直线与方程课件PPT (4)

3.1.2
按照你的理解：什么叫倾斜角？倾斜角的范围是什么？
倾斜角：直线l与x轴正方向所成的角， 叫做直线的倾斜角.常用α表示.
（1）倾斜角的取值范围： 0≤α＜1800
（2）倾斜角的作用——刻画直线相对x 轴的倾斜程度.
3.1.2
结论：坡度越大，楼梯越陡．
3.1.2 由于直线的倾斜角不利于用坐标法刻画直线，引入直线的斜率斜率.
D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．
本
证明 ∵kAB＝－725－－－2 3＝－16，
课 时 栏
kCD＝－4－4－32＝－16，
目 开 关
∴kAB＝kCD，从而 AB∥CD. 又∵kBC＝3－2－－572＝－163，kDA＝2－－3－ －44＝－76，
∴kBC≠kDA，
从而直线 BC 与 DA 不平行， ∴四边形 ABCD 是梯形．
二、直线的斜率
a为什么不能等 于900呢？
一条直线的倾斜角a（ a‡90º）的正切值叫作这 条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 k=tan a.
从00 900 , k从0 ＋ () ＝900 时，k不存在 从900 1800，k从－ 0 ()
3.1.2
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
所以 kAD·kCD＝－1，且 kAD＝kBC.
本 课 时 栏 目 开 关
所以yyxx－－ － －1100＝·xy－－23－ －32＝01 －1
，
解得xy＝ ＝01 (舍去)，xy＝ ＝23 .
所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3)．
小结 在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，
应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解．两条直线垂
关
k1＝k2.当 α1＝α2＝90°时，k1、k2 不存在．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
问题 2 对于两条不重合的直线 l1 与 l2，若 k1＝k2，是否一定有
l1∥l2？为什么？
本 课
答 一定有 l1∥l2.因为 k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2. 小结 对于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、k2，有
解 AB 边所在直线的斜率 kAB＝－12，
本
CD 边所在直线的斜率 kCD＝－12，
课 时 栏
BC 边所在直线的斜率 kBC＝32，
目 开
DA 边所在直线的斜率 kDA＝32.
关
因为 kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以 AB∥CD，BC∥DA.
因此，四边形 ABCD 是平行四边形．
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， 我 成 功 ！
3.1.2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[学习要求]
本 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
课 时
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；
栏 目
3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．
开 关
[学法指导]
通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条
2.通过坐标法的引入，培养学生联系、对应转化等辩证思维.
3.1.2
重点与难点
重点：直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式.
教学过程
3.1.2
一、直线的倾斜角的概念
1、经过原点的直线有多少条？彼此 间的位置关系？
答：经过原点的直线有无数条，他 们都相交于一点（原点）.
(2) - 4 . 5
学
3.1.2
以
致
用
例3、若三点(1,－1), (3，3), (5，a)在一 条直线上，求实数a的值．
例4 、直线l过点M（－1，1），且与以P
（2，2），Q（3，3）为两端点的线段 PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范 围．
五 1.直线l过点 P(2,2 3)、Q（1，33）.1.2
本 课
直线 B时 栏 目
直线 PQ 的斜率 k2＝－12－－1－3＝12，
开 关
直线 PQ 的方程为 y－1＝12(x＋3)，即 y＝12x＋52.
因为 k1＝k2＝12，且 2≠52，所以直线 BA∥PQ. 小结 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，
5.求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率 而得到.
四、例题
3.1.2
例1：求过已知两点的直线的斜率
（1）直线PQ过点P（2，3），Q（6，5）；
（2）直线AB过点A（-3，5），B（4，-2）.
答：（1） ½； （ 2）-1.
3.1.2
例2 经过点（3，2）画直线，使
直线的斜率分别为：
(1) 3 ; 4
目 开
即 tan α2tan α1＝－1，所以 k1·k2＝－1.
关
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3.1.2
问题 3 如果两直线的斜率存在且满足 k1·k2＝－1，是否一定
有 l1⊥l2？为什么？
答 一定有 l1⊥l2.不防设 k2<0，即 α2 为纯角，因为 k1·k2＝－1，
本
则有 tan α2tan α1＝－1，所以 tan α2＝－tan1α1＝tan(90°＋α1)，
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探究点二 两条直线垂直的判定
问题 1 如图，设直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 α1
与 α2，斜率分别为 k1、k2，且 α1<α2，若 l1⊥l2，
本 α1 与 α2 之间有什么关系？为什么？
课 时
答 α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角
栏 目
等于不相邻两内角之和．
时 栏
l1∥l2⇔k1＝k2.若直线 l1 和 l2 可能重合时，我们得到 k1＝k2⇔l1∥l2
目 开
或 l1 与 l2 重合．
关
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3.1.2
例 1 已知 A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直
线 BA 与 PQ 的位置关系，并证明你的结论． 解 直线 BA 的斜率 k1＝2－3－－04＝12，
2、与x轴正方向所成的角为300的 直线有多少条？彼此间的位置关系？
答：与x轴正方向所成的角为300的直 线有无数条，他们相互平行.
3.1.2
3、经过原点的直线并与x轴正方向所 成的角为300的直线有多少条？
答：这样的直线有且只有一条.
