外弹道学第七章弹丸的旋转与摆动运动规律 PPT

以弹丸质心为球心，单位长度为半径作球面，球
面上弧长的弧度值就等于对应的圆心角。
理想弹道的切线方向与球面交点L，弹轴与球面交
点A，速度与球面交点T。A点的轨迹表示弹轴在空
间的运动过程，T点的轨迹表示速度方向变化的过程。
2 i1
2 i1
2 i1
19
二、作用在弹上的力和力矩 1、空气动力和力矩
1、转速变化规律及平衡转速
低速旋转尾翼弹，一般是应用斜置尾翼或尾翼斜切角使弹
丸旋转。
尾翼导转力矩 M xw CKxwV 2
K xw
s
2C
lmxw
C为极转动惯量， 为斜置角
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极阻尼力矩 M xz CKxzV&
转动方程：C&& M xw M xz
C&& CKxwV 2 CKxzV &
d&
dt
C e C e (1iu1)s 1
(2 iu2 ) s 2
动态稳定条件：特征根的实部小于零，攻角沿全弹道衰减。
1,2 B1 1
(p
p2
( 2B1
1
)2
Sd*2
)
2
u1,2 1(1
(p
p2
( 2B1
1
)2
Sd*2
)
)
2
23
动态稳定条件：1 0
Sd*2
B12
12
p
1 Sg
1 Sd*2
设计注意：一般只要保证在炮口满足Sg>1即可，只 有对远程榴弹，可能出现在落点附近Sg<1的情况，需 要校核落点处的急螺稳定性。
极转动惯量 C m d 2 质量分布系数 4
2
Cm
A C
h d
H
( y0
) K mz0
上
膛线缠度上限
r0
&0
2 v0 d
膛线缠度上限决定了弹丸 出炮口的最低转速
10
§7-4 追随稳定性
1 1 Sg
Sg 1 翻转力矩，旋转弹高速旋转，陀螺稳定性
Sg 0 稳定力矩，尾翼弹静态稳定
动态稳定因子
Sd
dl RA2
mzz
2(Cy
dl Rc2
my)
Cy
Cz
2mg sin SV 2
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五、稳定区域图 静稳定区、静不稳定区 陀螺稳定区、陀螺不稳定区 动态稳定区、动态不稳定区 旋转弹动态稳定区 尾翼弹动态稳定区
阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、 极阻尼力矩、马氏力矩 2、重力 3、陀螺效应力矩 4、尾翼导转力矩
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三、弹丸一般运动微分方程组
1、质心运动方程
（1）速度大小变化方程： v& bxv2 g sin
（2）速度方向变化方程：
&
byv
ibz&
g
cos
v
2、围绕质心运动方程
（1）自转运动方程：&& kxz&v （2）摆动运动方程：A&& M z M zz M y Mt
静稳定储备量：阻力臂h与全弹长l之比的百分数。 1、坐标系 铅直面Ⅱ 水平面Ⅰ 攻角δ 偏角Ψ
摆动角
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2、方程组的建立 质心运动方程
切线方向：v& bxv2 g sin
法线方向：& byv
& byv g cos / v
摆动方程：&& KzV 2 KzzV&
齐次方程: && (kzz by )v& kzv2 0
Kz
S
)
V0
&0
Kz
ebs sin(
KzVt)
起始最大振幅：m0
&0
V0 Kz
周期：T 2
V Kz
波长： VT 2
Kz
30
偏角： &0
by Kz
&0 [1 cos(
V0
Kz s)]
平均偏角： &0
by Kz
&0
V0
RA2 h
&0
V0
几点结论：
（1）不管哪种起始条件均将引起平均偏角；
（2）平均偏角与起始章动角成正比；
（3）平均偏角与阻质心距h成反比。
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§7-7 尾翼弹丸稳定性分析
一、低速旋转尾翼弹及共振不稳定性
质心偏离产生附加力和力矩，对于不旋转弹而言，必引起
弹道偏差，造成射程和方向的变化。而尾翼弹的外形和质量
分布的不对称性是随机的，必引起对应的射弹散布。为了减
小不对称因素引起的散布，可使尾翼弹绕弹轴低速旋转。
by )]
1 v2
[d dt
(
g
cos
v
)
g
cos (i21
kzz
)]
d&
ds
&s
kxz&
22
2、动态稳定条件的建立 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。
s (kzz
by
bx
g sin
v2
i21)s
[(kz
21
