【三维设计】(新课标)高考数学5年真题备考题库 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(含解析)

第8章 平面解析几何
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．（2014江西，5分）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A. 4
5π B. 34π
C ．(6－25)π
D. 54
π
解析：选A 法一：设A (a,0)，B (0，b )，圆C 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，b
2，2r ＝a 2＋b 2
，由
题知圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋b 2－45
＝r ，即|2a ＋b －8|＝25r ，2a ＋b ＝
8±25r ，由(2a ＋b )2
≤5(a 2
＋b 2
)，得8±25r ≤25r ⇒r ≥2
5
，即圆C 的面积S ＝π r 2≥
4
5π.
法二：由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝45
，得r ＝
25
，圆C 的面积的最小值为S
＝πr 2
＝45
π.
答案：A
2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2
＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．
解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2
＋y
2
＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点
N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，
此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
3．（2014江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝3
5，所以直线x
＋2y －3＝0被圆截得的弦长为2
4－95＝2555
. 答案：255
5
3．（2014重庆，5分）已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于3
2
×2＝3，于是有|1·a ＋a －2|a 2
＋1
＝3，即a 2
－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 答案：4±15
4．（2014湖北，5分）直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2
＋y 2
＝1分成长度相等的四段弧，则a 2
＋b 2
＝________.
解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即
|a |2＝
22
⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2
＝2. 答案：2
5．（2014江苏，16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时
设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43
.
(1)求新桥BC 的长；
(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
解：法一：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0,60)，C (170,0)，
直线BC 的斜率k BC ＝ －tan ∠BCO ＝－4
3
.
又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点B 的坐标为(a ，b )，
则k BC ＝
b －0
a －170＝－43，k AB ＝
b －60a －0＝34
. 解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝
－
2
＋－
2
＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4
3(x －170)，
即4x ＋3y －680＝0.
由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋3
2
＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
r －d ≥80，
r －－d ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
680－3d
5－d ≥80，680－3d 5－－d
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时，r ＝680－3d
5最大，即圆面积最大．
所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 法二：(1)如图，延长OA ，CB 交于点F .
因为tan ∠FCO ＝4
3
，
所以sin ∠FCO ＝45，cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60，OC ＝170， 所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝680
3
，
CF ＝
OC
cos ∠FCO ＝
8503
.
从而AF ＝OF －OA ＝500
3
.
因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5.
又因为AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3
，
从而BC ＝CF －BF ＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．
因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO . 故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝
MD OF －OM ＝
r
680
3
－d
＝35，所以r ＝680－3d 5
. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
r －d ≥80，
r －－d ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
680－3d
5－d ≥80，680－3d 5－－d
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时，r ＝680－3d
5最大，即圆面积最大．
所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．
6．（2013江西，5分）过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )
A.
3
3 B ．－
33
C ．±33
D ．－ 3
解析：本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意
在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y ＝ 1－x
2
得x 2
＋y 2
＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝1
2
sin ∠AOB .
所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝
22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有2
2
＝|0－0－2k | k 2
＋1
，解得k ＝±
33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－3
3
. 答案：B
7．（2013山东，4分）过点(3,1)作圆(x －2)2
＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为
________．
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝－
2
＋－
2
＝2，
所以最短弦长为2r 2
－d 2
＝222
－
2
2
＝2 2.
答案：2 2
8．（2013重庆，5分）已知圆C 1：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，圆C 2：(x －3)2
＋(y －4)2
＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2
D.17
解析：本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的
能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′
1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′
1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.
答案：A
9．（2013江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
解：本题考查直线与圆的方程，两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力．
(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，
由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－3
4，
故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2
＋[y －2(a －2)]2
＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2
＋y －
2
＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2
＝4，所以点
M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2
＋
a －
2
≤3.
由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；
由5a 2
－12a ≤0，得0≤a ≤
125
. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，12
5
.
10．（2012天津，5分）设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )
A ．[1－3，1＋ 3 ]
B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)
C ．[2－22，2＋2 2 ]
D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) 解析：由题意可得
|m ＋n |
m ＋
2
＋n ＋
2
＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤
m ＋n
2
4
，解得
m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.
答案：D
11．（2012陕西，5分）已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切
C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
解析：把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32
＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．
答案：A
12．（2011江西，5分）若曲线C 1：x 2
＋y 2
－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－33，3
3) B ．(－
33，0)∪(0，3
3
) C ．[－
33，3
3
] D ．(－∞，－
33)∪(3
3
，＋∞) 解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2
＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝
|m
＋
－0|
m 2
＋1
<r ＝1，解得m ∈(－
33，3
3)，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 答案：B
13．（2012江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2
＋y 2
－8x ＋15＝0，
若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k
的最大值是________．
解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|
k 2＋1，由题意知问题转化
为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1
≤2，得0≤k ≤43，所以k max
＝4
3. 答案：4
3。