基2FFT算法
基2fft算法
基2FFT算法一、什么是基2FFT算法基2FFT算法（Fast Fourier Transform）是一种用于将一个离散信号变换成其频域表示的算法。
它通过将离散信号分解为多个较小的离散信号，并对这些信号进行递归处理，最后合并得到频域表示。
基2FFT算法是最常用的FFT算法之一，其时间复杂度为O(nlogn)。
二、基2FFT算法的原理基2FFT算法的核心思想是分治法。
根据离散信号的长度，将信号分解为两个较小的子信号，然后对这两个子信号分别进行FFT变换。
再将得到的两个子信号的频域表示合并，得到整个信号的频域表示。
具体过程如下：1.判断信号长度是否为1，如果是，则直接返回该信号作为其频域表示。
2.将信号分为偶数索引和奇数索引两个子信号。
3.对这两个子信号分别进行FFT变换，并得到它们的频域表示。
4.合并两个子信号的频域表示，得到整个信号的频域表示。
基于分治法，基2FFT算法可以将信号的长度减半，并通过递归的方式处理子信号，直到信号长度为1，再进行合并得到整个频域表示。
三、基2FFT算法的实现下面是基于伪代码的基2FFT算法的实现：function FFT(signal):n = length(signal)if n == 1:return signalelse:even = FFT(signal[0::2])odd = FFT(signal[1::2])for k = 0 to n/2-1:t = odd[k] * exp(-2*pi*i*k/n)signal[k] = even[k] + tsignal[k + n/2] = even[k] - treturn signal四、基2FFT算法的应用基2FFT算法在信号处理、图像处理、数字滤波器等领域具有广泛的应用。
以下是一些基于基2FFT算法的应用示例：1.频谱分析：将时间域信号转换为频域信号，可以分析信号的频率分量及其强弱关系，从而实现信号的频谱分析。
时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT分析与算法实现
离散时间信号的基2快速傅里叶变换FFT （时间抽取）蝶形算法实现一、一维连续信号的傅里叶变换连续函数f(x)满足Dirichlet （狄利克雷）条件下，存在积分变换：正变换：2()()()()j ux F u f x e dx R u jI u π+∞--∞==+⎰ 反变换：2()()j ux f x F u e du π+∞-∞=⎰其中()()cos(2)R u f t ut dt π+∞-∞=⎰，()()sin(2)I u f t ut dt π+∞-∞=-⎰定义幅值、相位和能量如下：幅度：1222()()()F u R u I u ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 相位：()arctan(()/())u I u R u ϕ= 能量：22()()(E u R u I u =+）二、一维离散信号的傅里叶变换将连续信号对自变量进行抽样得到离散信号（理想冲击抽样脉冲），利用连续信号的傅里叶变换公式得到离散时间傅里叶变换DTFT ；再利用周期性进行频域抽样，得离散傅里叶变换DFT （详情参考任何一本《数字信号处理》教材）。
DFT 变换如下：正变换：12/0()(),0,1,2,1N j ux Nx F u f x eu N π--===-∑。
反变换：12/01()(),0,1,2,1N j ux Nu f x F u ex N Nπ-===-∑。
DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换，因为计算机等数字设备只能存储和处理离散数据（时域、频域）。
因直接计算DFT 的计算量大（与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大），所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
直到1965年发现了DFT 的一种快速算法（快速傅里叶变换，即FFT ）以后，情况才发生了根本的变化。
FFT 有时间抽取和频率抽取两种，下面介绍时间抽取FFT 。
三、时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT令2j NN W eπ-=，则2jkm km NNWeπ-=称为旋转因子，把DFT 正变换改写为：1[][],0,1,1N km N k F m f k W m N -===-∑将函数记作x ，变换后为X ，则为：10[][],0,1,1N kmN k X m x k W m N -===-∑时间抽取的FFT 算法利用了旋转因子的三个性质：周期性、对称性和可约性。
