通榆县第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

通榆县第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =
C ．24y x =
D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
2． 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 3． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）
A.()||x f e x =
B.2()x x f e e =
C.2
(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 4． 已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||
||
PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）
A.
2
B.2
C. D. 4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.
5． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如
由2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
6． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 7． “2
4
x π
π
-
<≤
”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 8． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2 9． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
10．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）
A.()||x f e x =
B.2()x x f e e =
C.2
(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7
B.8
C. 9
D. 10
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.
12．函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单 位：小时）间的关系为0e
kt
P P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
14．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________.
15．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q . （1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．
16．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2
-=.
（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若2
7≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.
18．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为
极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

19．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2
ABC π
∠=，AD =33AB DC ==．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2y
y
a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
21．（本小题满分12分）
数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .
A
B
C
D
P
22．（本题满分13分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：062=+-y x 相切，设点A 为圆上 一动点，⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2
133(21-+=，设动点N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）若动直线2l ：m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点，过)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，
21l Q F ⊥，垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P
到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值.
通榆县第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则0
2>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x =． 2． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为2cos a b C =，由正弦定理得sin 2sin cos A B C =，因为()A B C π=-+， 所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+，
即sin cos cos sin 2sin cos B C B C B C +=，所以sin()0B C -=，所以B C =，所以三角形为等腰三角形，故选C ．1
考点：三角形形状的判定． 3． 【答案】D. 【
解
析
】
4． 【答案】B
【解析】设
2
(,)
4
y
P y
，则
2
1
||
||
y
PF
PA
+
=.又设
2
1
4
y
t
+=，则244
y t
=-，1
t…
，所以
||
||2
PF
PA
==，当且仅当2
t=，即2
y=±时，等号成立，此时点(1,2)
P±，PAF
∆的面积为
1
||||222
22
AF y
⋅=⨯⨯=，故选B.
5．【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于9.967 6.635
>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D．6．【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)
f x f x f x f x
+=-⇔=-，∴()
f x的图象关于直线3
x=对称，
∴6个实根的和为3618
⋅=，故选A.
7．【答案】A
【解析】因为tan
y x
=在,
22
ππ
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
上单调递增，且
24
x
ππ
-<≤，所以tan tan
4
x
π
≤，即tan1
x≤.反之，当tan1
x≤时，
24
k x k
ππ
π-<≤+π（k Z
∈），不能保证
24
x
ππ
-<≤，所以“
24
x
ππ
-<≤”是“tan1
x≤”的充分不必要条件，故选A.
8．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
9．【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7
=
﹣+…
+﹣1，
∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），
∴a=6，
∴展开式的通项为T r+1
=，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴
展开式中x ﹣3
的系数为
=﹣4320，
故选：B ．.
10．【答案】D.
11．【答案】A
【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A. 12．【答案】D 【解析】因为1()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程1
3x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k P P -=，所以5e 0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，于是000.729e kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt k --===，所以15t =小时.
14．【答案】 【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,n n a a d n S 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而1,a d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 15．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．① 将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝
2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）
＝－2t ，
即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝x 22p 得y ′＝x
p
，
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2pt
p ＝2t .
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ）， 又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0， －p
2）． ∴－p
2
－2pt 2＝2t （－2pt ）．
解得t ＝±12，即t 的值为±1
2.
16．【答案】A
【解析】
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
（2）∵x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(2
2
--+=--++-=，
18．【答案】（1）点P在直线上
（2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2
）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为，
从而点Q 到直线的距离为
，
19．【答案】
【解析】解： （Ⅰ）当1
3PE PB =
时，//CE 平面PAD . 设F 为PA 上一点，且1
3PF PA =，连结EF 、DF 、EC ，
那么//EF AB ,1
3EF AB =.
∵//DC AB ，1
3
DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ．
又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分）
（Ⅱ）设O 、G 分别为AD 、BC 的中点，连结OP 、OG 、PG ，
∵PB PC =，∴PG BC ⊥，易知OG BC ⊥，∴BC ⊥平面POG ，∴BC OP ⊥． 又∵PA PD =，∴OP AD ⊥，∴OP ⊥平面ABCD ． （8分）
建立空间直角坐标系O xyz -（如图），其中x 轴//BC ，y 轴/
/AB ，则有(1,1,0)A -,(1,2,0)B ,
(1,2,0)C -．由(6)(2PO ==-=知(0,0,2)P ． （9分）
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,2,2)PB =-,(2,0,0)CB =u r
则00
n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22020x y z x +-=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)n =.
设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，(1,1,2)AP =-u u u r ，则||3
sin |cos ,|||||
AP n AP n AP n θ⋅=<>==
⋅ ∴
π
θ=
，∴直线PB 与平面PAD 所成角为3
π
. （13分） A
20．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞．
由|2|21x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得3
2
m =．……………………4分
（2）不等式()2|23|2
y
y a f x x ≤+++等价于|21||23|22y y a x x --+≤+，
由题意知max (|21||23|)22
y
y a x x --+≤+．……………………6分
21．【答案】（1）1
22n n b +=-；（2）2
2
2
(4)n n S n n +=-++．
【解析】
试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比
数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n
n n n a a b n --==-≥，
这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a a a ---=-+-
+
211()a a a +-+求得．
试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵12
22
n n b b ++=+，
又121224b a a +=-+=，
∴23
12(21)
(2222)22222221
n
n n n a n n n +-=+++
+-+=
-+=--.
∴224(12)(22)
2(4)122
n n n n n S n n +-+=
-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.
（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程12432
2
=+y x 中，得
01248)34(222=-+++m kmx x k
由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知，
0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ，
整理得342
2
+=k m …………7分
且2
11||k
k m d +-=
，2
21||k
k m d ++=
1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ，则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||
2
13k
d d d -= ∴2
2
22
121213211|
|4||||)()(k
m k d d k d d d d d d d +=-=-+=+
||1||16
14
3
||42m m m m +
=
+-=
…………10分 ∵342
2+=k m ∴当0≠k 时，3||>m ∴33
43
13||1||=
+>+
m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d
∴34232)(321=⨯=+d d d …………12分
综上 1、 2可知，321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34 ……13分。