轨迹方程为()22
2302y y x y --=
.例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，
的直线l 交曲线2
2
14
y x -=于A ，B 两点．
(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；
(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．
【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与22
14
y
x -=联立有
2
21
14y x y x =+⎧⎪
⎨-
=⎪⎩
，消去y 得：23250x x --=，解得=1x -或53x =.则令A ()1,0-，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB
3=.
（2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.
将其与2
214y x -=联立有：2
21
14y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
，消去y 得：()
22
4250k x kx ---=因l 与双曲线有两个交点，则22
40
Δ80160k k ⎧-≠⎨=->⎩
，得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，.又设M 坐标为()00x y ，，则
1212
0022
，x x y y x y ++==.因A ，B 在双曲线上，则有()2211120122
1212022214441
4y x x x x y y k y y x x y y x ⎧-=⎪+-⎪⇒=⇒=⎨+-⎪-=⎪⎩
.又M ，()01P ，
在直线l 上，则00
1
y k x -=.故00
00
14y x x y -=2200040x y y ⇒-+=由韦达定理有，12224k x x k +=
-，12
2
8
4y y k +=-.则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ --⎝⎭
.
又02
4
4y k
=
-，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <-.综上点M 的轨迹方程为：2240x y y -+=，其中()[)41y ⋃∞∈-∞-+，
，.例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，
若0PA PB ⋅=
，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22
:
194
x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=
，求出动点Q 的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方
程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=
可知，四边形OAPB 为正方形，所以点P 在以O 为圆心，||OP
长为半径的圆上，且|||OP OA =，进而动点P 的轨迹方程为2222x y r +=（2）设两切线为1l ，2l ，
①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k
-，
1l 的方程为00()y y k x x -=-22194
x y +=，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=，
因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx --+⋅--=，化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k --+-++=，进而2200()(49)0y kx k --+=，
所以222
000(9)240--+-=x k x y k y 所以k 是方程222
000(9)240--+-=x k x y k y 的一个根，同理1k
-是方程222
000(9)240--+-=x k x y k y 的另一个根，202041()9
y k k x -∴⋅-=-，得22
0013x y +=，其中03x ≠±，
②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(3,2)±±，
P 点坐标也满足22
0013x y +=，
综上所述，点P 的轨迹方程为：22
0013x y +=．
（3）动点Q 的轨迹方程是2222
00x y a b
+=+以下是证明：设两切线为1l ，2l ，
①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1
k
-，
1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22221x y a b
+=，得222222222
0000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=，
因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，
得()222
222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b --+⋅--=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k --+-++=，进而220220()()0y x b k a k --+=，
所以2220
00022()20x k x y k y a b --+-=所以k 是方程222
00022()20x k x y k y a b --+-=的一个根，同理1k
-是方程2220
00022()20x k x y k y a b --+-=的另一个根，202022
1()y k a
x b k -∴⋅-=-，得2222
00x y a b +=，其中0x a ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，
P 点坐标也满足2222
00x y a b +=+，
综上所述，点P 的轨迹方程为：2222
00x y a b +=+．
核心考点二：向量搭桥进行翻译【规律方法】
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．【典型例题】
例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，倾斜角为30︒
的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）.(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =
，求实数m 的取
值范围.
【解析】（1
）由题可知(
)2
2231
122b c a c b a b c ⎧=
⎪⎪⎪⎪+=+
⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩
解得2,
1,
a b c ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩故椭圆的方程为2
214
x y +=.
（2）当直线l 的斜率不存在时，设()0,1P ，()0,1Q -，()0M m ，，
由2PM MQ = ，()()0120,1m m -=--，，得13
m =-，
同理，当()0,1Q ,()0,1P -时，得1
3m =，所以13m =±，
当直线l 的斜率存在时，即1
3
m ≠±时，
设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立22
,44,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2
2
2148440k
x
kmx m +++-=.
因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点P 、Q ，
所以()()22
2
Δ(8)414440km k
m
=-+->，
即22410k m -+>①.设()()1122,,,P x y Q x y ，
则2121222
844
,1414km m x x x x k k -+=-=
++②，则()()1122,,,PM x m y MQ x y m =--=- ，由2PM MQ =
，得122x x -=③，
③代入②得()
2
22
22(8)4421414km m k k --⨯
=
++，
化简整理得2
2
2
1364
m k m -=-④，将④代入①得2
22
1191
m m m ->--，化简得2
119
m <<，
解得113m -<<-或1
13m <<.