4.3 按频率抽选的基-2FFT算法
k 0,1
0 0 X ( 2 ) X ( 0 ) x ( 0 ) W W x ( 1 ) x ( 0 ) x ( 1 ) 4 4 2 24 4 4 0 1 0 X ( 6 ) X ( 1 ) x ( 0 ) W W x ( 1 )[( x 0 ) x ( 1 ) ] W 4 4 2 2 4 4 4 N
W
-1
0 N
x2(0) x2(1) x2(2) x2(3)
W
-1 -1 -1
1 N
2 N
3 NWW来自X2(3)=X(7)——电子信息工程
N /2仍为偶数，进一步分解：N /2
N /4
() xn () xnN (/ 4 ) xn 3 1 1 N n 0,1 ,..., 1 n xn () [ xn () xnN (/ 4 ) ] W 4 4 1 1 N / 2
图4-14 按频率抽选蝶形运算流图符号
——电子信息工程
x(0) x(1) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3) N/2点 DFT X1(0)=X(0) X1(1)=X(2) X1(2)=X(4)
x(2)
x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
X1(3)=X(6)
X2(0)=X(1) N/2点 DFT X2(1)=X(3) X2(2)=X(5)
——电子信息工程
4 .3 按频率抽选的基-2FFT算法
——电子信息工程
一、 DIF-FFT 算法原理
设序列点数N=2L，L为整数。
基2FFT算法分析的介绍
快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为)(k X =)()(10k R W n x N N n knN∑-= 在所有复指数值knN W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。
算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。
即计算量是与2N 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。
N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT运算：（1） 周期性：k N n N kn N nN k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N N k NW W -=+)2/(利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N ＝4时，X(2)的值)()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(04240464442404324对称性－＝周期性W x x x x W x x W x x W x W x W x W x W n x X n n +++++=+++==∑=通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。
按时间抽选的基2-FFT算法(课堂PPT)
2
r0
r0
X
1
(
k
)
W
k N
X2(k)
k 0,1, , NN2 1 k 0,1, , N 2 1
?
4
X1(k)、X2(k)只有N/2个点，以N/2为周期；而X (k) 却有N个点，以N为周期。要用X1(k)、X2(k)表达全部的
X (k) 值，还必须利用WN系数的周期特性。
W r( N / 2k) N /2
X (k
N
/
2)
X1(k)
W
k N
X 2 (k )
得到X1(k)和X2(k)需要： 复乘：(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次
复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次
此外，还有4个蝶形结，每个蝶形结需要1次复乘，2次复加。 一共是：复乘4次，复加8次。
用分解的方法得到X (k)需要：
7
➢ 分解后的运算量：
一个N 点DFT 一个N / 2点DFT 两个N / 2点DFT
一个蝶形 N / 2个蝶形
总计
复数乘法 N2
(N / 2)2 N 2/ 2
1 N/2 N2/2 + N/2 ≈ N2/2
运算量减少了近一半
