耦合系数的物理意义及表达式幻灯片

注意：
今后若无特殊要求，选取电压、电流的参考方向均 要保证自感电压和互感电压前取“+”号。
【例22-1】
下图所示电路中，已知i1=10A，i2= 5sin（10t） A，L1=2H，L2=3H，M=1H，求两耦合电感的端电 压u1、u2。
解：根据图中电压、电流参考方向及同名端，可得 u 1 L 1 d d i t 1 M d d i t 2 0 5 c0 1 o t ) 0 5 sc ( 0 1 o t ) V 0 s(
【例22-3】
下图（a）、（b）所示的电路中，同名端标记，端 电压u1、u2及电流i1、i2的参考方向均已标在图上，试 写出线圈端电压u1、u2的表达式。
解：
图（a）中两线圈中均通有电流，所以端电压u1、u2 各是由自感电压和互感电压组成。图中，电流i1、i2从 同名端流入，按惯例选择uL1、uL2、u12、u21参考方向 如图所示。uL1、u12与端电压u1参考方向相反，uL2、 u21与端电压u2的参考方向相同，由此可写出端电压u1、 u2的表达式为
结论：
两线圈相对位置相同，实际绕向不同，因而同名端 不同，如上图（a）、（b） 所示；（a）、（c）中， 两线圈绕向相同，但相互位置不同，其同名端也就不 同，这说明同名端只取决于两线圈的实际绕向和相互 位置。
再如，下图电路中，由于三个线圈没有一条磁感应 线可以同时穿过它们，因此它们没有共同的一组同名 端，只能每两个线圈之间具有同名端。利用上述定义 可以得出，对线圈Ⅰ、Ⅱ来说，1、4端是同名端，线 圈Ⅱ、Ⅲ的同名端为3端和5端，线圈Ⅰ、Ⅲ的同名端 为1端和5端，分别用“·”、“△”和“*”标记。
Ψ11 = L1i1， Ψ22 = L2i2
互感磁链与施感电流的关系为 Ψ12 = M12i2， Ψ21 = M21i1
上式中M12和 M21称为互感系数，简称互感，单位 是亨利（H）。后面的分析会证明，M12和 M21是相 等的，即M12 = M21 = M。本书中介绍的互感均为
互感线圈的同名端：
应用复阻抗并联分流关系求得
I • 2 j2 I • 1 1 2 3 9 o 6 1 3 9 o 6 A j2 j2 2
（3）由以上公式可知：
ML顺L反 4
上式给出了一个求两
线圈互感系数M的方法。 通过实验测出L顺和L反，
然后代入上式中，即可求
出M值。
【例22-4】
右图所示电路中，已知R1= 4Ω，R2=6Ω，自感抗 wL1=5Ω，wL2=9Ω，wM=3Ω，输入电压U=50V， 求电路中电流I及输出电压U2。
解：题电按路习中惯为选两定个电线压圈电的流顺参接考串方联向电如路图，所故示。本
u 2 L 2 d d i t 2 M d d i t 1 1c 5 1 o t ) 0 0 0 s 1 ( c 5 1 o t ) V 0 0 s(
【例22-2】
下图所示的互感电路中，同名端标记如图所示。已 知L1=L2=0.05H，M = 0.025H，i1= 2.82 sin （1000t）A，试求自感电压uL1和互感电压u21。
Z15 0 6 4 o 3
•• • •
•
••
U 2 U L 2 U 2 U 1 R 2 j w 2 I j L w I R M 2 I
•
[ R 2 j w ( L 2 M ) I ] ( 6 j 9 j 3 ) 5 6 4 o 3
6 5 6 4 o 3 5 6 4 o 3 3 0 o 0 V
电路，三个去耦等效参数为：
L0 M
异名端相联的去耦等效电路
图（a）电路等效为自感系数为L0、 L’ 1’L1M
L1/和L2/三个没有互感的线圈混联的 电路，三个去耦等效参数为：
L’ 2’L2M
L0 M
三、含耦合电感电路的分析
提示： 含耦合电感的电路在分析时，应视具体情 况将互感电路等效为无感等效电路，这样有 时会使分析变得简便。
三、自感电压及互感电压“+”、“-”的判断方法
自感电压前的“+”、“-”号可直接根据自感电压 与产生它的电流是否为关联方向确定，关联时取“+” 号，非关联时取“-”号。
