概率论与数理统计贝努里概型

i 1
i 1
i 1
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三、全概率公式及其推导
设试验Ｅ由先后相继的两个试验Ｅ1,Ｅ2构成, Ｅ1的样本空间
为Ω1，B1, B2 ,…, Bn为Ω1的一个划分，即B1∪B2 ∪…∪Bn= Ω1；
Ｅ2是在Ｅ１发生的条件下的试验,其样本空间为Ω2 。那么，对于
Ｅ2的任一事件A，有 n
P( A) P(Bi)P( A / Bi)
06 : A1 A2 A3 A4 A5 07 : A1 A2 A3 A4 A5 08 : A1 A2 A3 A4 A5 09 : A1 A2 A3 A4 A5
10 : A1 A2 A3 A4 A5
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§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式与证明(现行教材) 三、全概率公式及其推导 四、全概率公式应用 五、贝叶斯公式及其应用
解： (1)恰有k粒种子出苗的概率为
P6(k)
C
k 6
0.67
k 0.33 6k
(k 0,1,2,3,4,5,6)
(2)至少有一粒出苗的概率为
6
P6 (k) 1 P6 (0) 1 C60 (0.67)0 (0.33)6 0.9987
k 1
(3)要保证出苗率为98%，只要1-Pn(0) ≥0.98即可。 解得，n=4。
C93 C132
C63 C132
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五、贝叶斯公式及其应用
1. 问题引入
引例. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱， 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任 取1箱，再从该箱中任取1件产品，若取得的产品为次品，问该 产品是甲厂生产的概率是多少？
k 1
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一、贝努里概型的定义 二、二项概率公式 三、贝努里概型的计算
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一、贝努里概型的定义
若试验E具备以下特征： 1) 在相同的条件下可以进行n次重复试验； 2) 每次试验只有两种可能的结果，A发生或A不发生； 3) 在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4) 各次试验的结果是相互独立的。
说明：本例不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确 知道产品品质的情况下，分析“货出谁家”的问题。 分析：设B1={甲厂生产的产品}， B2={乙厂生产的产品}，
B3={丙厂生产的产品}， A={取得次品}。 故所求事件的概率为， P(B1/A).
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五、贝叶斯公式及其应用
2. 公式推导
由条件概率的定义及全概率公式知
P(Bi / A) P(BiA) P(Bi)P( A / Bi)
P(P(Bk)P( A / Bk) k 1
于是，P(Bi / A)
P(Bi)P( A / Bi)
n
(i 1, 2, , n)
P(Bk)P( A / Bk)
2 0.96 1 0.93 0.95
3
3
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四、全概率公式应用
例3.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的 概率．
解：设B1＝{乘火车来}，
B2＝{乘轮船来}， B3＝{乘汽车来}， B4＝{乘飞机来}， A＝{迟到}.
C42 C72
C42 C52
C32 C72
C22 C52
C31C41 C72
C32 C52
8 35
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四、全概率公式应用
例2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台 的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件 是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为 多少？
小结：诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是，问题 太 复问杂题，：不那知么该，从复哪杂里的下问手题。能否简单化呢？这就是全概率公式的意 义所在。
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二、全概率公式与证明(附:现行教科书证明)
设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件B1，B2，…，Bn为样本空
间Ω的一个划分，且Ｐ(Bi)>0, i =1,2, …，n．
解：令Bi={零件为第i台机床加工的} (i=1,2)， A={取到的零件为合格品}.
此时，把取哪台机床生产的产品的试验认为是E1，检查质量的 试验认为是E2(人为分为先后相继的两个试验来考虑)，显然， B1,B2是E1样本空间的一个划分，由全概率公式得
P( A) P(B1)P( A / B1) P(B2 )P( A / B2 )
解题要点： 一般情况下，给出 主要步骤即可.
易见, B1∪B2∪B3∪B４=Ω1，由全概率公式得
4
P( A) P(Bi)P( A / Bi) i 1
=0.3×0.25＋ 0.２×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0=0.145
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四、全概率公式应用
例4. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛 取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛 取得3个新球的概率．
n
E1:PB(B11=)P{(从A/甲B1袋)取P(出B22)P个(A红/球B2)}， B２P(=B{n从)P甲(A袋/ B取n) 出2个P(白Bi)球P(}A, / Bi)
从E而2: 得BA，3==P{从{(从A乙)甲袋袋in1取P取出(B出i2)1个P个( A红白/球B球i)}.1个红球},
i 1
则称这种试验为n重贝努里试验，或n重贝努里概型。
例如： (1) 一枚硬币抛 n 次；
(2) 一次抛 n 枚硬币； (3) 从10件产品中任取一件,取后放回,然后再取,共进行n次。
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二、二项概率公式
设在一次试验中，事件A发生的概率为p，即P(A)=p，那么，
在n次重复试验中事件A出现k(0≤ k≤n)次的概率Pn(k)是多少？ 设Ai={A在第i次试验中发生} (1≤ i≤n)，由于n次试验是相
注意两点： ①解题逻辑; ②Ω1 ≠ Ω.