复数加法 N (N–1) N / 2 (N / 2 –1) N (N / 2 –1)
1
2、算法步骤
➢ 分组，变量置换
N 1
X (k )
DFT[x(n)]
x(n)W
nk N
0 k N 1
n0
先将x(n)按n的奇偶分为两组，作变量置换: 当n=偶数时，令n=2r; 当n=奇数时，令n=2r+1;
按时间抽选的基2FFT算法
按时间抽选的基2FFT算法基2FFT算法（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效的算法，用于在计算机上计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）。
它的核心思想是利用分治策略和递归操作，在O(nlogn)的时间复杂度下完成离散傅里叶变换。
基2FFT算法的关键步骤如下：1. 将输入的序列划分为两个子序列：偶数位置和奇数位置上的元素分别组成两个子序列。
2. 对这两个子序列分别进行离散傅里叶变换，得到两个新的子序列。
3. 将两个新子序列的元素按照原始顺序交替排列，得到最终的结果。
基于以上步骤，可以利用递归操作来实现基2FFT算法。
具体的实现过程如下：1. 如果输入序列的长度为1，则不需要进行任何操作，直接返回该序列作为结果。
2. 如果输入序列的长度大于1，则按照上述步骤进行分割和计算。
3. 首先将输入序列分为偶数位置和奇数位置上的元素组成的两个子序列。
4. 对这两个子序列分别递归调用基2FFT算法，得到两个新的子序列。
5. 将两个新子序列的元素按照原始顺序交替排列，得到最终的结果。
基2FFT算法的时间复杂度分析如下：假设输入序列的长度为n，则每一层递归的时间复杂度为O(n)，总共有logn层递归。
因此，基2FFT算法的总时间复杂度为O(nlogn)。
基2FFT算法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
它可以高效地计算离散傅里叶变换，将时域信号转换为频域信号，从而实现信号分析、频谱分析和频域滤波等操作。
同时，基于基2FFT算法的快速傅里叶变换还能够应用于多项式乘法、高效计算卷积等问题的求解。
总之，基2FFT算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，通过利用分治策略和递归操作，能够在O(nlogn)的时间复杂度下完成计算。
它在信号处理和图像处理等领域有着重要的应用价值。
基2FFT算法（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的一种高效计算方法。
按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现
按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现基2FFT算法是一种快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的算法，在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
该算法通过将N个输入值分解成两个长度为N/2的DFT（离散傅里叶变换）来实现快速的计算。
本文将对基2FFT算法进行分析，并给出MATLAB实现。
基2FFT算法的主要思路是将输入序列分解成奇偶两个子序列，然后分别对这两个子序列进行计算。
具体步骤如下：1.将输入序列拆分成奇数位和偶数位两个子序列。
比如序列x[0],x[1],x[2],x[3]可以拆分成x[0],x[2]和x[1],x[3]两个子序列。
2. 对两个子序列分别进行DFT计算。
DFT的定义为：X[k] = Σ(x[n] * exp(-i * 2π * k * n / N))，其中k为频率的索引，N为序列长度。
3.对得到的两个DFT结果分别进行合并。
将奇数位子序列的DFT结果和偶数位子序列的DFT结果合并成一个长度为N的DFT结果。
4.重复以上步骤，直到计算结束。
基2FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的时间复杂度O(N^2)。
这是因为基2FFT算法将问题的规模逐步减半，从而实现了快速的计算。