综上，m 的取值范围为111,,133⎛
⎤⎡⎫
-- ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
U
.例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）
的离心率2
e =，
点(),0A a 、()0,B b
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)
若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ + 与AB
共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点(),0A a 、()0,B b
=
2e =
，所以有2
c a =，而222a b c =+，
因此组成方程组为：22222
221a c a b a b c =⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩
2212x y +=；（2）设l
的方程为y kx =
22
221
(12)202
x y k x y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=⎩
，
于是有222
1
)4(12)202
k k -+⋅>⇒>
，此时设1222(,),(,)P x y Q x y ，
于是有12x x +=
，
假设存在常数k ，使得OP OQ + 与AB
共线，
因为1212(,)OP OQ x x y y +=++
，(,)(AB a b =-= ，
12121212)()()y y x x kx kx x x +=-++=-+，
1212()4()x x x x ⇒++=-+
，因为122
12x x k -+=
+，
22
412122
k k k --⋅
+=-⇒=++，不满足2
12k >，因此不存在常数k ，使得OP OQ + 与AB
共线.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y b
Γ-=与圆222
2:4(0)x y b b Γ+=+>交
于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1
）若A x =b 的值；
（2）
当b =，2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；
（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
斜率为2b
-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示
OM ON ⋅ ，并求OM ON ⋅
的取值范围．
【解析】（1
）由A x =A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立22
2222144A A A
A x y b
x y b
⎧-=⎪
⎨⎪+=+⎩
，解得A y =2b =；（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，又18PF =，24a =，所以2844PF =-=，
因为b =
3c =，所以126F F =，
在12PF F △中，由余弦定理可得222
12121212
||||cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅6416361128416
+-=
=⨯⨯，
由120F PF π<∠<，可得1211
arccos
16
F PF ∠=；
（3）设直线2
4:22
b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l
的距离d =所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以2OM k b
=
，并设2
:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，
可得2
2
2244x x b b
+
=+，可得x b =，2y =，即(),2M b ，
注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由22
2222144A A A
A x y b x y b
⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得42
2
A b y a b =+，所以有4
2
44b b <+
，解得22b >+
22b <-舍去)，因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b ⋅=+
，
所以246OM ON b ⋅=+>+
则()
6OM ON ⋅∈++∞
．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别
为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点．(1)求C 的方程；
(2)过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=
，NB BM μ=
，求证：λμ+为定值．【解析】（1）设C 的焦距为2c ，则1228
F F c ==，
即4c =，()14,0F -，()24,0F ；由双曲线的定义，得
1224a PF PF =-=
=，即2a =
，
所以b ===C 的方程为221412
x y -=．
（2）设
()
11,A x y ，
()
22,B x y ，
()
,N m n ，显然直线AB 的斜率存在，
可设直线AB 的方程为()11y k x -=-，代入22312x y -=，
得()
()222
3212130k x k k x k k ---+--=．
由过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，得230k -≠，
由韦达定理，得()122213k k x x k -+=-，2
122
2133k k x x k --=-；
①
由(),N m n 在直线:312l y x =-上，得312n m =-，即1230m n -+=；②
由(),N m n 在直线AB 上，得()11n k m -=-．③
