高中奥赛培训《函数性质》课件

(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) f(a+x)=- f(a-x) (4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.
二·轴对称：
（1）偶函数的图象关于Y轴对称；
例9、定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④ f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ）(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
（2） ∴f(x)为奇函数
（3）设—∞<x1<x2<+∞ 则 ∵0<a<1； x1<x2 -x1>-x2∴ 又∵a2-1<0, a>0 ∴f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1) 因此f(x)在R上为增函数
∴(k+1)2－8<0,∴－2<k+1<2,∴－1－2 <k<－1+2 .故使不等式恒成立的实数k的范围是（－1－2 ，2 －1）.
比赛试题例11．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（ ）(A)可能是 Φ (B)元素的个数是偶数(C)元素的个数是奇数 (D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（ ）(A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a
数学奥赛训练
透析函数性质
函数的基本性质
1， 函数的奇偶性（1） 函数的奇偶性的定义。（2） 函数的奇偶性的判断与证明。（3） 奇、偶函数图象的特征。
例1． 已知 （a、b为实数）且 ，则 的值是 （ ）（1993年全国高中数学联赛试题）（A） -5 （B）-3 （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值
2， 函数的单调性（1） 函数的单调性的定义。（2） 函数的单调性的判断与证明。 复合函数的单调性（3） 求函数的单调区间。
例2 如果不等式 x2－ ＜0 在区间 上恒成立，那么实数a 的取值范围是___________．
命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数。
一般地，如果方程f(x,y)=0满足 f(x,y)= f(2a-x,y)，
则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称
函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：
命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的一个周期。命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。
f(a+x)= ±f(b±x)
高考题例
例7. 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减
函数，则a的取值范围是（ ）
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D) [2,+∞)
B
2-ax>0恒成立
例8、设0<a<1， （1）求f(x); （2）求证f(x)是奇函数； （3）求证f(x)在R上的增函数；
(2)最小正周期: (3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
4.函数图象的对称性
一·中心对称：(1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称 （2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变量相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期． 综上所述，应填（1），（3），（4）．
例6设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 时，f(x)＝x，则f(2003)＝( )
（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
（3）t>2时，
不等式
恒成立，求实数k的取值范围.
【思路分析】因为x∈R，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.
【略解】（1）令x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x), ∴f(x)是奇函数.
（4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0） 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______．
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变量相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等： f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a) ∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，且2a是周期；
(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。
定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。
A.－1 B.0 C.1 D.2003
解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)
∴ f(x)的周期为6
f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1
选A
A
小结:
关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎, X可念司)f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差;f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心.方程坐标和折半, 符号一定要谨慎.双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.
又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6, f(－3)=－f(3)=6.故f(x)在[－3，3]上的最大值为6，最小值为－6.
（3）∵f(x)是R上的单调递减函数.又f(x)是奇函数.由 得即, 恒成立
解：（1）设t=logax(t∈R)则x=at(x>0) 于是 因此
数形结合的思想
例3、解不等式
的一切实数m都成立，求实数x的取值范围.
例4设关于x的一元二次不等式
对满足
析解：
为单调函数
解得
3.函数的周期性
一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。（３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝（a+b)/2对称.
由函数的奇偶性可知：f(-a)=-f(a)、f(-b)=-f(b)g(-a)=g(a)、g(-b)=g(b)而f(a)=g(a)、f(b)=g(b)
故选C
g(x)
f(x)
例10设函数f(x), 对任意x, y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=－2.
（1）证明：f(x)是奇函数；
奇函数
解： 是奇函数的和，为奇函数，从而 即 ， 选（C）。
（2）设x1, x2∈R，且x1 < x2,则 f(x2)=f[x1 +(x2－ x1)]=f(x1)+f(x2－ x1),∵x2> x1, ∴x2－ x1 >0.由已知得 f(x2－ x1)<0,∴f(x2)<f(x1).故f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).
例5已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立： （1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）； （2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）； （3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0）