下面是MATLAB中基2FFT算法的简单实现：```matlabfunction X = myFFT(x)N = length(x);if N == 1X=x;%递归结束条件return;endeven = myFFT(x(1:2:N)); % 偶数位子序列的FFT计算odd = myFFT(x(2:2:N)); % 奇数位子序列的FFT计算W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:N/2-1)); % 蝶形因子temp = W .* odd; % 奇数位子序列的DFT结果乘以蝶形因子X = [even + temp, even - temp]; % 合并得到一个长度为N的DFT结果end```上述代码中，函数myFFT为基2FFT算法的MATLAB实现。
基2fft算法
基2fft算法基2fft算法是离散傅里叶变换的一种实现方式。
离散傅里叶变换在数字信号处理中应用广泛，可以将一个信号从时域转换到频域，方便对信号进行各种分析和处理。
基2fft算法通过快速傅里叶变换的方式，实现了对离散信号的快速变换。
基2fft算法的核心思想是分治算法，即将一个大问题分解成多个子问题，然后分别解决，最终合并得到整个问题的解。
对于基于基2fft算法的离散傅里叶变换来说，它将一个长度为N的离散信号分成两半，然后对每一半进行离散傅里叶变换，再将结果通过一定的合并算法得到整个信号的变换结果。
具体来说，基2fft算法实现离散傅里叶变换的过程分为以下几个步骤：1.将输入的离散信号分成两半，每一半作为一个子问题进行处理。
2.对每一个子问题递归地应用基2fft算法，将其分成两半，直到问题规模为1，此时变换结果就是其自身。
3.将每个子问题的变换结果合并起来得到整个信号的变换结果。
合并的方式根据具体实现有所不同，但通常都是利用旋转因子和蝴蝶操作将前一半和后一半的变换结果组合起来。
基2fft算法的主要优点是运算速度快，复杂度为O(NlogN)。
这意味着对于比较大的信号，基2fft算法比暴力算法要快很多。
此外，基2fft算法还具有灵活性和扩展性，可以通过调整参数来实现不同的变换需求。
然而，基2fft算法也有一些限制和缺点。
首先，基2fft算法要求信号的长度是2的幂次方，这在某些情况下可能不太方便。
其次，由于涉及到递归和分治操作，基2fft算法的实现和调试可能比较困难。
最后，如果信号的长度较小，基2fft算法可能比暴力算法更慢，因为其内部有一些额外的操作会增加运行时间。
总之，基2fft算法是一种非常重要的数字信号处理算法，它通过分治和合并的方式实现了对离散信号的快速变换。
尽管基2fft算法有一些限制和缺点，但在实际应用中，它仍然是一个非常有用的工具，可以帮助我们更好地分析和处理数字信号。
FFT的基2算法简介
基2FFT算法
(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)
X
(
X (k) XX ((kk)) k)
NXn/NNNNNN(2nnnrrrrrk//////2222221)00000偶x111111xxx(x数n(((xxNNxxxx(nnnnr111(((//2)(((22222)))W0rrrWWWrrrr11))))x)))NNNNWWWWkkkk(xxnnnnn1(WWWNNN(N2222)2rWkkkNNNkrrrrkkk)rnnn)NNnNNWkrrn奇///W2N22NNN002rxrrxxN数///111k2N22(((xr0k00/nnnn2111xNxx()))2n22/WWW1Wx2Nxx((()rxrrr(((/W1NNN2kNk2kx)22())02nnnWWWnkrrr1(xNr)k22NNNWn222x(rkkk1r11(rrrNek2))))nWWWWr1jNNNN2k2Nkk)(k((W12r222rrr)kWrN111k)))(Nk2(er2rW1j)12N)N22kkrr
We j22kNr 2kr N /2
r0r0 r0
r0 r0r0
N / 21
N / 21
X (k)
r
N/ 0
21
xx11((rr))WNkWr/ 2 Nk
N
Wk rN0
/
2x1 2x(2r()rW)WN2Nkkr/r2
X1(k ) WNk X 2 (k )
N / 2基12FFT算法
N 2 rn
X (2r) [ x[(xn()n) x(xn(nN2 2)])W]W XX将 当 将(2(Xkx2r取1(r(kn))1奇分))N和n数解/N2nx0/NN21n(2成0n/k/2(120=n0[1偶1x)[2分([xr[数Nnx+x(()别nn(1n组n,/)r))2=代n0x与0(xx入1,xn1奇0(((,nn…n上数,NN式X2N/组2NN222X()，)-2])，1)W](]Wr)]W2W可时XXNr当N2Nnnr/((N(1得：2n2222W)rkr1nrr取)1N)))nr/N表2偶NNNnNn/Nnn/2n//NNn2/0明数22/02nn00210//1022111001：([[11xk[x[[[x2=Xxxx(x([[((n(n(((2nxxnknnn))r(())),)按))nnr=))奇xxx0x(xx(((,偶nnn1((nxx,nn…((kxnn值1(N,N2NnN2分NN)22))/)]]2NN为]22WWW))-]]1两))WWNNN)NnNnn]]时n2(WW(2组2NNWr22Wr/rNrr//NNn122nn2:22N1)nNrr)nrnn/r/22