由NA AM λ=
，得()()1111,1,1x m y n x y λ--=--，即()111x m x λ-=-解得111x m x λ-=-．同理，由NB BM μ= ，得22
1x m
x μ-=-，结合①②③，得()()()()
12121212121221111m x x x x m x m x m x x x x λμ++----+=
+=----()()()()()()()2
2212122121312221626331111k k k k m m k m m k k x x x x ---+⋅-⨯---+--==----()()()()
()()
121221626231201111n m n m x x x x --+-+=
==----．故λμ+是定值．
核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译【规律方法】
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．
【典型例题】
例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆22
2:1(0)8
x y C a a +=>的左、
右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103
PF =.(1)求C 的方程；
(2)设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅.【解析】（1）由题意知，28a >
，得a >当1PF x ⊥轴时，设00(,)(0)P c y y ->，
代入椭圆方程，得2
20
218
y c a +=，解得08y a =，即18PF a =，
由椭圆的定义知，122PF PF a +=，又2103
PF =，所以
810
23
a a +=
，由a >3a =，故椭圆C 的方程为22
198
x y +=；
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为3x =±，此时点P 与点Q 重合，等式成立；当切线斜率为0时，切线与x 轴不相交，不符合题意；当切线斜率存在时，设00(,)P x y ，
由22198x y +=
，得y =
2)y x ''=-=
所以切线的斜率为k =
00)y x x y =-+，
即2003x y +=+，
整理得22
0000)x y y x =+-，
即008972x x y y +=，所以切线方程为00198
+=x x y y
，令0y =，得09x x =
，即0
9
(,0)Q x ，由(1)知，12(1,0),(1,0)F F -，
则12PF PF ==00120000
99991,1x x QF QF x x x x +-=
+==-=，又22
00198
x y +=，得2
200889y x =-，
所以
010
0200
99
99x QF x x QF x x x ++==--
，102
099PF x PF x +=
-，
所以
112
2
PF QF PF QF =
，即1221PF QF PF QF ⋅=⋅，即证.
例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>
，
直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C
(1)求C 的方程；
(2)若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，
60PAB ∠=︒，求PAB 的面积.
【解析】（1）不妨设直线l 过C 的右焦点(),0c ，则直线l 的方程为x c =，由222
21x c
x y
a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，22221c y a b +=解得2b y a =±
，故22b a =①，
由于椭圆的离心率c
e a ==
由①②解得2
293,22a b ==，
所以椭圆C 的方程为22
1
93
22
x y +=.（2）由（1
）得2P ⎛ ⎝⎭
，设(),0,0A t t <
，0
20PA
k t -==-，由于PA PB ⊥
，所以PB k ==所以直线PB
的方程为32
y x =
+
，
由2
2
193
22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消去y 并整理得()22
1260t x tx ++=，
解得2266,1212B B t t x y t t --=⨯++由于60PAB ∠=︒
，所以
PB PA
=223PB PA =
，
22
22
26312t t t ⎡⎤⎫⎫-⎛⎫⎢⎥+=+⎪⎪ ⎪⎪⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，解得212t =.
所以2
2
213
222PA t =+=+=⎝⎭
，
而2
1122PAB S PA PB PA =⨯⨯=⨯⨯==
例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22
:143
x y C -=上一点()4,3P ，直线
()0y x b b =-+<交C 于A ，B 点.
(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值；(2)若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积.【解析】（1）证明：设()11,A x y ，22(,)B x y ，联立22
143
x y y x b ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩
得()
22
8430x bx b -++=，则()()222
641634810b b b ∆=-+=-，又0b <，所以1b <-，
所以128x x b +=、()
2
1243x x b =+，
从而121212123333
4444
PA PB y y x b x b k k x x x x ---+--+-+=+=+----()()()
1212122183(4)()
4x x b x x b x x -+++---=-
()
()()
()()
212838183044b b b b x x +-++-=
=--为定值.