&
v bz
)
i21
(k
y
by )]
0
s (2B1 i21)s (kz i41B2 ) 0
角ν 章动角：在阻力面内弹轴与速度轴的夹角δ 进动: 阻力面以速度轴为轴的转动称为进动 章动: 弹轴相对速度轴的摆动称为章动 自转角：弹丸绕弹轴旋转的角度γ 广义坐标 广义速度
5
引入基本假设： （1）弹丸是一个外形及质量分布均为轴对称的刚体； ξ、ζ、η为弹丸的惯性主轴 弹丸对任一赤道轴的转动惯量相等，为A 转动动能: T 1 [ A( p2 q2 ) Cr2 ]
&& & &&&& &&
&&
(kzz
by
i21)v& [(kz
21
&
v bz
d dt
(
g
cos
v
)
g
cos (i21
kzz
)
21
四、运动稳定性分析 1、方程的变量变换
t
s 0 vdt
& sv
s (kzz
by
bx
g sin
v2
i21)s
[(kz
21
v&bz ) i21(ky
pmax [p ]
下
g
2
CmV0d
[
p
]
h d
1
et
H ( y)V 3Kmz (M )
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§7-5 动态稳定性简介
一、坐标系及坐标变换 1、坐标系
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2、坐标转换
（1）速度系与地面系
分别为弹道倾角和弹道偏角
（2）弹轴系与速度系
（3）弹轴系与弹体系 γ为弹丸的滚转角
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弹轴坐标系与速度坐标系之间的关系
如果V的方向不再变化，则锥形进动一直进行。（b图）
11
由于重力的作用，弹道切线方向在不断下降，故弹轴在切
线上方停留的时间t上和章动角δ上大于停留的时间t下和章动 角δ下。 右旋弹丸：
M上 A上
指向右侧
M上 M下
弹轴右偏
M下 A下 指向左侧
结论：在弹速方向不断低头的情况下，右旋弹弹轴向右偏，
弹轴的平均位置称为动力平衡轴，与速度方向的夹角称为动
保证动态稳定的充要条件：
1 Sg
Sd (2 Sd )
Sd 动态稳定因子
24
3、动态稳定条件的讨论
陀螺稳定因子Sg反映了陀螺力矩与俯仰力矩对弹 丸围绕质心运动的影响；动态稳定因子反映了马格
努斯力矩、赤道阻尼力矩、升力、阻力以及重力切
向分量对弹丸围绕质心运动的影响。
简化形式：s i21s kz 0
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六、转速对动态稳定性的影响
动态稳定条件：M m
&2
Sd (2 Sd )
当Mm与Sd (2 S同d ) 号时，转速在一定范围内保证动 态稳定；
当两者异号时，静态稳定的弹丸必动态稳定，静态 不稳定的弹丸必动态不稳定，且与转速无关。
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§7-6 尾翼弹丸运动方程组的建立与分析
尾翼弹主要特点：压心在质心与尾翼之间，空气力矩是稳 定力矩，弹丸为静态稳定弹丸。
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二、静态稳定性、动态稳定性 1、静态稳定性
静态稳定储备量保证弹丸不翻到。 静态稳定储备量：（1）在各种条件下确保弹丸 的静态稳定性；（2）在全弹道上要保证攻角均较小。 静态稳定储备量大可使弹丸在飞行中攻角减小。 但如储备量过大，则由于后效期反向气流的作用将 产生翻转力矩，使起始扰动增大，故静稳定储备量 不宜过大。另外，增大静稳定储备量将影响弹丸的 质量分布和尾部结构。
p
1p
Cr
A
&
2p
Cr
A
&1 p
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考虑极阻尼力矩 M xz 的影响：
C
dr dt
M xz
r r0et
& &0et
表达式：
p
g
2
CmV0d h
H
(
cos
y)V 3Kmz
(M
)
et
d
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三、影响动力平衡角的因素
（1）弹道参数：弹速、倾角。
弹道顶点附件最大
p
g
2
CmV0d h
H
(
1 y)Vs3Kmz
力平衡角（平均章动角）。
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二、动力平衡角的表达式
动力矩定理： r
r dK r u dt M zP
r
u K 1 M zP A p
