高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》易错题汇编及答案解析

【高中数学】《函数与导数》考试知识点
一、选择题
1．若函数f （x ）=()x 1
2
22a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪
⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(]
,5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】
由题()x
f x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+
()()12
f x lo
g x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以
4a 1+≥-，
解a 5≥-. 故选B. 【点睛】
本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.
2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2
x
f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】
解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，
∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，
图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；
对于④：()cos 2
x
f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，
故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
3．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若2
1log 5a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()2log 4.1b f =，()
0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C 【解析】
由题意：()2
21log log 55a f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
， 且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性有：()()()0.8
22log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2
f x f x x -+=成立，
且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()1
12
f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．(],2-∞
D ．[)2,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数2
1()()2
g x f x x =-
，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令2
1()()2
g x f x x =-
，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,
Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,
所以(0)0f =，
22
22111()()()()()222
g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.
又()()112
f a f a a -≥+
-Q ()()()2
211111222
g a a g a a a ∴-+
-≥++-， 即()()1
112
g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
故选：A 【点睛】
本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出
2
1()()2
g x f x x =-
是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
5．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
14
6
π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为446
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
46
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝15，解得a ＝2．
曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1
223100
1
11
-x-x |4
42346
dx x x π
ππ⎛⎫=
--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
6．函数()1ln f x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当
1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】
当2x =时，1
10x x
-
=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，13
02
x x -
=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1
y x x
=-
单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
7．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x
y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a
x a
y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，
解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
8．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，
不等式()2
21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）
A ．22t -≤≤
B ．11
22
t -
≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t = D ．1
2
t ≥
或12t ≤-或0t =
【答案】C 【解析】 【分析】
()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成
立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2
121f t at -≤--即可.
【详解】
∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，
又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()2
21f x t at ≤--成立，
∴()2
2111t at f --≥-=-，
即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；
②0t >时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；
③0t <时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-
故选：C. 【点睛】
本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.
9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则
1
=m
i i x =∑
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22
m
m ⨯
=；当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯
+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+.
10．若函数32
1()1232b f x x x bx ⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭
在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.
A ．4
23
b -
B ．
3223
b - C ．0
D ．2
3
16
b b -
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到
(2)f 是函数的极小值即可．
【详解】
解：2
()(2)2()(2)f x x b x b x b x '
=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，
31b ∴-<<，
由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，
()f x ∴的极小值为()84
(2)424233
f b b b =-++=-，
故选：A. 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.
11．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
===（e
是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==的结构特点，令()ln x f x x =，求导
()2
1ln x
f x x -'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解.
【详解】
令()ln x
f x x
=，
所以()2
1ln x
f x x -'=，
当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，
所以 ()()()34>>f e f f ， 即b a c <<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
12．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln
3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4
[2,2+ B ．5
[2ln 2,
ln 2)4
-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4
+- D ．(]2ln2,2-
【答案】A 【解析】 【分析】
将问题转化为()()f x g x =-在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问
题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定
区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】
()f x Q 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，
()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，
即2
21ln
3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的解， 令()2
ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x
---+'=+-==
， ∴当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，
()h x ∴在1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，
又15ln 224h m ⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭
，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有两个零点，
则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡
⎫+⎪⎢⎣
⎭.
故选：A . 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.
13．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3
()()2f x f x +=-，则9()2
f -的值为（ ） A ．0 B ．3
C ．
32
D ．92
-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值即可.
【详解】
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，则函数的周期3T =， 据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]
()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥
15．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，
()21f x x =-，则（ ）
A ．()123
5log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()123
5log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫
⎛⎫
=-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()22
4log 3log 03f f ⎛
⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()133log 2log 20f f ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】
因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即
()()20f x f x +-=，
即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，
因为当[]0,1x ∈时，()2
1f x x =-单调递减，
因为5110222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭
， 因为2410log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 所以，12314log 2log 23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关
键，属于中等题.
16．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()cos sin x x '=
B ．()1ln 2x x '=
C ．()333log x x e '=
D ．()22x x x e xe '= 【答案】B
【解析】
分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.
详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =
⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.
点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.
17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )
A ．17(1)a r +
B ．17[(1)(1)]a r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a r r r
+-+ 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为
首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，
孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
171716
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
3
2(2)a f =,3
1(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【解析】
【分析】 利用导数判断3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
31(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=， 3
2023<<=<Q ，
当0x ≥，'2
()330f x x =+>恒成立，
∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3
231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.
19．函数2ln x x
y x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e 上递减,在1(,)e
+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .
【详解】 令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||
x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,
当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x
==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e
<<, 所以()f x 在1(0,)e
上递减,在1
(,)e +∞上递增,
结合图像分析,,A C 不正确.
故选:D
【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调
性判断函数的图象,属于中档题.
20．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝
⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） A ．4
B ．2
C ．52
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x π
πππ
=-=-=⎰，选B.
考点：定积分的几何意义。