（2）设AB 的中点为C ，PAB 外接圆的圆心为D ，由128x x b +=，则
()121226y y x x b b
+=-++=-所以()4,3C b b -，
所以AB 的中垂线方程为34y b x b +=-，即7y x b =-，
又34OP k =
，OP 的中点为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以OP 的中垂线方程为()34
223
y x -
=--，即86250x y +-=，联立786250y x b x y =-⎧⎨+-=⎩解得25314
25
414x b y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即25253,41414D b b ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，
由2
2
2
2
2AB DO DB DC ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，
得()2
222
122525253421414142x x b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()
222221212641634252522142142b b x x x x b b -++-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得27252470b b --⨯=，解得7b =（舍去），247
b =-，所以直线AB ：24
7
y x =--
，过P 作x 轴的平行线交直线AB 于点E ，令3y =则457x =-
，即45,37E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，而()(
)
121212|y y x b x b x x -=-----=-==
==
所以121145
4227
PAB S PE x x ⎛⎫=
⋅-=+⋅
⎪⎝⎭
.核心考点四：斜率之和差商积问题【规律方法】
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【典型例题】
例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C
上的任意一点到点)
F
和直线5
x =的距
．(1)求曲线C 的方程；
(2)记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设曲线C 上一点的坐标为(),x y
=
，化简得：
2
214
x y -=；（2）
依题意作上图，设PQ 方程为4x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则m 必定是存在的，联立方程2
21
44
x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得2212304m y my ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，1212
22
23
,1144
m y y y y m m +=-
=--，()()22
121212121222
8
16
8,4161144
m x x m y y x x m y y m y y m m ++=++=-=+++=--- AP 的方程为()110022y y x x --=
++，令x =0，则M 点的坐标为1120,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，同理，N 点的坐标为2220,2y x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
()()()12
111212121212121222002211,,0404422424
y y x x y y y y k k k k x x x x x x --++∴===⨯=⨯
--+++++ 2
2
223
11
3
4
1684
144
241144
m m m m -=⨯=-
+--⨯+--，是定值；
综上，曲线C 的方程为2
214
x y -=，123144k k =-是定值.
例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D
．
(1)若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；
(2)在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为1,0F （），因为直线l 的斜率不为0，所以可设l 的方程
为1x my =+，
设()()1122,,A x y B x y ，，联立21
4x my y x
=+⎧⎨=⎩消x ，得2440y my --=，方程2440y my --=的判
别式216160m ∆=+>，12124,4y y m y y +==-，
2
1212()242x x m y y m +=++=+，22
2
1212(4)14416
y y x x -=⋅==，
∴212||2445AB x x m =++=+=，∴2
14m =
，设直线l 的斜率为k ，则10k m =>，所以1
2
m =，所以直线l 的方程为220x y --=；
（2）设()
2
,2M a a ，
112
21211224
24
MA y a y a k x a y a y a --=
==-+-，，同理，242MB
k y a =+，又联立11x my x =+⎧⎨=-⎩可得1
2x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，即点D 的坐标为21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
所以
2221MD
a m k a +
=+，
∵直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，所以2122
2442122a m a y a y a +
⨯=+
+++恒成立；∴122212121
412()4a y y a m a y y a y y a +
++=
++++，又∵12124,4y y m y y +==-，所以221
121
a a m m a a am +
+=
++-，()()()22
1121am m a a a am m +++=+-，()2110a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为1
0m m
+
≠，所以1a =±，所以存在点1,2M （）或1,2M -（），使得对任意直线l ，
直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列．
例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
经过点12⎫⎪⎭，其右焦
点为)
F
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为
1
20
，求APQ △面积的最大值.
【解析】（1
）依题可得222223
11,4,
c a b a b c ⎧=⎪
⎪+=⎨⎪=+⎪⎩
解得2,1,
a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,,,,PQ y kx m P x y Q x y =+，
由2
21,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得，()222148440k x mkx m +++-=，所以()
222121222
844
,,Δ164101414mk m x x x x k m k k
--+===+->++，即2241k m +>，而1
20
AP AQ k k =
，即121212220y y x x ⋅=--，
化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，
()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，222
2
222
2
4484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++化简得2260k mk m +-=，所以2m k =-或3m k =，
所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-.
所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()121215
3,0,22
APQ ABP ABQ B S S S AB y y k x x -=-=-=-
52
=
52=
=因为Δ0>，且3m k =，
所以2150k ->，所以2
1
05
k <<
，设2
9411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
，
所以53APQ
S =≤ ，当且仅当97t =
，即2
114
k =时取等号，即APQ △面积的最大值为53.
例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +
=>>
的离心率为
2，1,2H ⎛ ⎝⎭
是C 上一点.(1)求C 的方程.
(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，
Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①
1
2
k k 为
定值；②点M 在定直线上.