显然，B1, B２,B3 两两互斥, 是对从甲袋中取球试验E1样本空间的
一个划分, A是从乙袋中取球试验E2的一个事件, 所以由全概率公式得
3
P( A) P(Bi)P( A / Bi) P(B1)P(A/ B1) P(B2)P(A/ B2) P(B3)P(A/ B3) i 1
Pn(k)= Cnk pk (1-p) n-k，k=0,1,2,…, n .
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三、贝努里概型应用举例
例1.有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列 问题：(1)恰有k粒种子出苗的概率； (2)至少有一粒出苗的概率； (3)要保证出苗率为98% ，每穴应至少播几粒？
事件a在5次试验中出现2次的情况所有方式共返回概率统计下页结束返回16全概率公式与贝叶斯公式一全概率公式引入五贝叶斯公式及其应用二全概率公式与证明现行教材四全概率公式应用下页三全概率公式及其推导概率统计下页结束返回全概率公式与贝叶斯公式一全概率公式问题引入引例1
§１.５ 试验的独立性---贝努里概型
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作业：25-26页
21;25
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考察：事件A在5次试验中出现2次的情况,所有方式共
有C52 种： 这里Ai={A在第i次试验中发生} (1≤ i≤ 5)
01 : A1 A2 A3 A4 A5
02 : A1 A2 A3 A4 A5 03 : A1 A2 A3 A4 A5 04 : A1 A2 A3 A4 A5 05 : A1 A2 A3 A4 A5
则对任意事件A，有
n
P( A) P(Bi)P( A / Bi)
B1 B2
Ω
i 1
A
Bn
证明：因为 Bi Bj (i j)
B3
…
故 ABi ABj (i j)
按概率的可加性及乘法公式有
三个特点：
n
①没错;
A AB1 AB2 ABn ABi ②难用;
n
③误导.
n
i1 n
P( A) P( ABi) P( ABi) P(Bi)P( A / Bi)
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四、全概率公式应用
例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲
袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个
红球的概率. 解：设B1= {从甲袋取出2个红球}，
B２= {从甲袋取出2个白球}, B3= {从甲袋取出1个白球1个红球}, A={从乙袋取出2个红球}.
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
引例2. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱， 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任 取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率。
注：这里的Pn(0) 表示“n粒都不出苗”事件的概率。
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三、贝努里概型应用举例
例2.某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率 为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟， 且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门 只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工 作(即电力够用)的概率有多大？
解：Bi={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
A={求第二次比赛取得3个新球}．
显然B0∪B1∪B2∪B3为必然事件，由全概率公式得
3
P( A) P(Bi)P( A / Bi) i0
C33 C132
C93 C132
C91C32 C132
C83 C132
C92C31 C132
C73 C132
互独立的，所以A1,A2,…,An是相互独立的，且 P(Ai)=p， (1≤ i≤n)
显然，P A1A2 Ak Ak1An pk (1 p)nk
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且 它们中的任意两种互不相容，因此，
i 1
推导：Ｅ2的P(A), 实质上是 P(A/Ω1) ! 关键所在! 难点所在!
［这里的P(A/Ω1), 其实是全条件下的概率, 这就是全概率的含义］
引甲个由例袋红条中球1件P. (概设任的AB率甲取概1公袋率2A球式B有。2放得3个入，P白乙(AA球袋B/n)4，1个)再P红P(从PA(球(AB乙1，)11)袋)乙P中(PA袋(B任A2有)取11)个2球P白P[，(AA球(B求Bn12)个从B红乙2 球袋，取B现出n)]从2
解： “电力够用”，其含义是“同一时刻开动的机床数不超过5 台”， 因为有不少于6台机床同时工作时，其工作就不会正常。
由题意知，每台机床开动的概率1/5,不开动的概率为4/5，
那么k5在0任P一10时(k刻)开动K着50的C机1k0床(不15超)k过(554台)1概0率k 为 0.994
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