如果平均弹轴向下转动的角速度ω1，与V下降的角速度 & 不相等，则认为弹轴不满足追随运动，因为弹轴与速度之 间的夹角过大。
追随运动必须满足条件：1 &
侧向动力平衡角:
2 （2）只考虑翻转力矩； （3）章动角很小。
6
二、拉氏方程及应用 广义坐标：γ、ν、δ 1、对γ的积分（gamma）-转动 2、对ν的积分（niu）-进动 3、对δ的积分（delta）-章动
7
8
§7-3 旋转弹丸的急螺稳定性
一、急螺稳定因子
1 2
Sg
2
1
急螺稳定因子
1 1
Sg
9
二、急螺稳定条件 稳定条件：Sg 1
K xzV
&
K
xwV
2
d&
ds
K
xz&
K
xwV
齐次方程：d&
ds
K
xz&
0
解为：& ekxzs[
kxwv ekxzsds
c]
ekxzs[ kxwv
kxz
ekxz s
c]
由积分起始条件，s=0，& &0
&0
kxwv
kxz
c
c
&0
kxwv
kxz
&0 &L
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转速变化规律：& &L (&L &0 )ekxzs
第七章 弹丸的旋转与摆动运动规律
1
§7-1 一般概念
质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 两种现象：弹丸翻转、弹道偏移
旋转理论 摆动理论 线性理论 非线性理论
2
一、攻角及影响因素 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 影响攻角的因素： 1、弹丸本身的力学性质 所谓一个系统的某种运动是否稳定，指该系统受扰动作用 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（或理想运 动）之间的偏差是否也足够小。
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2、动态稳定性 动态稳定性要求弹丸在全弹道上攻角始终是衰减
的。
&0 ebs sin(
V0 Kz
Kz S)
b0
对于低速旋转尾翼弹，还须防止共振现象。
37
&L
kxwv
kxz
mxwv
mxz d
（极限转速）平衡转速与速度成正比
物理意义：平衡转速为力矩之和为0时的转速
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2、共振不稳定性及其避免方法
尾翼弹的不对称性综合反映在攻角δ=0时稳定力矩和升力
不为0，当攻角等于
和
m
时y ，稳定力矩和升力才分别为0。
尾翼弹低速旋转时，如果转速选择不当，会引起弹丸不稳 定飞行，使散布增大，两方面原因：（1）共振现象；（2） 马格努斯效应引起的不稳定现象。 共振条件：摆动周期等于旋转周期。
非齐次方程: && (kzz
by )v& kzv2
d dt
(g
cos
v
)
g cos kzz
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3、方程的求解
变换形式得： 2b kz 0
解为： ebs[C1 sin( Kz S) C2 cos( Kz S)]
起始条件：s=0， 0 0 &0
v
&0 ebs sin(
V0 Kz
稳定、渐近稳定 2、扰动因素的大小和变化规律 弹丸飞行稳定性条件只是减小弹丸散布的必要条件 瞬时扰动：起始扰动、阵风 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。
3
二、稳定性概念 非扰动弹道 扰动弹道 质心沿弹道运动的稳定性 绕质心运动的稳定性
4
§7-2 旋转弹丸绕质心运动方程的建立与分析 一、坐标系 铅直参考平面：O′-xy 阻力面： O′- ξζ 进动角：弹轴ξ所在的阻力面与含速度轴的铅直参考面的夹
(
Ms)
e
ts
d
（2）弹丸外形及质量分布情况
气动外形、质量分布、极转动惯量、弹长、阻力臂等
（3）转速比
& 越大，动力平衡角越大。
V
15
四、追随稳定性
过大的动力平衡角不良后果： （1）射程减小，偏流增大； （2）使马格努斯力矩出现较严重的非线性，破坏弹丸的动 态稳定性，使章动角沿弹道发散； （3）增加各种散布因素的影响效果。
追随稳定性研究的内容：当弹速V受重力影响不断下降 时，具有急螺稳定性的弹丸，为什么弹轴能追随速度矢量的 下降而下降。 一、动力平衡轴和动力平衡角
忽略起始扰动，零时刻弹轴方向与速度共线同向，由于V 在重力作用下方向不断低头，而弹丸的急螺稳定性使弹轴方 向保持不变，形成章动角δ，由此引起翻转力矩Mz，该矢量 垂直于阻力面向外，随着阻力面位置的不断变化，翻转力矩 的指向也不断变化，形成了弹轴的锥形进动。