【解析】（1
）由题意，椭圆的离心率为
2
，2H ⎛ ⎝⎭
是椭圆C 上一点，所以222222
221
23121c e a a b c a b
⎧==
⎪⎪
⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2224,2,2a b c ===，
所以椭圆的方程为22
142
x y +=；
（2）①因为过点()1,0D 且斜率不为0，所以可设l 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程
22142
x y +=得()222230t y ty ++-=，方程()22
2230t y ty ++-=的判别式()2241220t t ∆=++>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则
12222t y y t +=-
+，12
23
2
y y t =-+.两式相除得
12122
3y y t y y +=，()121232
ty y y y =+．因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()2,0，所以11
11123y y k x ty =
=++，2222221
y y k x ty ==-从而()()()
()1211211212221122
313123393
32
3y y y y ty k y y y y k y ty y y y +--+=
===++++；②由①知
123
1
k k =，设1k m =，则23k m =，所以直线AP 的方程为：2y mx m =+，直线BQ 的方程为36y mx m =-，联立236y mx m y mx m =+⎧⎨=-⎩可得4
6x y m =⎧⎨=⎩
，所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的
坐标为()4,6m ，所以点M 在定直线4x =上.
核心考点五：弦长、面积范围与最值问题【规律方法】
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：
①1
||||2
OAB S AB OH =
⋅ （随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121
||2
OAB S OM y y =
⋅- （横截距已知的条件下使用）③121
||2
OAB S ON x x =
⋅- （纵截距已知的条件下使用）【典型例题】
例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22
:184
x y C +=，过点(0,4)P 作
关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C
.
(1)已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；(2)证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;(3)求线段AC 长的取值范围.
【解析】（1）22
:184
x y C +=的左焦点为(2,0)-，当1l 过左焦点时，1l 的方程为124x y +=-，
即240x y -+=.
（2）由题意知1l 斜率存在，设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，
联立22
184
4x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消y 得()22
1216240k x kx +++=，需满足2225696(12)0k k ∆=-+>，即2230k ->，
1212
22
1624
,1212k x x x x k k -∴+=
⋅=++，又2121
11,BQ DQ y y k k x x --=
=-，
21212121
1133
BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=
-=+-，()2
1212
2
48312222202412k
x x k k k k k x x k -
++=+
=+=-=+，
BQ DQ k k ∴=，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，
同理可证AQ CQ k k =,即点A ，C ，Q 三点共线，即直线AC 经过点(0,1)Q ，故直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;
（3）由（2）可知()()()()
2
2
2
2
2212121212AC x x y y x x k x x =++-=++-()()22
21212124x x k x x x x ⎡⎤
=+++-⋅⎣⎦
()
()
22
222
2
22221616244121212k k k k k k ⎡⎤⋅⋅⎢⎥=
+-⨯⎢⎥+++⎣⎦
4224242
4106116161441441k k k k k k k ⎡⎤
⋅+-=⨯=⨯+⎢⎥++++⎣⎦
令261t k =-，则2
1
6
t k +=
，又由()
222
16424120k k ∆=-⨯⨯+>得232
k >，所以8t >，
2
2
216991611611681611844166t t AC t t t t t t ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎛⎫ ⎪+++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭
，设21616
8,()()1h t h t t t t
'==-+
+，(8,)t ∈+∞时，()0h t '>恒成立，168t t ∴++在(8,)t ∈+∞上单调递增，16
818t t
∴++>，91
01628t t ∴<<++，
93
111628t t
∴<+
<++，21624AC ∴<<
，4AC ∴<<例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:14
x C y +=，
椭圆2
:16
x E +2
14
y =.设点P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，
两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
(1)求
OQ OP
的值；
(2)求ABQ 面积的最大值.
【解析】（1）设()00
OQ
P x y OP
λ=，，，由题意知()00Q x y λλ--，
.
因为2
2
0014x y +=，又()()2
2
001164
x y λλ--+=，即22200(
)144λ+=x y ，所以2λ=，即
2OQ OP
=.
（2）由(1)知，ABQ 的面积为3OAB S ，
设()()1122A x y B x y ，
，，.将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得()
222
1484160k x kmx m +++-=，
由Δ0>，可得22416m k <+，①
则有212122284161414km m x x x x k k -+=-=++，.所以12x x -=
.因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0m ，，
所以OAB 的面积1212S m x x =-=
=
.设2
2
14m t k
=+，将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得()
222
148440k x kmx m +++-=，
由Δ0 ，可得2214m k + ，②
由(1)(2)可知01t <
，因此S ==，故S ，当
且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值.
所以ABQ 面积的最大值为.
例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切.。