基-2fft算法特点
基-2fft算法特点基-2 FFT算法，也称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）算法，是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的高效算法。
以下是基-2 FFT算法的特点：1.高效性：相比于直接计算DFT的算法，基-2 FFT算法显著减少了计算的复杂性。
这种高效性来自于其基于分治策略的算法设计，它将大的问题分解为更小的子问题，从而可以利用计算机的并行处理能力，实现高效的计算。
2.固定时间复杂度：对于长度为2^N的序列，基-2 FFT算法的时间复杂度为O(N log N)。
这意味着无论输入序列的长度如何，基-2 FFT算法的运行时间都与输入长度呈对数关系，这使得它在处理大规模数据时具有显著的优势。
3.递归性：基-2 FFT算法是一个递归算法，它通过递归地应用蝶形运算来计算DFT。
这种递归结构使得算法易于理解和实现，同时也方便了并行化和优化。
4.对称性：基-2 FFT算法中的蝶形运算具有对称性，这使得算法在计算过程中能够充分利用输入数据的内在对称性，进一步减少计算量。
5.可并行化：由于基-2 FFT算法的递归和分治性质，它可以很容易地并行化。
通过将数据分成多个子序列并分别进行FFT，可以显著提高算法的计算效率。
6.应用广泛：基-2 FFT算法在信号处理、图像处理、通信、数值分析等领域有广泛的应用。
由于其高效性和易用性，基-2 FFT算法已成为数字信号处理和图像处理领域的基本工具之一。
综上所述，基-2 FFT算法具有高效性、固定时间复杂度、递归性、对称性、可并行化和应用广泛等特点。
这些特点使得基-2 FFT算法成为数字信号处理和图像处理领域的常用算法之一，并且促进了数字信号处理和图像处理领域的发展。
基2时域频域FFT算法
X[m] X1[m] WNm X 2[m]
X[m N / 2] X1[m]WNm X2[m] m 0,1 N / 2 1
8点FFT流图
第一级 x[0]
x[4]
-1
x[2]
x[6]
-1
x[1]
x[5]
-1
x[3]
x[7]
-1
第二级
W40 W41 -1
-1
W40 W41 -1
-1
第三级
X[0]
X[1]
X[2]
W80 W81 W82 W83
X[3]
-1 X[4] -1 X[5] -1 X[6] -1 X[7]
(二 ) 算法工作量
x1[k]
x2[l]
a
-1
x1[k]a x2[l]
x1[k]a x2[l]
一个蝶形计算量： 复数乘法 1，复数加法 2
N=2M时，分解级数为 M，每级蝶形数 N/2
如计算1024点DFT： 复数乘法次数： N2 =10242 = 220 = 1048576
解决问题的思路
1.将长序列DFT分解为短序列的DFT
2.利用旋转因子 WNkm的周期性、对称性、可约性。
WNkm 的性质
1)周期性(periodicity)
WN(kN)m WNk(mN) WNkm
2)复共轭对称性(complex conjugate)
X1[m] WNm X 2[m]
N=2基2时域FFT流图的推导
X [m]
X1[m] WNm X 2[m]
X[m N / 2] X1[m] WNm X 2[m] m 0,1 N / 2 1
例：N 2, m 0, X1[0] x[0], X 2[0] x[1]
基2时间抽取FFT算法
P
节点的距离为4。
( N / 21) 0 1 W , W , , W 第M级的蝶形系数为 N N ，蝶形节点 N
的距离为N /2。（其中M=log2(N)）
例 1 ：已知 x[k]={1,2,3,4} ，利用基 2 时间抽取 FFT 算法 流图计算：X [m] DFT{x[k ]}; DFT{X [m]} 1
输出X[m]前后分解 X1[0] X [0] X [1]
输入x[k]偶奇分解
2点DFT
1
X1[1]
X2[0]
W40
1
X [2]
X [3]
W20
2点DFT 1
X2[1]
W41
1
1、基2时间抽取FFT算法原理
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0] x[2] x[1] x[3]