4、在平面直角系中，怎样确定一条 直线？
答：我们可以利用一个点和直线的一个方向来确定一条直 线.
直与斜率之间的关系：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 或一条直线斜率为零， 另一条斜率不存在．
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3.1.2
跟踪训练 3 已知 A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线
AB 与 PQ 的位置关系．
解 直线 AB 的斜率 kAB＝23，直线 PQ 的斜率 kPQ＝－32.
、 求它的斜率和倾斜角
当 堂
2.已知三点A(3,
－1),
B
(－2,－1)，
达 C (0, 2)，求直线AB、AC、BC的
标 斜率.
y
4
C
大显身手
－4
O
B
4
x
A
－4
六、课堂小结
1.直线的倾斜角和斜率的概念； 2.直线的斜率公式.
七、课后作业
教材习题3.1A组1，3.
3.1.2
我 努 力 ， 我 收 获 ， 我 自 信
直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的
能力，以及数形结合的能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
1．两条直线平行与斜率的关系
本
(1)对于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、k2，
课 时
有 l1∥l2⇔ k1＝k2 .
栏 目
(2)如果直线 l1、l2 的斜率都不存在，并且 l1 与 l2 不重合，
3.1.2
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
教
3.1.2
学 知识与技能
目
1.理解直线倾斜角和斜率的概念；
标
2.掌握过两点的直线的斜率公式及应用.
过程与方法
1.培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力； 2.使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法.
情感、态度与价值观
1.通过对直线倾斜角及斜率的学习，体会用代数方法刻画直线 斜率的过程；
的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，
那么它们互相垂直，即 k1k2＝－1⇒l1⊥l2.
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3.1.2
例 3 已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，
C(3,2)，求第四个顶点 D 的坐标．
解 设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)，因为 AD⊥CD，AD∥BC，
如两直线重合、斜率不存在等．一般情况都成立，只有一种
特殊情况不成立，则该命题就是假命题．
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3.1.2
跟踪训练 1 试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与
过点 C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
本
解 由题意得：kAB＝－5－m－m0＋1＝－6m－m，
问题 1 如图，设对于两条不重合的直线 l1 与 l2，
其倾斜角分别为 α1 与 α2，斜率分别为 k1、k2，
本
若 l1∥l2，α1 与 α2 之间有什么关系？k1 与 k2 之
课 间有什么关系？
时
栏
答 α1 与 α2 之间的关系为 α1＝α2；对于 k1 与 k2 之间的关系，
目 开
当 α1＝α2 时，k1＝k2，因为 α1＝α2，所以 tan α1＝tan α2，即
开 关
那么它们都与 x 轴 垂直，故 l1 ∥ l2.
2．两条直线垂直与斜率的关系
(1)如果直线 l1、l2 的斜率都存在，并且分别为 k1、k2，那 么 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
(2)如果两条直线 l1、l2 中的一条斜率不存在，另一个斜率
是零，那么 l1 与 l2 的位置关系是垂直 ．
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课 时 栏
kCD＝0－5－－34＝12.
目 开
由于 AB∥CD，即 kAB＝kCD，
关
所以－6m－m＝12，所以 m＝－2.
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3.1.2
例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0)，B(2，－1)，
C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明．
课
则 α2＝90°＋α1，所以 l1⊥l2.
时 栏
问题 4 对任意两条直线，如果 l1⊥l2，一定有 k1·k2＝－1 吗？
目 开
为什么？
关
答 不一定，因为如果直线 l1 和 l2 分别平行于 x、y 轴，则 k2
不存在，所以 k1·k2＝－1 不成立．
小结 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们
3.1.2
小结 熟记斜率公式：k＝xy22－－yx11，该公式与两点的顺序无关，已
本 课
知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜
时 栏
率．当 x1＝x2，y1≠y2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角
目 开
为 90°.
关
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3.1.2
跟踪训练 2 求证：顺次连接 A(2，－3)，B(5，－72)，C(2,3)，
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
你注意到了吗？
3.1.2
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
4.当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角a=0º，直线与 x轴平行或重合;
本
课 时 栏
由 kAB·kPQ＝23×－32＝－1，所以直线 AB⊥PQ.
目
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.1.2
1．已知点 A(1,2)，B(m,1)，直线 AB 与直线 y＝0 垂直，则
本 课
m 的值为
( B)
时 栏
A．2
B．1
C．0
D．－1
目 开
解析 由题意知直线 AB 垂直 x 轴，斜率不存在，
开
关
3.1.2
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3.1.2
问题 2 已知 tan(90°＋α)＝－tan1 α，据此，如何推出问题 1
中两直线的斜率 k1、k2 之间的关系？
本
答 因为 α2＝90°＋α1，所以 tan α2＝tan(90°＋α1)，由于
课 时 栏
tan(90°＋α)＝－tan1 α，tan α2＝－tan1α1，
关
∴m＝1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.1.2
2．已知直线 l1 的斜率为 k1＝2，直线 l2 的斜率为 k2＝－12，
3.1.2
本 [问题情境]
课 时
为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜
栏 目
率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问
开 关
题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率
来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个
问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
探究点一 两条直线平行的判定