第21章一元二次方程常见易错易混问题归类人教版数学九年级上册
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九年级数学（上）极速提分法
例 已知6是关于x的方程x2－(m＋2)·x＋2m＝0的一个实数 根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的 两条边的长，则△ABC的周长为多少？
解题方法：本题考查了一元二次方程的解、解一元二 次方程及三角形三边的关系，掌握数形结合思想是解 题关键．
解：把x＝6代入方程得36－6(m＋2)＋2m＝0， 解得m＝6， 则原方程为x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6. 由这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的长， 可知： ①当△ABC的腰长为6，底边长为2时，△ABC的周长 为6＋6＋2＝14；
当x＝5时，x＋25＝30，即这时蚂蚁爬了30 s. 答：分别在10 s，15 s，30 s时，两只蚂蚁与O点组成 的三角形的面积是450 cm2.
【点易错】 解动点问题要弄清点运动的特征，必要时要注意分类讨
论．如蚂蚁甲由A点向B点爬行表示蚂蚁甲既可以在线段AO 上，又可以在线段OB上．
(2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？ 解：由(1)知(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝ －2(x－15)2＋1 250. 因为－2(x－15)2≤0，所以当－2(x－15)2＝0， 即x＝15时，－2(x－15)2＋1 250的值最大． 即(40－x)(20＋2x)有最大值，为1 250. 答：每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多．
8.如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB， 蚂蚁甲由A点以2 cm/s的速度向B点爬行，同时蚂蚁乙 由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，在什么时刻， 两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450 cm2?
错解：设 t s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面 积是 450 cm2.根据题意，得12(50－2t)·3t＝450，整理 得 t2－25t＋150＝0，解得 t1＝10，t2＝15. 答：分别在 10 s 和 15 s 时，两只蚂蚁与 O 点组成的 三角形的面积为 450 cm2.
7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每 件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决 定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫 降价4元，商场平均每天可多售出8件．
(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1 200元， 每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200. 整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝20，x2＝10. 因为要尽快减少库存，所以x应取20. 答：每件衬衫应降价20元．
【错因分析】 此题考虑问题不够全面，漏掉了蚂蚁甲在OB上的情况． 正解：当蚂蚁甲在 AO 段时，设 t s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450 cm2，根据题意， 得12(50－2t)·3t＝450，整理得 t2－25t＋150＝0， 解得 t1＝10，t2＝15.
(2)蚂蚁甲爬完 AO 这段用了 50÷2＝25(s)， 当它开始由 O 点向 B 点爬行时，设从 O 点开始 x s 后 两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450 cm2， 根据题意，得12·2x·3(x＋25)＝450， 整理得 x2＋25x－150＝0. 解得 x1＝5，x2＝－30(舍去)．
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20， 求m的取值范围． 解：根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1， 而2x1x2＋x1＋x2≥20， ∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3. 又∵m≤4，∴m的取值范围为3≤m≤4.
6.已知关于x的一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0. (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
错解 2：2y2－6y＋1＝2[y2－3y＋(－32)2]＋1＝2y－322＋1. 正解：2y2－6y＋1 ＝2y2－3y＋－322－－322＋1 ＝2y－322－94＋1 ＝2y－322－92＋1 ＝2y－322－72.
【点易错】 配方时，加上一次项系数一半的平方后，为了保持
代数式的值不变，必须再减去一次项系数一半的平方， 不能“只加不减”．
②当△ABC的腰长为2，底边长为6时， 因为2＋2＜6，不合题意，所以舍去． 综上所述，△ABC的周长为14.
1.若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方 程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集． 错解：由题意知|k|－1＝2，解得k＝±3. ∴不等式为3x－6＋6≤0或－3x＋6＋6≤0， ∴x≤0或x≥4.
当k＝5时，方程为x2－16x＋60＝0， 解得x＝6或x＝10，∴三角形的另两边长为6，10. ②当b＝c时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(k－1)2＝0，解得k1＝k2＝1， ∴方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2， 此时三角形三边长为6，2，2，不满足三角形三边关系，舍去． 综上可知，三角形的另两边长为4，6或6，10.