互感电压前的“+”、“-”号的正确选取是写出耦 合电感端电压的关键，选取原则可简明地表述如下： 如果互感电压的“+”极端子与产生它的电流流进的端 子为一对同名端，则互感电压前取“+”号，反之取 “-”号。
耦合系数的物理意义及表 达式幻灯片
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11.1 耦合电感的电压电流关系
一、互感现象 定义： 载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现 象叫做互感现象，也叫磁耦合。
互感现象的有关名词：
施感电流
定义： 为了便于反映“增强”和“削弱”作用及简 化图形表示，采用同名端标记方法。对两个有 耦合的线圈各取一个端子，并用相同的符号标 记，如“·”或“*”等，这一对端子称为同名
性质：端无。论电流从哪一个线圈的哪一个端子流入或流 出，也无论电流是增大还是减小，互感线圈的 同名端，其感应电压的实际极性始终一致。如 果两个互感线圈的电流i1和i2所产生的磁通是相 互增强的，则电流流入（或流出）的端钮就是 同名端，如果磁通相互削弱，电流流入（或流 出）的端钮就是异名端。
•
•
U L 1 j w 1 I 1 L j 5 2 0 0 o 1 0 j2 2 5 0 o 5 9 0 o V 0
所以
u L 1 10 2 s0 i1n0 t( 9 0o)0 V 0
u 2 152 0 si1n0 t (9 0 o )0 V 0
所以电路电流I及输出电压U2为
I = 2.236 A U2 = 30 V
【例22-5】
下图所示电路中，已知uS=14.1sin（wt）V，R= 3Ω，wL1= wL2=4Ω，wM=2Ω，求ab端电压uab和 Uab。
解：
U •S14 1 0o1 00oV 2
可求得
•
•
I1
U S
1 0 0 o2 51 3 oA
实验法判断同名端：
对实际已绕制好的互感线圈，有时无法判别它们的 实际绕向，例如线圈被封装在外壳里面。在这种情况 下，可以采用实验的方法来测定两线圈的同名端。
判断
方法：
直流电压源正负极通过开关S与线圈Ⅰ的1、2端连接，直流 电压表（或电流表）接到线圈Ⅱ的3、4端。在开关S闭合瞬间， 电流由电源正极流入线圈Ⅰ的1端且正在增大，即电流的变化率 ＞0，则与电源正极相连的1端为高电位端，2端为低电位端。 此时若电压表指针正向偏转，则与电压表正接线端相连的线圈 Ⅱ的3端为高电位端，4端为低电位端，因为同名端的感应电压 的实际极性始终一致，由此可判断出，端钮1、3是同名端。如 果电压表指针反偏，端钮1、4是同名端。
解：
选自感电压uL1和互感电压u21参考方向如图所示。 uL1与i1参考方向相反，u21的“+”极端子与产生它的 电流i1流进的端子是同名端，所以可得
uL1
L1
di1 dt
u21Mddit1
其相量形式为
•
•
UL1jw1L I1
•
•
U21jwMI1
由已知
I•128 20o2 0oA 2
得到
w 1 1 L0 0 0 0 5 5 0 0 w 1 M 0 0 0 0 2 0 5
R jw1L 3j4
按习惯选定互感电压u21的参考方向，由图可以看 出互感电压u21的“+”极端子与产生它的电流i1流进 的端子是同名端，所以互感电压
•
•
U 2 1 j w I 1 M j 2 2 5 1 o 3 4 3 9 o 6 V
• ••
U a U b 2 I 1 R 1 4 3 9 o 2 6 5 1 o 3 3 ( 3 2 j 2 4 ) ( 3 6 j 4 8 )
wL顺= w（L1+ L2+2M）= 5+9+2×3=20Ω R = R1 + R2 = 4 + 6 = 10Ω
此串联电路的等效复阻抗（考虑了互感的影响）Z为 Z=R+jwL顺=10+j2100 =563 4o Ω
可求得
•
I • U 5 0 o 0 5 6 4 o 3 2 2 3 6 6 4 o 3 A