W40 W40
X1[0] X1[1] X2[0] X2[1]
N / 2 1
r 0
2 rm x[2r ]W N
N / 2 1
r 0
( 2 r 1) m x[2r 1]W N
记 X1[m]
N / 2 1 r 0
x[2r ]W
r 0
rm N /2
W
m N
N / 2 1 r 0
x[2r 1]W
r 0 rm x[2r 1]WN /2
1、基2时间抽取FFT算法原理
N点序列x[k]的DFT的计算复杂度：
km X [m] x[k ]WN , m 0,1, N 1 k 0
0 0 0 X [0] x[0]WN x[1]WN x[ N 1]WN
0 1 N 1 X [1] x[0]WN x[1]WN x[ N 1]WN
按时间抽取的基2FFT算法分析与MATLAB实现
按时间抽取的基2FFT算法分析与MATLAB实现基2FFT算法（Fast Fourier Transform）是一种高效的离散傅里叶变换（DFT）算法，其时间复杂度为O(NlogN)，其中N为输入数据的大小。
该算法利用了DFT的对称性质以及分治的思想，通过将一个大规模的DFT问题分解为若干个规模较小的DFT问题来加快计算速度。
基2FFT算法的实现步骤如下：1.输入N个复数序列x(n)，其中n取值范围为0到N-12.如果N为1，直接返回x(n)。
3. 将x(n)分为两个子序列，分别为x_odd(n)和x_even(n)，其中x_odd(n)包含所有奇数索引的元素，x_even(n)包含所有偶数索引的元素。
4. 对x_odd(n)和x_even(n)分别进行基2FFT变换，递归地计算它们的DFT结果。
5. 根据DFT的对称性，计算出x(k)的前半部分和后半部分的值，其中k为频率索引，取值范围为0到N/2-1、具体计算方法是将x_odd(k)和x_even(k)与旋转因子W_N^k相乘，可通过以下公式计算：x(k) = x_even(k) + W_N^k * x_odd(k)x(k+N/2) = x_even(k) - W_N^k * x_odd(k)其中W_N^k = e^(-j*2*pi*k/N)为旋转因子。
6.返回x(k)作为输出结果。
基2FFT算法的MATLAB实现如下：```matlabfunction X = myfft(x)N = length(x);if N == 1X=x;%如果序列长度为1，直接返回原始序列returnendx_even = myfft(x(1:2:end)); % 奇数索引的元素序列x_odd = myfft(x(2:2:end)); % 偶数索引的元素序列W_N = exp(-2i * pi / N); % 计算旋转因子X = zeros(1, N); % 保存DFT结果for k = 0:N/2-1X(k+1) = x_even(k+1) + W_N^k * x_odd(k+1);X(k+1+N/2) = x_even(k+1) - W_N^k * x_odd(k+1); endend```该实现使用了递归的方式计算DFT，首先对输入序列进行分解，然后递归地计算子序列的DFT结果，并根据对称性将结果合并到一起。
基2 fft 算法(时域、频域)的基本原理
基2 fft 算法（时域、频域）的基本原理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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按时间抽取的基2FFT算法分析
按时间抽取的基2FFT算法分析基2FFT算法是一种快速傅里叶变换算法，它通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了傅里叶变换的效率。
基2FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分成长度为n/2的两个子序列，并分别做傅里叶变换。
然后将两个子序列的傅里叶变换结果合并起来，得到原始序列的傅里叶变换结果。
具体来说，基2FFT算法的步骤如下：1.如果输入序列长度为1，则返回输入序列作为傅里叶变换结果。
2.将输入序列按奇偶位置分为两个子序列。
3.对两个子序列分别递归地应用基2FFT算法，得到它们的傅里叶变换结果。
4.根据蝶形算法，将子序列的傅里叶变换结果合并起来，得到原始序列的傅里叶变换结果。
基2FFT算法通过不断将序列分成两半的方式，将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)。
在每一层递归中，需要进行O(n)次计算，而递归的层数为logn，因此总的时间复杂度为O(nlogn)。