正解：由题意，得 b2－4ac＝(2k－1)2－4×k2×1＞0，且 k2≠0，解得 k＜14且 k≠0. 所以 k 的取值范围是 k＜14且 k≠0.
4.解方程：3(2x＋5)＝2x(2x＋5)． 解：原方程可化为 3(2x＋5)－2x(2x＋5)＝0. 因式分解，得(2x＋5)(3－2x)＝0. ∴2x＋5＝0 或 3－2x＝0.解得 x1＝－52，x2＝32.
证明：对于一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0， Δ＝(3k＋1)2－4(2k2＋2k)＝9k2＋6k＋1－8k2－8k＝ k2－2k＋1＝(k－1)2≥0. ∴无论k取何实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是 这个方程的两个根，求此三角形的另两边长． 解：∵△ABC为等腰三角形， ∴有a＝b＝6，a＝c＝6或b＝c三种情况． ①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根， ∴62－6(3k＋1)＋2k2＋2k＝0，解得k＝3或k＝5. 当k＝3时，方程为x2－10x＋24＝0，解得x＝4或x＝6， ∴三角形的另两边长为4，6.
【点易错】
在解方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数 的代数式，否则会造成失根．本题容易错误地在方程的两 边同时除以公因式 2x＋5，而丢失一个根 x＝－52.
5.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实 数根．
(1) 求m的取值范围； 解：根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0， 解得m≤4.
3. 【2023·清华附中模拟】已知关于x的方程k2x2＋(2k－ 1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
错解：由题意，得 b2－4ac＝(2k－1)2－4×k2×1＞0， 解得 k＜14.
【诊断】 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，隐含条件a≠0很
容易被忽视，所以二次项系数含字母时，一定要考虑二 次项系数不能为0.
正解：由题意知|kk－|－31≠＝0，2，∴k＝－3. ∴不等式为－3x＋6＋6≤0，∴x≥4.
【点易错】 当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高
次数是2，还要使二次项的系数不为0. 本题易忽视二次项 的系数k－
错解 1：将多项式进行配方时，和给方程配方时一样， 各项都除以 2，错得 2y2－6y＋1＝y2－3y＋12＝y－322－74.
例 已知6是关于x的方程x2－(m＋2)·x＋2m＝0的一个实数 根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的 两条边的长，则△ABC的周长为多少？
解题方法：本题考查了一元二次方程的解、解一元二 次方程及三角形三边的关系，掌握数形结合思想是解 题关键．
解：把x＝6代入方程得36－6(m＋2)＋2m＝0， 解得m＝6， 则原方程为x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6. 由这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的长， 可知： ①当△ABC的腰长为6，底边长为2时，△ABC的周长 为6＋6＋2＝14；
当x＝5时，x＋25＝30，即这时蚂蚁爬了30 s. 答：分别在10 s，15 s，30 s时，两只蚂蚁与O点组成 的三角形的面积是450 cm2.
【点易错】 解动点问题要弄清点运动的特征，必要时要注意分类讨
论．如蚂蚁甲由A点向B点爬行表示蚂蚁甲既可以在线段AO 上，又可以在线段OB上．
(2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？ 解：由(1)知(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝ －2(x－15)2＋1 250. 因为－2(x－15)2≤0，所以当－2(x－15)2＝0， 即x＝15时，－2(x－15)2＋1 250的值最大． 即(40－x)(20＋2x)有最大值，为1 250. 答：每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多．
8.如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB， 蚂蚁甲由A点以2 cm/s的速度向B点爬行，同时蚂蚁乙 由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，在什么时刻， 两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450 cm2?
错解：设 t s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面 积是 450 cm2.根据题意，得12(50－2t)·3t＝450，整理 得 t2－25t＋150＝0，解得 t1＝10，t2＝15. 答：分别在 10 s 和 15 s 时，两只蚂蚁与 O 点组成的 三角形的面积为 450 cm2.
7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每 件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决 定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫 降价4元，商场平均每天可多售出8件．
(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1 200元， 每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200. 整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝20，x2＝10. 因为要尽快减少库存，所以x应取20. 答：每件衬衫应降价20元．
【错因分析】 此题考虑问题不够全面，漏掉了蚂蚁甲在OB上的情况． 正解：当蚂蚁甲在 AO 段时，设 t s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450 cm2，根据题意， 得12(50－2t)·3t＝450，整理得 t2－25t＋150＝0， 解得 t1＝10，t2＝15.