同名端的判断方法：
两个互感线圈的同名端可以根据它们的绕向和相对 位置判别，也可以通过实验方法确定。
下图画出了几组实际绕向和相对位置不同的互感线圈。 利用上述同名端的定义可判断出各组互感线圈的同名端。 在（a）中，若电流分别从1端和3端流入，它们产生的 磁通相互增强，因此1端和3端是同名端，同理，图（b） 中1、4端是同名端，图（c）中1、4是同名端。
u 1 u L 1 u 1 2 L 1d d it1 M d d it2
u 2 u L 2 u 2 1L 2d d it2 M d d it1
图（b）中，电流i1、i2从异名端流入，同样按惯例 选择uL1、uL2、u12、u21参考方向如图所示，得
u 1 u L 1 u 1 2L 1d d it1 M d d it2 u 2 u L 2 u 2 1 L 2d d it 2 M d d it 1
【例22-6】
下图（a）所示电路中，已知L1=7H，L2=4H， M=2 H，R=8Ω，uS（t）= 20sintV，求电流i2 （t）。
解： 应用互感消去法，将图（a）等效为图（b）。
应用阻抗串、并联等效关系，求得电流为
•
I • 1 8 j5 U S j2 /j/2 1 2 3 0 0 0 o 9 6 o 2 39 6 oA
四、耦合系数
物理意义：
用来表征两个线圈耦合得紧密程度。
表达式：
k M L1L2
0≤ k ≤1
k = 1，这种情况称 为全耦合。
在电力变压器中，为 了有效地传输功率，采 用紧密耦合，k值接近于 1，而在无线电和通信方 面，要求适当的、较松 的耦合时，就需要调节 两个线圈的相互位置。 有的时候为了避免耦合 作用，就应合理布置线 圈的位置，使之远离， 或使两线圈的轴线相互 垂直，或采用磁屏蔽方 法等。
载流线圈中的电流i1和i2称为施感电 流
自感磁链
自感磁通Φ11中所产生的磁通链（简 称磁链）Ψ11称为自感磁链
互感磁链
自感磁通Ψ11中的一部分或全部交 链线圈2时产生的磁链设为Ψ21，称 为互感磁链。
耦合线圈
把这两个靠近的载流线圈称为耦合 线圈。
二、互感系数与同名端 互感系数： 自感磁链与电流的关系为
【例22-5】
试求下图（a）所示电路的输入阻抗Zi。
解： 图中为互感线圈同名端联接，利用互感消
去法，可得无感等效电路如图（b）所示。 等效复阻抗为
Z ijw0 L (R R 1 1 jjw w 1 '1 ') L L R R (2 2 jjw w '2 '2 )L L
jw [ M R 1 jw ( L 1 M )R ] 2 [ jw ( L 2 M )] ( R 1 R 2 ) jw ( L 1 L 2 2 M )
11.2 含有耦合电感电路的计算
一、串、并联电路 1、串联
顺接串联
反接串联
等效电感： L顺 = L1 + L2 + 2M
L反 = L1 + L2 - 2M
说明：
（1）互感系数M既小于或等于两个线圈自感的几 何平均值 L1L，2 又小于或等于两个线圈自感的算术平 均值 。 L1 L2
2
（2）顺接时的等效电感大于反接时的等效电感， 当外加相同正弦电压时，顺接时的电流小于反接时的 电流。这一结论可以帮助我们判断同名端。
0 4 j7 2 7 2 1 88 6 o
uab=7.21sin（wt-86.8o）=10.2sin（wt-86.8o） V
2、并联
同名端相连
异名端相连
等效电感：
L同L1L1LL 22M 2M 2
L异L1L1LL 22M 2M 2
同名端并联 时的等效电感 大于异名端并 联时的等效电
感。
二、去耦等效电路 以没有互感的等效电路代替原来有互感的电路，这
种方法叫互感消去法，也称去耦等效变换。
1、串联电路的去耦等效电路
顺接串联的去耦 等效电路
反接串联的去耦 等效电路
2、并联电路的去耦等效电路
同名端相联的去耦等效电路
图（a）电路等效为自感系数为L0、 L1' L1M
L1/和L2/三个没有互感的线圈混联的 L'2 L2 M