基2FFT算法的关键之一是蝶形算法。
蝶形算法是一种合并子序列傅里叶变换结果的方法。
在每一层递归中，对于每个位置k，需要计算一个长度为n的序列上的k点DFT。
根据蝶形算法，可以将这个计算分成两个部分：计算序列中偶数位置上的点DFT和计算序列中奇数位置上的点DFT，并通过一些乘法和加法操作合并起来。
这样做可以大大减少计算量，提高计算效率。
基2FFT算法还可以通过多线程或并行处理来进一步提高效率。
由于基2FFT算法具有递归结构，可以将不同的递归层分配给不同的线程或处理器来并行进行计算，从而加快计算速度。
基2FFT算法在数字信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等领域有着广泛的应用。
它的高效性和快速运算速度使得它成为处理大规模数据的重要工具。
综上所述，基2FFT算法通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了傅里叶变换的效率。
它采用递归分治的思想，通过分解和合并操作来实现傅里叶变换的计算。
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X1(k)、 X2(k) 的点数为N/2点，它们以N/2点为周期，有：
N X1( 2
k)
X 1(k )
N X2( 2
k)
X 2 (k )
k用k+N/2代
W(
k
N 2
)
N
N
W2 N
WNk
WNk
X (k)
X (k
X1(k) WNk
N 2
)
X1(k)
X2(k)
WNk X
4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算 量比较
4.2.4 算法特点
4.2.5 频域抽取法FFT （ DIF-FFT ） 4.2.6 DIT-FFT与DIF-FFT的异同 4.2.7 IDFT的高效算法
4.2.2 时域抽取法基2FFT（ DIT-FFT ） 的基本原理
基2FFT算法：序列长度N为2的整数次幂的FFT算法。 基2FFT算法分类：
N/4点 DFT
N/4点 DFT
XX44((01W))N0/W2N1/2 X5(0)
X5(1)
N/4点 DFT
X6(0) X6(1W)N0/W2 N1/2
X1(2)
X1(3)
X2(0) 0
X2(1)WN1
WN
X2(2) 2
WN
X2(3)
3
WN
X(2)
频
X(3) 域
对
X(4)
半 分
X(5)
X(6) X(7)
1)W
( N
2
r
1)
k
r0
r0
N 2
1
N 2
1
x
(
2
r
)W
2 N
rk
r0
N 2
1
W
k N
r0
N 2
1
x(2r
1)W
2 N
rk
r,
k
Байду номын сангаас0,1,K
N 2
1
X (k )
x1
(
r
)W
rk N/
2
W
k N
x2
(
r
)W
rk N/
2
X
1
(
k
)
W
k N
X
2
(
k
)
x(n): x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)
x(0)
X3(0)
X1(0)
X(0)
x(4)
时 x(2)
域 奇
x(6)
偶 分
x(1)
x(5)
x(3) x(7)
WN0
X3(1)
WN0
XX44((01W))N0WN2
X5(0)
WN0
X5(1)
WN0
WNk
利用DFT系数W
k N
n的特性，合并DFT运算中的某些项，把
长序列DFT转换成短序列DFT，从而减少运算量。
把长序列变短序列原因：
例：
DFT运算量和N2成正比，N降低，运算量就大大下降。
4.2 基2 FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的问题及改善途径
4.2.2 时域抽取法基2FFT（ DIT-FFT ） 的基本原理
X ( 1 x )
X (0) x(0) W20x(1)
x( X (0 1) x )20 ( W(1 0)
x(0)
X (0)
输入为时域序列，
x(1) W20
X (1)
区别于其他的蝶形
所以，对于8点DFT经过2次分解，得到DIT-FFT流图，其中，用到
了旋转因子的可约性：WNk/m WNkm
两次N/2点DFT N2/2次
一个蝶形 N/2个蝶形
1次 N/2次
总计
N2/2 +N/2≈ N2/2
直接计算DFT
N2次
复数加法 (N/2)(N/2-1)次 N(N/2-1)次
2次 N次
N(N/2-1)+N ≈ N2/2 N2次
经过一次分解，运算量减少将近一半！
经过一次分解后，N→N/2； N/2仍为偶数，仍可进一步分解：