(2)蚂蚁甲爬完 AO 这段用了 50÷2＝25(s)， 当它开始由 O 点向 B 点爬行时，设从 O 点开始 x s 后 两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450 cm2， 根据题意，得12·2x·3(x＋25)＝450， 整理得 x2＋25x－150＝0. 解得 x1＝5，x2＝－30(舍去)．
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20， 求m的取值范围． 解：根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1， 而2x1x2＋x1＋x2≥20， ∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3. 又∵m≤4，∴m的取值范围为3≤m≤4.
6.已知关于x的一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0. (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
错解 2：2y2－6y＋1＝2[y2－3y＋(－32)2]＋1＝2y－322＋1. 正解：2y2－6y＋1 ＝2y2－3y＋－322－－322＋1 ＝2y－322－94＋1 ＝2y－322－92＋1 ＝2y－322－72.
【点易错】 配方时，加上一次项系数一半的平方后，为了保持
代数式的值不变，必须再减去一次项系数一半的平方， 不能“只加不减”．
②当△ABC的腰长为2，底边长为6时， 因为2＋2＜6，不合题意，所以舍去． 综上所述，△ABC的周长为14.
1.若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方 程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集． 错解：由题意知|k|－1＝2，解得k＝±3. ∴不等式为3x－6＋6≤0或－3x＋6＋6≤0， ∴x≤0或x≥4.
当k＝5时，方程为x2－16x＋60＝0， 解得x＝6或x＝10，∴三角形的另两边长为6，10. ②当b＝c时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(k－1)2＝0，解得k1＝k2＝1， ∴方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2， 此时三角形三边长为6，2，2，不满足三角形三边关系，舍去． 综上可知，三角形的另两边长为4，6或6，10.
正解：由题意，得 b2－4ac＝(2k－1)2－4×k2×1＞0，且 k2≠0，解得 k＜14且 k≠0. 所以 k 的取值范围是 k＜14且 k≠0.
4.解方程：3(2x＋5)＝2x(2x＋5)． 解：原方程可化为 3(2x＋5)－2x(2x＋5)＝0. 因式分解，得(2x＋5)(3－2x)＝0. ∴2x＋5＝0 或 3－2x＝0.解得 x1＝－52，x2＝32.
证明：对于一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0， Δ＝(3k＋1)2－4(2k2＋2k)＝9k2＋6k＋1－8k2－8k＝ k2－2k＋1＝(k－1)2≥0. ∴无论k取何实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是 这个方程的两个根，求此三角形的另两边长． 解：∵△ABC为等腰三角形， ∴有a＝b＝6，a＝c＝6或b＝c三种情况． ①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根， ∴62－6(3k＋1)＋2k2＋2k＝0，解得k＝3或k＝5. 当k＝3时，方程为x2－10x＋24＝0，解得x＝4或x＝6， ∴三角形的另两边长为4，6.
【点易错】
在解方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数 的代数式，否则会造成失根．本题容易错误地在方程的两 边同时除以公因式 2x＋5，而丢失一个根 x＝－52.
5.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实 数根．
(1) 求m的取值范围； 解：根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0， 解得m≤4.
3. 【2023·清华附中模拟】已知关于x的方程k2x2＋(2k－ 1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
错解：由题意，得 b2－4ac＝(2k－1)2－4×k2×1＞0， 解得 k＜14.
【诊断】 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，隐含条件a≠0很
容易被忽视，所以二次项系数含字母时，一定要考虑二 次项系数不能为0.
正解：由题意知|kk－|－31≠＝0，2，∴k＝－3. ∴不等式为－3x＋6＋6≤0，∴x≥4.
【点易错】 当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高
次数是2，还要使二次项的系数不为0. 本题易忽视二次项 的系数k－
错解 1：将多项式进行配方时，和给方程配方时一样， 各项都除以 2，错得 2y2－6y＋1＝y2－3y＋12＝y－322－74.