湖南省岳阳县一中2016-2017学年高二上学期第一次月考模拟数学理试卷 含答案

岳阳县一中2016-2017学年高二年级第一学期第一次月考模拟试卷
数 学（理科）
一、选择题(每小题5分,共60分)
1。

某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人,为了调查他们身体状况的某项指标, 需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、中年人、青年人各抽取的人数是( )
A. 7；12；17 B 。

7;11；19 C.6;13;17 D. 6；12;18 2。

双曲线:1
4
2
2
=-y x 的渐近线方程和离心率分别是
（ )
A 。

3;2=±=e x y
B.
5;2=±=e x y
C 。

3;2
1=±=e x y
D.
5;2
1
=±
=e x y 3.有四个游戏盘面积相等,将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( ）
4. 盒中有10个铁钉，其中8个是合格的,2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ）
A ．5
1 B ．4
1 C ．5
4 D ．
10
1 5.若命题2
:20p x
x a ++=有实根，
命题:q 函数2()()f x a a x =-是增函数，若p q ∨
为真，p q ∧为假，则a 的取值范围是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．1a > D ．1a ≥ 6.设a,b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线,则“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的（ ）
A.充要条件 B 。

充分不必要条件
C 。

必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{}n
a ,若3
a =8且1
3
7
,,a a a 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别
是( ）
A.13，12 B 。

13,13 C 。

12,13 D 。

13,14
8。

阅读程序框图,如果输出的函数值在区间11[,]42
内，那么输入的实数
x 的取值范围是（ )
A 。

（-∞，—2］
B 。

[-2,—1］
C 。

[—1,2］
D 。

[2，+∞)
9.抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线22
154
y x -=的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（ ）
A.2
x =4y B.2
x =-4y C.2y =-12x D 。

2
x =-12y
10.数列{}n
a 中,1
a =1，对所有的n ≥2，都有21
23
n a
a a a n =，则35a a +等于
（ )
A 。

. B. C. D.
11。

双曲线22
221x y a b
-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为
( ）
A 。

2
B 。

3
C 。

2
D 。

3
12。

已知
a 〉b>0,12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a
b +=和22
221x y a b
-=的离心率,则
12lg lg e e +的值（ ）
A 。

大于0且小于1 B.大于 1 C 。

小于0 D 。

等于0
二、填空题（每小题5分，共20分) 13。

已知
F 1、F 2为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过
F 1的直线交椭圆于
A 、
B 两点，若122
2
=+B F A F ，则AB = _____________ 14. 已知下列四个命题:
①命题“若α=4
π，则tan α=1"的逆否命题为假命题；
②命题p ：∀x ∈R ，sinx ≤1,则p:∃
0x ∈R ，使sin 0
x 〉1；
③“φ=2
π+k π(k ∈Z ）”是“函数y=sin(2x+φ）为偶函数”的充要条件； ④命题p:“∃
0x ∈R,使
sin 0
x +cos 0
x =32
”；命题q ：“若sin α>sin β，则α>
β”，那么（p)∧q 为真命题.
其中正确命题的序号是_____________
15.已知区域D 是由不等式组20{30
x y x y -≥+≥所确定的,则圆2
24x
y +=在区域D
内的面积等于_____________ 16。

双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线122
22=-a
y b x 的离心率为2e ，则
21e e +的最小值为
三、解答题（本大题6个小题,满分70分) 17.（本题满分10分）设p ：实数x 满足2
2430x
ax a -+<， :q 实数x 满足31x -<。

(1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围;
（2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
18.（本题满分12分）袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2。

（1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号
之和小于4的概率；
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任
取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
19。

（本题满分12分) 数列{}n
a 的前n 项和为122n n
s
+=-,数列{}n b 是首项
为1
a ，公差为d(d ≠0）的等差数列，且1
3
9
,,b b b 成等比数列。

（1）求数列{}n
a 与{}n
b 的通项公式。

(2）若2(1)n
n
c
n b =
+ (n ∈N ＊），求数列{}n
c 的前n 项和n
T
20。

（本题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:
日期1月
10日
2月
10日
3月
10日
4月
10日
5月
10日
6月
10日
昼夜温差x（℃）
1
1
1
1
3
1
2
86
就诊人数y（个）
2
2
2
5
2
9
2
6
1
6
1
2
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率。

（2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+.
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
（参考公式：==，=—)。