N/2 →N/4
l 0,1,
,
N 4
1
x(n)
x1(r) x(2r)
r 0,1,
,
N 2
1
x3(l) x1(2l) (偶中偶) x4(l) x1(2l 1) (偶中奇) x5(l) x2(2l) (奇中偶)
x2(r) x(2r 1) x6(l) x2(2l 1) (奇中奇)
x(0)
x(4)
时 x(2)
域 奇
x(6)
偶 分
x(1)
x(5)
x(3) x(7)
第一级
第二级
第三级
X3(0)
X1(0)
WN0
X3(1)
X4(0)
WN0
X4(1W)N0WN2
X5(0)
WN0
X5(1)
X6(0)
WN0
X6(1W)N0 WN2
X1(1)
X1(2) X1(3)
X2(0) 0
X2(1)WN1
X2(2)WN2
WN
X2(3)
3
WN
X(0)
X(1)
X(2) 频
域
X(3) 对
X(4)
半 分
X(5)
X(6) X(7)
4.2 基2 FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的问题及改善途径
4.2.2 时域抽取法基2FFT（ DIT-FFT ） 的基本原理
4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算 量比较
N越大， 优势越明显
4.2 基2 FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的问题及改善途径
4.2.2 时域抽取法基2FFT（ DIT-FFT ） 的基本原理
4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算 量比较
4.2.4 算法特点
4.2.5 频域抽取法FFT （ DIF-FFT ） 4.2.6 DIT-FFT与DIF-FFT的异同 4.2.7 IDFT的高效算法
C
WNk
BC
先乘后加减 下减
A-BC
A+BC A-BC
X(k) X(k+N/2)
蝶形左右两边都是频域序列，说明先DFT后蝶形。
完成一次蝶形运算需要一次复数乘法和两次复数加法。
将一个N点DFT分解成两个N/2点DFT的蝶形图（N=8点）：
X (k)
X (k
X1(k) WNk
N 2 ) X1(k)
N点DFT 一个X(k)
复数乘法 N次
复数加法 当N 1时
N (N 1) N 2
N-1次
N个X(k)
N2次
N(N-1)次
N点DFT的复数乘法和加法都与N2成正比。若N=1024，则 需要1048576次复乘，运算量很大，对于2-D图像，运算量 更是大得惊人。
其实，在DFT运算中包含有大量重复运算：
2
（前一半）
k
(k )（后一半）
0,1,K
,
N 2
1
X (k)
X (k
X1(k) WNk
N 2 ) X1(k)
X2(k)
WNk X
2
(k
（前一半）
k
)（后一半）
0
K
N, 2
1
一个N点DFT
两个N/2点DFT
以上公式可以用蝶形运算符号来表示：
加法点
A
上加
A+BC
A X1(k) B X2(k)
4.2 基2 FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的问题及改善途径
4.2.2 时域抽取法基2FFT（ DIT-FFT ） 的基本原理
4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算 量比较
4.2.4 算法特点
4.2.5 频域抽取法FFT （ DIF-FFT ） 4.2.6 DIT-FFT与DIF-FFT的异同 4.2.7 IDFT的高效算法
K N,
X4 )
X2 (k) X5 (k) WNk/2 X6 (k)
X2( N k
)
k 5N
X
(
（ N/4点前一半）
k 0
（N/k/4)点后一2 半W） 6 (
K N,
X4
)
将一个N点DFT经过两次分解成为四个N/4点DFT的蝶形图（N=8点）
x(n): x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)
W
kn的
N
特
性
：
W
kn N
j 2 kn
eN
①
对称性：
(WNnk )*
W nk N
② 周期性：WNnk
W (nN N
)k
W n(k N
N
)
③ 可约性：
WNnk
W mnk mN
W nk/m N/m
④ 特殊点： WN0 1
FFT算法核心思想：
W N/2 N
1
W kN/2 N
4.2.4 算法特点
4.2.5 频域抽取法FFT （ DIF-FFT ） 4.2.6 DIT-FFT与DIF-FFT的异同 4.2.7 IDFT的高效算法