21.（本题满分12分）设椭圆22
221
x y
a b
+=（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2.点P（a,b)满足｜PF2|＝｜F1F2|.
（1）求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋（y－错误!）2＝16相交于M，N两点，且｜MN｜＝错误!｜AB｜，求椭圆的方程．
22.(本题满分12分）已知抛物线C ：2
x =2py （p 〉0)的焦点为F,抛物
线上一点A 的横坐标为1
1
(0)x x
>，过点A 作抛物线C 的切线1
l 交x 轴
于点D,交y 轴于点Q ，交直线:2
p l y =于点M,当｜FD|=2时，∠
AFD=60°。

（1)求证：△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线C 的方程.
(2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上,过点B 作抛物线C 的切线2
l 交
直线1
l 于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到
最小值时1
x 的值.
理数模拟题参考答案
一、DBACB CBBDC CC
二、13。

8 14.②③ 15.2
π 16.22
三、17.解：(1) 由2
2
430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<
当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分
由31x -<, 得131x -<-<， 得24x <<
即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……………4分 若p q ∧为真,则p 真且q 真，
所以实数x 的取值范围是23x <<. ……………6分
(2) 由2
2
430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<
p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝， ……………8分
设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝，则A B ,
又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x ≥4或x ≤2｝,……………
学必求其心得，业必贵于专精
10分
则02a <≤,且34a ≥
所以实数a 的取值范围是423
a ≤≤……………12分
18。

【解】(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1,红1蓝2，红2红3,红2蓝1，红2蓝2,红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4
的有3种情况，故所求的概率为310P =. （6分）
（2）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况:红1绿0，红2绿0,红3绿0，蓝
1
绿0，蓝2绿0,即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4
的有8种情况，所以概率为815P =. （12分)
19.（1）当n ≥2时，a n =S n —S n-1=2n+1-2n =2n ， 又a 1=S 1=21+1—2=2=21,也满足上式, 所以数列{a n ｝的通项公式为a n =2n 。

b 1=a 1=2，则由b 1,b 3,b 9成等比数列， 得(2+2d ）2=2×(2+8d)， 解得d=0(舍去)或d=2,
所以数列｛b n }的通项公式为b n =2n. （2)c n =
=
，
数列{c n }的前n 项和T n =+
+
+…+
=1-+—+…+—
=1—=。

20。

（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的。

其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,
所以P(A)==。

（2）由数据求得=11,=24。

由公式求得=,
再由=-=—.
所以关于x的线性回归方程为=x—.
（3）当x=10时,=，〈2,
同样，当x=6时,=，〈2,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的。

21. （1）设F1(－c,0），F2（c，0）(c＞0），因为|PF2|＝｜F1F2|，所以错误!＝2c.整理得2错误!2＋错误!－1＝0，得错误!＝－1（舍）,或错误!＝错误!.所以e＝错误!.（5分）
（2）由(1)知a＝2c,b＝错误!c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线
PF2的方程为y＝错误!(x－c）．
A、B两点的坐标满足方程组错误!消去y并整理，得5x2－8cx＝0。

解得x1＝0,x2＝错误!c。

得方程组的解为错误!错误!
不妨设A错误!，B(0,－错误!c），
所以|AB｜＝错误!＝错误!c。

于是｜MN|＝错误!|AB｜＝2c.
圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝错误!＝错误!。

因为d 2＋（⎭⎪⎫|MN|22＝42，所以错误!（2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0。

得c＝－错误!(舍），或c＝2。

所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

22．（1）设A,则A处的切线方程为l1:y=x—，所以D,Q，F，
所以｜AF｜=。

所以|FQ｜=+=|AF|，即△AFQ为等腰三角形.又D为线段AQ的中点，所以｜AF|=4，得：
所以p=2，C:x2=4y.
(2)设B（x2，y2)(x2〈0），则B处的切线方程为y= x—,
由⇒P，
由⇒M,
同理N,所以面积S=
=①,
设AB的方程为y=kx+b，则b>0，由⇒x2—4kx—4b=0，得
代入①得:S==,使面积最小,则k=0，得到S=②,令=t，则由②得S
（t)==t3+2t+，S′(t）=,所以当t∈时S(t)单调递减;
当t∈时S(t)单调递增,所以当t=时,S取到最小值为,此时b=t2=,k=0，
所以y1=，即x1=.。